1、等,求t的值【答案】见解析【解析】(1)将A、C代入抛物线解析式, 解得抛物线解析式为:对称轴为:直线 (2)E点为(1,0),分情况讨论: AC / EF 直线AC的解析式为 直线EF的解析式为 与对称轴的交点为(1,0),与E点重合(舍) AF / CE 直线CE的解析式为, 直线AF的解析式为 与对称轴的交点为(1,4)F点为(1,4) 综上,F点为(1,4) (3)抛物线顶点D为,与x轴另一交点B为(3,0), 当和的面积相等(t 3)时,有BC / DP 直线BC的解析式为, 直线DP的解析式为 解得:P点为(5,0),即t的值为5【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问
2、题,注意对方法的归纳总结【例2】 在平面直角坐标系中,抛物线过A(1,0)、B(3,0)、C(2,3)三点,与y轴交于点D(1)求该抛物线的解析式,并写出该抛物线的对称轴;(2)分别联结AD、DC、CB,直线y = 4xm与线段DC交于点E,当此直线将四边形ABCD的面积平分时,求m的值;(3)设点F为该抛物线对称轴上一点,当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时,请直接写出所有满足条件的点F的坐标【解析】解:(1)函数过点A(-1,0),B(3,0), 可将函数设为 将C(2,3)代入,可得函数解析式为:, 对称轴为x=1; (2)函数与y轴交点D为(0,3) 四边形ABCD为梯形,下底AB
3、 = 4,上底CD = 2, 直线y = 4x + m要平分ABCD的面积,必与AB、CD均有交点,分别设为M、N M的纵坐标为0,N的纵坐标为3 M为,N为 可得,解得:; (3)分三种情况讨论 当CF/AB时,AB的解析式为y=0,所以F点纵坐标为3,F点为(1,3); 当AF/BC时,BC的解析式为,所以AF为,F点为(1,-6); 当BF/AC时,AC的解析式为,BF为,F点为(1,-2);综上,F点可能为(1,-6)或(1,3)或(1,-2)【总结】本题一方面考查有关面积的计算,另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题,注意对方法的归纳总结 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两
4、种对于这两种情况,只需在之前平行的基础上,增加考虑直角或腰相等的条件直角梯形:(2) 寻找已有的直角,进而判断可能的平行直线;等腰梯形:(2) 分情况讨论;(5) 验证所有形成的梯形是否等腰,并作答【例3】 如图,二次函数的图像与x轴交于点A和点B(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C,且(1)求二次函数的解析式;(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,求点D的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形,若存在,请求出点P坐标;若不存在,请说明理由(1), AO = CO 根据与图像,可得C点坐标为(0,4), A点坐标为(-4,0)
5、,代入解析式, 二次函数解析式为; (2)连接OD,可得ODAC,过D作DHAO于H 可得: , D点坐标为(-2,2); (3)要四点成直角梯形,不可能DP/AO,分两种情况讨论: 当OP/AD时,AD解析式为,OP解析式为 ,解得:(不为直角梯形,舍)或 当AP/OD时,OD解析式为,AP解析式为 ,解得或(与A重合,舍) 综上,P点坐标为或(8,-12)【总结】本题主要考查二次函数的综合,注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题,熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键【例4】 如图,矩形OMPN的顶点O在原点,M、N分别在轴和轴的正半轴上,OM = 6,ON = 3,反比例函
6、数的图像与PN交于C,与PM交于D,过点C作CAx轴于点A,过点D作DBy轴于点B,AC与BD交于点G(1)求证:AB / CD ;(2)在直角坐标平面内是否若存在点E,使以B、C、D、E为顶点,BC为腰的梯形是等腰梯形?若存在,求点E的坐标;(1)矩形OMPN,OM = 6,ON = 3, 点P(6,3)点C、D都在反比例函数图像上,且点C在PN上,点D在PM上,点C(2,3),点D(6,1), 又DBy轴,CAx轴,A(2,0),B(0,1)BG = 2,GD = 4,CG = 2,AG = 1,AB / CD; (2)PN / DB,当DE1 = BC时, 四边形BCE1D是等腰梯形,
7、此时,PE1 = CN = 2, 点E1(4,3); CD/ AB,当E2在直线AB上, DE2 = BC =, 四边形BCDE2为等腰梯形, 直线AB的解析式为 设点E2(x,),DE2 = BC =,解得:,(舍去),E2(,) 综上所述,点E的坐标为(4,3)或(,)【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题,第(1)小问中也可利用解析式来判定平行,第(2)小问注意看清题意,已经已知腰,所以分两种情况讨论【例5】 在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图像与y轴交于点A,与双曲线有一个公共点B,它的横坐标为4过点B作直线l / x轴,与该二次函数图像交于另一点C,直线AC的截距是(2)
8、求直线AC的表达式;(3)平面内是否存在点D,使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形,如果存在,求出点D的坐标,如果不存在,说明理由(1)把代入,得点B的坐标为(4,2) 直线AC的截距是,点A的坐标为(,0) 二次函数的的图像经过点A、B,可得:,解得:二次函数的解析式是(2)BC / x轴,点C的纵坐标为2把代入, (4,2)是点B的坐标,点C的坐标为(,2) 设直线AC的表达式是,点C在直线AC上,直线AC的表达式是 (3)当BC / AD1时,设点的坐标是(m,),由,可得:,(舍)点的坐标是(,)当AC / BD2时,可得:直线BD2的表达式是设点D2的坐标是(n,),由,可得:点
9、D2的坐标是(,)AC = BC,/ AB不存在综上所述,点D的坐标是(,)或(,)【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式,从而求出点坐标【习题1】 如图,已知A、B是双曲线上的两个点,A、B的横坐标分别为2和1,BCx轴,垂足为C在双曲线上是否存在点D,使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形?如果存在,求点D的坐标;如果不存在,请说明理由由题意,可得A点坐标为(2,1),B点坐标为(-1,-2),C点坐标为(-1,0) 若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形,可分情况讨论:当AD/BC时,已知此情况下,D点不存在; 当CD/AB
10、时, AB解析式为, CD解析式为 D在双曲线上, , 解得:或 当BD/AC时, AC解析式为, BD解析式为 , 解得:(与B重合,舍)或综上,D点坐标可以为(1,2)或(-2,-1)或【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性,注意利用平行求出函数解析式,从而联立解析式求出点的坐标【习题2】 如图,在平面直角坐标系中,开口向上的抛物线与x轴交于点A(1,0)和点B(3,0),D为抛物线的顶点,直线AC与抛物线交于点C(5,6)(1)求抛物线的解析式;(2)点E在x轴上,且和相似,求点E的坐标;(3)若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形,且面积为16,试求点F的坐标(1)抛
11、物线过点A(-1,0)与点B(3,0), 设抛物线为,将点C(5,6)代入, 得抛物线解析式为: 顶点D坐标为(1,-2); (2)分别过C、D作CM、DNx轴于M、N, 计算可得,AN = DN = 2,AM = CM = 6 又因为AE公共边, 此两角为相似三角形对应角 , E点坐标为或; (3)可得, 分情况讨论:1 当DP/AC时,梯形CADF面积为16, 此时DF直线为,且F点坐标为(3,0) 当CF/AD时, CF为,且, F点标为 当AF/CD时,此时不可能 综上,F点可能的坐标为(3,0)或【总结】本题综合性较强,考查的知识点较多,包含了二次函数的性质,相似的性质以及梯形的有关
12、性质,解题时注意分析【作业1】 已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x = 4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;(2)如图1,在直线 y = 2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由 (1)对称轴为x = 4,且抛物线过A(2,0), B点坐标为(6,0),设抛物线为 将C(0,12)代入,解得抛物线解析式为: 顶点P坐标为(4,-4); (2)若存在满足题意的D点,直线BP解析式为 BP/ODOP=BD 设D点为(d,2d), ,(此时为平行四边形,舍)或, D
13、点为 即当D点坐标为时,四边形OPBD为等腰梯形【总结】本题主要考查二次函数的综合运用,求出二次函数解析式,研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点,是解题的关键【作业2】 如图,已知二次函数的图像经过点B(1,2),与x轴的另一个交点为A,点B关于抛物线对称轴的对称点为C,过点B作直线BMx轴垂足为点M(2)在直线BM上有点,联结CP和CA,判断直线CP与直线CA的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,在坐标轴上是否存在点E,使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形,若存在,求出所有满足条件的点E的坐标;(1)将B(1,2)代入解析式,解得函数解析式为: (2)抛物线的对称轴为A点为(3,0),C点为(2,2),M点为(1,0) 连接BC,过C作CHOA于H,可得, ,又,CPCA (3),分情况讨论 E在x轴上时,当PE/AC时, AC解析式为,PE解析式为 E点为2 E在y轴上时,当AE/PC时, PC解析式为,AE解析式为 E点为, 综上,E点坐标为或【总结】本题主要考查二次函数的综合应用,注意利用相似判定直线间的位置关系,第(3)小问注意对点的存在性进行分类讨论
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