不同函数增长的差异带练习Word格式.docx
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C．y＝x2D．y＝e－x
A 解析：
结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．
2．下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据，由此可判断它最可能符合的函数模型为（ ）
x
－2
－1
1
2
y
4
16
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
C 解析：
表中数据呈现爆炸式增长，符合指数函数模型．
3．下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A．y＝6x
B．y＝log6x
C．y＝x6
D．y＝6x
B 解析：
A，C增长速度越来越快，D增长速度不变，只有B符合题意．
【例1】下列函数中，增长速度最快的是（ ）
A．y＝2019xB．y＝x2019
C．y＝log2019xD．y＝2019x
指数函数y＝ax，在a>
1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越来越快，应选A.
常见的函数模型及增长特点
（1）一次函数模型
一次函数模型y＝kx＋b（k>
0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型
指数函数模型y＝ax（a>
1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
（3）对数函数模型
对数函数模型y＝logax（a>
1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
（4）幂函数模型
幂函数模型y＝xn（n>
0）的增长速度介于指数函数模型和对数函数模型之间．
三个变量y1，y2，y3随变量x变化的数据如下表：
5
10
15
20
25
30
y1
32
1024
32768
1.05
×
106
3.36
107
1.07
109
y2
40
50
60
y3
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
y1 解析：
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，三个变量y1，y2，y3均是从2开始变化，变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，可知变量y1关于x呈指数函数变化．
【例2】函数f（x）＝2x和g（x）＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2.
（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
（2）结合函数图象，判断f（6），g（6），f（2019），g（2019）的大小．
解：
（1）C1对应的函数为g（x）＝x3，C2对应的函数为f（x）＝2x.
（2）∵f
（1）＞g
（1），f
（2）＜g
（2），f（9）＜g（9），f（10）＞g（10），
∴1＜x1＜2，9＜x2＜10，
∴x1＜6＜x2，2019＞x2.
从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，
f（x）＜g（x），∴f（6）＜g（6）；
当x＞x2时，f（x）＞g（x），
∴f（2019）＞g（2019）．
又g（2019）＞g（6），
∴f（2019）＞g（2019）＞g（6）＞f（6）．
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．
判断方程2x＝x2有几个实根．
设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，如图所示．
由图象知，方程一定有一个负根．当x>
0时，开始时y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0，当x＞x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x＞x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，再没有实根了，故此方程有三个实根．
探究题1 某公司为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：
在销售利润达到5万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y随销售利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：
y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该公司的要求？
借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（图略）．观察图象可知，在区间[5，100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合公司的要求．
探究题2 某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢．如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售出商品的数量x的关系，则可选用（ ）
A．一次函数B．二次函数
C．指数型函数D．对数型函数
D 解析：
四个函数中，A的增长速度不变，B，C增长速度越来越快，其中C增长速度比B更快，D增长速度越来越慢，故只有D能反映y与x的关系．
探究题3 某公司预投资100万元，有两种投资方案可供选择：
甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；
乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．
若投资5年，哪种投资更有利？
可多得利息多少元？
（结果精确到0.01万元）
按甲方案投资，每年利息100×
10%＝10，5年后本息合计150万元；
按乙方案投资，第一年本息合计100×
1.09，第二年本息合计100×
1.092，…，5年后本息合计100×
1.095≈153.86（万元）．
故乙方案投资更有利，按乙方案投资5年可多得利息3.86万元．
探究题4 某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：
该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．
（1）下列几个模拟函数中：
①y＝ax2＋bx；
②y＝kx＋b；
③y＝logax＋b；
④y＝ax＋b（x表示人均GDP，单位：
千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：
L）．用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？
说明理由；
（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5L，把
（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A饮料的销售量最多是多少？
（1）用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．
（2）因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销量为2L；
人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销量为5L，把x＝1，y＝2；
x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx，得
解得a＝－
，b＝
，所以函数解析式为y＝－
x2＋
x（x∈[0.5，8]）．
∵y＝－
x＝－
＋
，∴当x＝
时，年人均A饮料的销售量最多是
L.
1．不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
（1）线性函数增长模型适合描述增长速度不变的变化规律；
（2）指数函数增长模型适合描述增长速度急剧的变化规律；
（3）对数函数增长模型适合描述增长速度平缓的变化规律；
（4）幂函数增长模型适合描述增长速度一般的变化规律．
2．函数模型的应用
（1）可推演原则：
建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
（2）反映性原则：
建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双、1.2万双、1.3万双、1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x，产量为y给出三种函数模型：
y＝ax＋b，y＝ax2＋bx＋c，y＝abx＋c，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？
由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A（1，1），B（2，1.2），C（3，1.3），D（4，1.37）这4个数据．
（1）当函数为y＝ax＋b时，将B，C两点的坐标代入函数式，
得
解得
所以y＝0.1x＋1.
由此可得结论为：
在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1000双，这是不太现实的．
（2）当函数为y＝ax2＋bx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，得
所以y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
由此函数计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降（图象开口向下，对称轴为x＝3.5），不符合实际．
（3）当函数为y＝abx＋c时，将A，B，C三点的坐标代入函数式，
由①，得ab＝1－c，代入②③，
则
则a＝
＝－0.8.
所以y＝－0.8×
0.5x＋1.4.
把x＝4代入得y＝－0.8×
0.54＋1.4＝1.35.
比较上述三个函数模型的优劣，既要考虑误差最小，又要考虑生产的实际，如：
增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模型为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数函数模型恰好反映了这种趋势．
因此选用指数型函数y＝－0.8×
不同函数增长差异练习
（30分钟 60分）
1.（5分）函数y＝2x－x2的大致图象为（ ）
在同一平面直角坐标系内作出y1＝2x，y2＝x2的图象（图略）．易知在区间（0，＋∞）上，当x∈（0，2）时，2x＞x2，即此时y＞0；
当x∈（2，4）时，2x＜x2，即此时y＜0；
当x∈（4，＋∞）时，2x＞x2，即此时y＞0；
当x＝－1时，y＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A中的图象符合条件．
2．（5分）y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，当2<
x<
4时，有（ ）
A．y1>
y2>
y3 B．y2>
y1>
C．y1>
y3>
y2D．y2>
在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象（图略），在区间（2，4）内，从上到下图象依次对应的函数为y1＝2x，y2＝2x，y3＝log2x，故y1>
y3.
3．（5分）四人赛跑，假设他们跑过的路程fi（x）（其中i∈{1，2，3，4}）和时间x（x>
1）的函数关系分别是f1（x）＝x2，f2（x）＝4x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝4x
C．f3（x）＝log2xD．f4（x）＝2x
显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4（x）＝2x，故选D.
4．（5分）能使不等式log2x<
x2<
2x一定成立的x的取值区间是（ ）
A．（0，＋∞） B．（2，＋∞）
C．（－∞，2）D．（4，＋∞）
当x>
4时，log2x<
2x，故选D.
5.（5分）据报道，某淡水湖的湖水50年内减少了10%，若年平均减少率相等，按此规律，设2018年的湖水水量为m，从2018年起，经过x年后湖水水量y与x的函数关系式为____________．
y＝m•0.9x50 解析：
设每年湖水量为上一年的q%，则（q%）50＝0.9，所以q%＝0.9150，所以2018年起，经过x年后湖水水量y与x的函数关系式为y＝m•0.9x50.
6.（5分）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是____________．
y＝a（1＋r）x，x∈N* 解析：
已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a（1＋r），2期后本利和为y＝a（1＋r）＋a（1＋r）r＝a（1＋r）2，3期后本利和为y＝a（1＋r）3，…，x期后本利和为y＝a（1＋r）x，x∈N*.
7.（5分）已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a•（0.5）x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________万件．
1．75 解析：
∵y＝a•（0.5）x＋b，且当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝1.5，则有1＝a×
0.5＋b，1.5＝a×
0.25＋b，
解得a＝－2，b＝2，
∴y＝－2×
（0.5）x＋2.
当x＝3时，y＝－2×
0.125＋2＝1.75（万件）．
8.（10分）某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h（米）与生长时间t（年）的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga（t＋1）来刻画h与t的关系，你认为哪个比较合理？
并预测第8年的松树高度．
t123456
h0.611.31.51.61.7
据表中数据作出散点图如图．
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．
将（2，1）代入到h＝loga（t＋1）中，得1＝loga3，解得a＝3.
即h＝log3（t＋1）．
当t＝8时，h＝log3（8＋1）＝2，
故可预测第8年松树的高度为2米．
9.（15分）2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：
克）的关系为当0≤x<
6时，y是x的二次函数；
当x≥6时，y＝13x－t.
测得数据如表（部分）．
x0129…
y074
319
…
（1）求y关于x的函数关系式y＝f（x）；
（2）求函数f（x）的最大值．
（1）当0≤x<
6时，由题意，
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），
由表格数据可得f（0）＝c＝0，f
（1）＝a＋b＋c＝74，f
（2）＝4a＋2b＋c＝3，
解得a＝－14，b＝2，c＝0，
所以，当0≤x<
6时，f（x）＝－14x2＋2x.
当x≥6时，f（x）＝13x－t，由表格数据可得
f（9）＝139－t＝19，解得t＝7，
所以当x≥6时，f（x）＝13x－7.
综上，f（x）＝－14x2＋2x，0≤x＜6，13x－7，x≥6.
（2）当0≤x<
6时，
f（x）＝－14x2＋2x＝－14（x－4）2＋4，
所以当x＝4时，函数f（x）的最大值为4；
当x≥6时，f（x）＝13x－7单调递减，
所以f（x）的最大值为f（6）＝136－7＝3.
因为4>
3，所以函数f（x）的最大值为4.
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