高中理科数学知识点.docx

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高中理科数学知识点

一.集合与常用逻辑用语

[基础知识看一看]

一、牢记概念与公式

1．四种命题的相互关系

2．全称量词与存在量词

全称命题p：

∀x∈M，p（x）的否定为特称命题綈p：

∃x0∈M，綈p（x0）；

特称命题p：

∃x0∈M，p（x0）的否定为全称命题綈p：

∀x∈M，綈p（x）．

二、活用定理与结论

1．运算性质及重要结论

（1）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U.

（4）A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

2．命题p∨q的否定是綈p∧綈q；命题p∧q的否定是綈p∨綈q.

3．“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”．

[易错易混想一想]

1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：

{x|y＝lgx}——函数的定义域；{y|y＝lgx}——函数的值域；{（x，y）|y＝lgx}——函数图像上的点集．

2．易混淆0，∅，{0}：

0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合．但是0∉∅，而∅⊆{0}．

3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性．在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．

4．遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：

A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．

5．注重数形结合在集合问题中的应用．列举法常借助Venn图解题；描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．

6．“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：

非p，只是否定命题p的结论．

7．要弄清先后顺序：

“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.

[保温训练手不凉]

1．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|logx4＝2}，则A∪B等于（　　）

A．{－2,1,2}　　　B．{1,2}C．{2}D．{－2,2}

2．“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．命题p：

m>7，命题q：

f（x）＝x2＋mx＋9（m∈R）有零点，则p是q的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．已知集合A＝{a，b，c}中任意2个不同元素的和的集合为{1,2,3}，则集合A的任意2个不同元素的差的绝对值的集合是（　　）

A．{1,2,3}B．{1,2}C．{1,0}D．{0,1,2}

5．已知集合M＝{x|y＝

}，N＝{y|y＝2x}，则M∩N＝________.

6.下面四个命题：

①函数y＝loga（x＋1）＋1（a>0且a≠1）的图像必过定点（0,1）；

②已知命题p：

∀x∈R，sinx≤1，则綈p：

∃x∈R，sinx≤1；

③过点（－1,2）且与直线2x－3y＋4＝0垂直的直线方程为3x＋2y－1＝0；

④在区间（－2,2]上随机抽取一个数x，则ex>1的概率为

.

其中所有正确命题的序号是________．

答案：

①③

二.函数与导数

[基础知识看一看]

一、牢记概念与公式

1．函数的奇偶性、周期性

（1）奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称），都有f（－x）＝－f（x）成立，则f（x）为奇函数（都有f（－x）＝f（x）成立，则f（x）为偶函数）．

（2）周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f（x），如果对于定义域内的任意一个x的值：

若f（x＋T）＝f（x）（T≠0），则f（x）是周期函数，T是它的一个周期．

2．指数与对数式的运算公式

am·an＝am＋n；（am）n＝amn；loga（MN）＝logaM＋logaN；loga

＝logaM－logaN；logaMn＝nlogaM；alogaN＝N；logaN＝

（a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0）．

3．指数函数与对数函数的性质

解析式

y＝ax（a＞0且a≠1）

y＝logax（a＞0且a≠1）

定义域

R

（0，＋∞）

值域

（0，＋∞）

R

图像

关于直线y＝x对称

奇偶性

非奇非偶

非奇非偶

单调性

0＜a＜1时，在R上是减函数；a＞1时，在R上是增函数

0＜a＜1时，在（0，＋∞）上是减函数；a＞1时，在（0，＋∞）上是增函数

4．导数公式及运算法则

（1）基本导数公式：

c′＝0（c为常数）；

（xm）′＝mxm－1（m∈Q）；

（sinx）′＝cosx；

（cosx）′＝－sinx；

（ax）′＝axlna（a>0且a≠1）；（ex）′＝ex；

（logax）′＝

（a>0且a≠1）；（lnx）′＝

.

（2）导数的四则运算：

（u±v）′＝u′±v′；（uv）′＝u′v＋uv′；

′＝

（v≠0）．

5．导数与极值、最值

（1）函数f（x）在x0处的导数f′（x0）＝0且f′（x）在x0附近“左正右负”⇔f（x）在x0处取极大值；函数f（x）在x0处的导数f′（x0）＝0且f′（x）在x0附近“左负右正”⇔f（x）在x0处取极小值．

（2）函数f（x）在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最大值”；函数f（x）在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极值与其端点值中的“最小值”．

二、活用定理与结论

1．抽象函数的周期性与对称性

（1）函数的周期性

①若函数f（x）满足f（x＋a）＝f（x－a），则f（x）为周期函数，2a是它的一个周期．

②设f（x）是R上的偶函数，且图像关于直线x＝a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期．

③设f（x）是R上的奇函数，且图像关于直线x＝a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，4a是它的一个周期．

（2）函数图像的对称性

①若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则f（x）的图像关于直线x＝a对称．

②若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则f（x）的图像关于点（a,0）对称．

③若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（b－x），则函数f（x）的图像关于直线x＝

对称．

2．函数图像平移变换的相关结论

（1）把y＝f（x）的图像沿x轴左右平移|c|个单位（c＞0时向左移，c＜0时向右移）得到函数y＝f（x＋c）的图像（c为常数）．

（2）把y＝f（x）的图像沿y轴上下平移|b|个单位（b＞0时向上移，b＜0时向下移）得到函数y＝f（x）＋b的图像（b为常数）．

3．函数图像伸缩变换的相关结论

（1）把y＝f（x）的图像上各点的纵坐标伸长（a＞1）或缩短（0＜a＜1）到原来的a倍，而横坐标不变，得到函数y＝af（x）（a＞0）的图像．

（2）把y＝f（x）的图像上各点的横坐标伸长（0＜b＜1）或缩短（b＞1）到原来的

倍，而纵坐标不变，得到函数y＝f（bx）（b＞0）的图像．

4．确定函数零点的三种常用方法

（1）解方程判定法．若方程易解时用此法．

（2）零点定理法．根据连续函数y＝f（x）满足f（a）·f（b）<0，判断函数在区间（a，b）内存在零点．

（3）数形结合法．尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．

[易错易混想一想]

1．求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式（组）求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数．列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏．

2．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“及”连接或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．

3．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．

4．分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应关系的函数，它是一个函数，而不是几个函数．

5．不能准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y＝ax（a>0，a≠1）的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax>0；对数函数y＝logax（a>0，a≠1）忽视真数与底数的限制条件．

6．易混淆函数的零点和函数图像与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．

7．不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点（x0，f（x0））既在切线上，又在函数图像上，导致某些求导数的问题不能正确解出．

8．考生易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f′（x0）＝0是函数y＝f（x）在x＝x0处有极值的充分条件．

[保温训练手不凉]

1．下列函数中，满足“对任意的x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）”的是（　　）

A．f（x）＝

　　　　B．f（x）＝（x－1）2C．f（x）＝exD．f（x）＝ln（x＋1）

2．直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点（2,3），则b的值为（　　）

A．－3B．9C．－15D．－7

3．若函数f（x）＝x2＋bx（b∈R），则下列结论正确的是（　　）

A．∀b∈R，f（x）在（0，＋∞）上是增函数B．∀b∈R，f（x）在（0，＋∞）上是减函数

C．∃b∈R，f（x）为奇函数D．∃b∈R，f（x）为偶函数

4．函数f（x）＝

的所有零点的和等于（　　）

A．－2B．－1C．0D．1

5．已知a＝

，b＝2

，c＝

，则下列关系式中正确的是（　　）

A．c

6．若方程f（x）－2＝0在（－∞，0）内有解，则y＝f（x）的图像是（　　）

8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1、y2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处

9．（2013·荆州市质检）设函数f（x）在R上可导，其导函数是f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图像可能是（　　）

10．已知函数f（x）＝

的定义域为M，g（x）＝log2（1－x）（x≤－1）的值域为N，则∁RM∩N＝________.

11．已知奇函数f（x）＝

的定义域为R，其中y＝g（x）为指数函数，且其图像过点（2,9），则函数y＝f（x）的解析式为________．

12．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）＝2x＋1（x∈R）是单函数．下列命题：

①函数f（x）＝x2（x∈R）是单函数；

②若f（x）为单函数，x1，x2∈A（A为f（x）的定义域）且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；

③若f：

A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）

答案：

②③

三.不等式

[基础知识看一看]

一、牢记概念与公式

1．不等式的性质

（1）a