九年级春季班第12讲梯形的存在性问题教案教学设计导学案Word文件下载.docx

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等，求t的值．

【答案】见解析．

【解析】

（1）将A、C代入抛物线解析式，

解得抛物线解析式为：

．

对称轴为：

直线．

（2）E点为（1，0），分情况讨论：

①AC//EF

直线AC的解析式为．

∴直线EF的解析式为．

∴与对称轴的交点为（1，0），与E点重合（舍）．

②AF//CE

直线CE的解析式为，

∴直线AF的解析式为．

∴与对称轴的交点为（1，4）．

∴F点为（1，4）．

综上，F点为（1，4）．

（3）抛物线顶点D为，与x轴另一交点B为（3，0），

当和的面积相等（t>

3）时，有BC//DP．

直线BC的解析式为，

∴直线DP的解析式为．

解得：

P点为（5，0），即t的值为5．

【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结．

【例2】在平面直角坐标系中，抛物线过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D．

（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；

（2）分别联结AD、DC、CB，直线y=4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边

形ABCD的面积平分时，求m的值；

（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，

请直接写出所有满足条件的点F的坐标．

【解析】解：

（1）∵函数过点A（-1，0），B（3，0），

∴可将函数设为．

将C（2，3）代入，可得函数解析式为：

，

对称轴为x=1；

（2）函数与y轴交点D为（0，3）．

∵四边形ABCD为梯形，下底AB=4，上底CD=2，

直线y=4x+m要平分ABCD的面积，必与AB、CD均有交点，分别设为M、N．

∴M的纵坐标为0，N的纵坐标为3．

∴M为，N为．

可得，

解得：

；

（3）分三种情况讨论

①当CF//AB时，AB的解析式为y=0，所以F点纵坐标为3，F点为（1，3）；

②当AF//BC时，BC的解析式为，所以AF为，F点为（1，-6）；

③当BF//AC时，AC的解析式为，∴BF为，∴F点为（1，-2）；

综上，F点可能为（1，-6）或（1，3）或（1，-2）．

【总结】本题一方面考查有关面积的计算，另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结．

特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件．

直角梯形：

（2）寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；

等腰梯形：

（2）分情况讨论；

（5）验证所有形成的梯形是否等腰，并作答．

【例3】如图，二次函数的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边

形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）∵，

∴AO=CO．

根据与图像，可得C点坐标为（0，4），

∴A点坐标为（-4，0），代入解析式，

∴二次函数解析式为；

（2）连接OD，可得OD⊥AC，过D作DH⊥AO于H．

可得：

∴，．

∴D点坐标为（-2，2）；

（3）要四点成直角梯形，不可能DP//AO，分两种情况讨论：

①当OP//AD时，∵AD解析式为，∴OP解析式为．

∴，解得：

（不为直角梯形，舍）或．

②当AP//OD时，∵OD解析式为，∴AP解析式为．

∴，解得或（与A重合，舍）．

综上，P点坐标为或（8，-12）．

【总结】本题主要考查二次函数的综合，注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．

【例4】如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在轴和轴的正半轴上，

OM=6，ON=3，反比例函数的图像与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．

（1）求证：

AB//CD；

（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？

若存在，求点E的坐标；

（1）∵矩形OMPN，OM=6，ON=3，

∴点P（6，3）．

∵点C、D都在反比例函数图像上，

且点C在PN上，点D在PM上，

∴点C（2，3），点D（6，1），

又DB⊥y轴，CA⊥x轴，

∴A（2，0），B（0，1）．

∵BG=2，GD=4，CG=2，AG=1

∴，，∴，∴AB//CD；

（2）①∵PN//DB，∴当DE1=BC时，

四边形BCE1D是等腰梯形，

此时≌，∴PE1=CN=2，

∴点E1（4，3）；

②∵CD//AB，当E2在直线AB上，

DE2=BC=，

四边形BCDE2为等腰梯形，

直线AB的解析式为

∴设点E2（x，），DE2=BC=，

∴，解得：

，（舍去），

∴E2（，）．

综上所述，点E的坐标为（4，3）或（，）．

【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题，第

（1）小问中也可利用解析式来判定平行，第

（2）小问注意看清题意，已经已知腰，所以分两种情况讨论．

【例5】在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与y轴交于点A，与双曲线有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B作直线l//x轴，与该二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是．

（2）求直线AC的表达式；

（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由．

（1）把代入，得．∴点B的坐标为（4，2）．

∵直线AC的截距是，∴点A的坐标为（，0）．

∵二次函数的的图像经过点A、B，

∴可得：

，解得：

∴二次函数的解析式是．

（2）∵BC//x轴，∴点C的纵坐标为2．

把代入，

，．

∵（4，2）是点B的坐标，∴点C的坐标为（，2）．

设直线AC的表达式是，

∵点C在直线AC上，∴．

∴直线AC的表达式是．

（3）①当BC//AD1时，设点的坐标是（m，），

由，可得：

，（舍）．

∴点的坐标是（，）．

②当AC//BD2时，可得：

直线BD2的表达式是．

设点D2的坐标是（n，），由，

可得：

∴点D2的坐标是（，）．

③∵AC=BC，∴//AB不存在．

综上所述，点D的坐标是（，）或（，）．

【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式，从而求出点坐标．

【习题1】如图，已知A、B是双曲线上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，BC⊥x轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？

如果存在，求点D的坐标；

如果不存在，请说明理由．

由题意，可得A点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-2），C点坐标为（-1，0）．

若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，可分情况讨论：

①当AD//BC时，已知此情况下，D点不存在；

②当CD//AB时，

∵AB解析式为，

∴CD解析式为．

∵D在双曲线上，

∴,解得：

或．

③当BD//AC时，

∵AC解析式为，

∴BD解析式为．

∴，解得：

（与B重合，舍）或．

综上，D点坐标可以为（1，2）或（-2，-1）或．

【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性，注意利用平行求出函数解析式，从而联立解析式求出点的坐标．

【习题2】如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A（－1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C（5，6）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；

（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．

（1）∵抛物线过点A（-1，0）与点B（3，0），

∴设抛物线为，将点C（5，6）代入，

得抛物线解析式为：

∴顶点D坐标为（1，-2）；

（2）分别过C、D作CM、DN⊥x轴于M、N，

计算可得，AN=DN=2，AM=CM=6．

∴．

又因为AE公共边，

∴此两角为相似三角形对应角．

∵，∴．

∴．∴．

∴E点坐标为或；

（3）可得，，，，

分情况讨论：

1当DP//AC时，∵梯形CADF面积为16，

∴此时DF直线为，且．∴F点坐标为（3，0）．

②当CF//AD时，

∴CF为，且，∴F点标为．

③当AF//CD时，此时不可能．

综上，F点可能的坐标为（3，0）或．

【总结】本题综合性较强，考查的知识点较多，包含了二次函数的性质，相似的性质以及梯形的有关性质，解题时注意分析．

【作业1】已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．

（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；

（2）如图1，在直线y=2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？

若存在，

求出点D的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）∵对称轴为x=4，且抛物线过A（2，0），

∴B点坐标为（6，0），设抛物线为．

将C（0，12）代入，

解得抛物线解析式为：

顶点P坐标为（4，-4）；

（2）若存在满足题意的D点，直线BP解析式为．

∴BP//OD．∴OP=BD．

设D点为（d，2d），

∴，

（此时为平行四边形，舍）或，

∴D点为．

即当D点坐标为时，四边形OPBD为等腰梯形．

【总结】本题主要考查二次函数的综合运用，求出二次函数解析式，研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键．

【作业2】如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．

（2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关

系，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边

形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；

（1）将B（1，2）代入解析式，解得函数解析式为：

（2）抛物线的对称轴为．

∴A点为（3，0），C点为（2，2），M点为（1，0）．

连接BC，过C作CH⊥OA于H，

可得，，，．

∴，又∵，

∴，∴．

∴，CP⊥CA．

（3）∵，∴分情况讨论

①E在x轴上时，当PE//AC时，

∵AC解析式为，∴PE解析式为．

∴E点为．

2E在y轴上时，当AE//PC时，

∵PC解析式为，∴AE解析式为．

∴E点为，

综上，E点坐标为或．

【总结】本题主要考查二次函数的综合应用，注意利用相似判定直线间的位置关系，第（3）小问注意对点的存在性进行分类讨论．