计算数值方法实验报告材料太原理工大学Word格式.docx
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0,则在区间（（a+b）/2，b）内有零点，（a+b）/2=>
a，从①开始继续使用
中点函数值判断。
如果f[（a+b）/2]>
0，则在区间（a,（a+b）/2）内有零点，（a+b）/2<
=b，从①开始继续使用
这样就可以不断接近零点。
通过每次把f（x）的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值
四、主要仪器设备
Vc2008,hp
五、结构程序设计
迭代法:
#include"
stdafx.h"
#include"
stdio.h"
math.h"
iostream"
usingnamespacestd;
floatmain（）
{
floata;
cin>
>
a;
floatt,x;
x=a;
do{
x=sqrt（（10-x*x*x）/4）;
t=a;
a=x;
}while（fabs（a-t）>
0.5*1e-5）;
printf（"
x=%f"
a）;
system（"
pause"
）;
}
割线法:
floatc,a=1.0,b=2.0;
//cin>
a>
b;
while
（1）
{
c=b-（b*b*b+4*b*b-10）*（b-a）/（b*b*b+4*b*b-（a*a*a+4*a*a））;
if（fabs（b-c）<
0.5*0.000001）break;
b=c;
}
cout<
<
c;
六、结果讨论和分析
分析：
使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，不同的方法速度不同。
实验地点
ZSA401
指导教师
李志
2012.4
实验二线性方程组的直接解法
线性方程组的直接解法
合理利用Gauss消元法、LU分解法、追赶法求解下列方程组：
①
②
③
④
（n=5,10,100………）
（1）了解线性方程组常见的直接解法，如Guass消元法、LU分解法、追赶法。
（2）加深对线性方程组求解方法的认识，掌握算法。
高斯分解法：
将原方程组化为三角形方阵的方程组：
lik=aik/akk
aij=aij-lik*akjk=1,2,…,n-1
i=k+1,k+2,…,nj=k+1,k+2,…,n+1
由回代过程求得原方程组的解：
xn=ann+1/ann
xk=（akn+1-∑akjxj）/akk（k=n-1,n-2,…,2,1）
LU分解法：
将系数矩阵A转化为A=L*U,L为单位下三角矩阵，U为普通上三角矩阵，然后通过解方程组l*y=b,u*x=y,来求解x.
追赶法:
用来求对角方程组；
将系数矩阵A转化为A=L*U,L为普通下n-1对角矩阵，U为单位上n-1对角矩阵，然后通过解方程组l*y=b,u*x=y,来求解x.
Gauss消元法：
floatmain（）
{floata[3][4]={{1,2,3,14},{0,1,2,8},{2,4,1,13}};
floatx[3];
floatsum=0;
intk,i,j;
for（k=0;
k<
2;
k++）
for（i=k+1;
i<
3;
i++）
for（j=k+1;
j<
4;
j++）
a[i][j]=a[i][j]-a[i][k]/a[k][k]*a[k][j];
for（i=0;
for（j=0;
printf（"
a[%d][%d]=%f,"
i,j,a[i][j]）;
cout<
endl;
x[2]=a[2][3]/a[2][2];
for（k=1;
k>
=0;
k--）
{sum=0;
for（j=k+1;
{
sum+=a[k][j]*x[j];
}
x[k]=（a[k][3]-sum）/a[k][k];
}
for（i=0;
printf（"
x[%d]=%f,"
i+1,x[i]）;
LU分解法：
#include<
stdio.h>
math.h>
#defineL30
doublea[L][L],b[L],l[L][L],u[L][L],x[L],y[L];
intmain（）{
intn,i,j,k,r;
scanf（"
%d"
&
n）;
for（i=1;
i<
=n;
++i）{
for（j=1;
j<
++j）{
%lf"
a[i][j]）;
b[i]）;
++i）
{
for（j=1;
++j）
l[i][j]=0;
u[i][j]=0.0;
for（k=1;
k<
++k）{
for（j=k;
++j）
{
u[k][j]=a[k][j];
for（r=1;
r<
k;
++r）
{
u[k][j]-=l[k][r]*u[r][j];
}
for（i=k+1;
l[i][k]=a[i][k];
for（r=1;
++r）{
l[i][k]-=l[i][r]*u[r][k];
l[i][k]/=u[k][k];
l[k][k]=1.0;
y[i]=b[i];
i;
y[i]-=l[i][j]*y[j];
for（i=n;
i>
0;
--i）{
x[i]=y[i];
for（j=i+1;
x[i]-=u[i][j]*x[j];
}x[i]/=u[i][i];
printf（"
%0.2lf\n"
x[i]）;
return0;
追赶法：
voidmain（）
FILE*f;
doublea[15],b[15],c[15],d[15];
doublet;
inti,n;
f=fopen（"
zgf.txt"
"
r"
fscanf（f,"
&
n）;
%lf%lf%lf"
b[1],&
c[1],&
d[1]）;
for（i=2;
=n-1;
fscanf（f,"
%lf%lf%lf%lf"
a[i],&
b[i],&
c[i],&
d[i]）;
a[n],&
b[n],&
d[n]）;
fclose（f）;
c[1]=c[1]/b[1];
d[1]=d[1]/b[1];
For（i=2;
t=b[i]-c[i-1]*a[i];
c[i]=c[i]/t;
d[i]=（d[i]-d[i-1]*a[i]）/t;
d[n]=（d[n]-d[n-1]*a[n]）/（b[n]-c[n-1]*a[n]）;
for（i=n-1;
i>
=1;
i--）d[i]=d[i]-c[i]*d[i+1];
printf（"
\n********************************\n"
for（i=1;
=n;
d[%2d]=%lf\n"
i,d[i]）;
Zgf.txt文件中的内容是：
5
21-7
121-5
121-5
12-5
Gauss消元法：
分析
从消元过程可以看出，对于n阶线性方程组，只要各步主元素不为零，经过n-1步消元，就可以得到一个等价的系数矩阵为上三角形阵的方程组，然后再利用回代过程可求得原方程组的解.
消元过程相当于分解A为单位下三角阵L与上三角阵U的乘积，解方程组Ly=b
回代过程就是解方程组Ux=y。
其中的L为n阶单位下三角阵、U为上三角阵.
在A的LU分解中,L取下三角阵,U取单位上三角阵,这样求解方程组Ax=d的方法称为追赶法.
软件1012
2011．4
实验三线性方程组的迭代解法
线性方程组的迭代解法
使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法对下列方程组进行求解。
学习使用雅可比迭代法或高斯-赛德尔迭代法
雅克比迭代法：
设线性方程组
Ax=b
的系数矩阵A可逆且主对角元素a11,a22,…,ann均不为零，令
D=diag（a11,a22,…,ann）
并将A分解成
A=（A-D）+D
从而线性方程组可写成
Dx=（D-A）x+b
则有迭代公式
x（k+1）=B1x（k）+f1
其中，B1=I-D-1A,f1=D-1b。
高斯-赛德尔迭代法：
{
floata[3][3]={{10,-1,-2},{-1,10,-2},{-1,-1,5}},b[3]={7.2,8.3,4.2};
floatx[3]={0,0,0},sum1,sum2;
inti,j,k,n=3;
for（k=0;
10;
{for（i=0;
n;
sum1=0;
sum2=0;
for（j=0;
i;
{
sum1=sum1+a[i][j]*x[j];
for（j=i+1;
sum2=sum2+a[i][j]*x[j];
x[i]=（b[i]-sum1-sum2）/a[i][i];
for（i=0;
i++）
{printf（"
\n"
雅克比迭代：
floatx[3]={0,0,0},sum1;
sum1=0;
for（j=0;
{if（i==j）continue;
x[i]=（b[i]-sum1）/a[i][i];
for（i=0;
{printf（"
printf（"
六、实验结果与分析：
使用高斯-赛德尔和雅克比迭代都可以求出方程组的解，但是利用高斯-赛德尔迭代法所需的迭代次数比雅克比迭代少，能够更早的达到精度要求。
实验四最小二乘法拟合多项式
（1）了解矩阵特征值与特征向量问题解法，掌握幂法。
（2）加深对矩阵特征值与特征向量问题求解方法的认识，掌握算法。
（3）会进行误差分析。
学习使用最小二乘法拟合多项式
幂法：
由已知的非零向量x0和矩阵A的乘幂构造向量序列{xn}以计算矩阵A的按模最大特征值及其特征向量的方法，称为幂法。
迭代公式：
结果可取
五、结果讨论和分析
幂法是一种求任意矩阵A的按模最大特征值及其对应特征向量的迭代算法。
该方法的最大优点是计算简单，容易在计算机上实现，对稀疏矩阵较为适合，但有时收敛速度很慢。
综合楼六层606室
王峥
计算机科学与技术
计算机
1111111111
某某
2011-6-20
实验五代数插值
一、课题名称
使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解：
已知f（x）在6个点的函数值如下表所示，运用插值方法，求f（0.596）的近似值。
x
0.40
0.55
0.65
0.80
0.90
1.05
f（x）
0.41075
0.57815
0.69675
0.88811
1.02652
1.25386
二、目的和意义
学习使用拉格朗日插值法或牛顿插值法求解
三、计算公式
设函数在区间[a,b]上n+1互异节点x0,x1,…,xn上的函数值分别为y0,y1,…,yn,求n次插值多项式Pn（x）,满足条件
Pn（xj）=yj,j=0,1,…,n
令
Ln（x）=y0l0（x）+y1l1（x）+…+ynln（x）=∑yili（x）
其中l0（x）,l1（x）,…,ln（x）为以x0,x1,…,xn为节点的n次插值基函数，则Ln（x）是一次数不超过n的多项式，且满足
Ln（xj）=yj,L=0,1,…,n
再由插值多项式的唯一性，得
Pn（x）≡Ln（x）
四、结构程序设计
#include<
stdlib.h>
iostream.h>
typedefstructdata
floatx;
floaty;
}Data;
//变量x和函数值y的结构
Datad[20];
//最多二十组数据
floatf（ints,intt）//牛顿插值法，用以返回插商
if（t==s+1）
return（d[t].y-d[s].y）/（d[t].x-d[s].x）;
else
return（f（s+1,t）-f（s,t-1））/（d[t].x-d[s].x）;
floatNewton（floatx,intcount）
intn;
cout<
"
请输入n值（即n次插值）:
;
//获得插值次数
if（n<
=count-1）//插值次数不得大于count－1次
break;
cls"
floatt=1.0;
floaty=d[0].y;
floatyt=0.0;
for（intj=1;
t=（x-d[j-1].x）*t;
yt=f（0,j）*t;
y=y+yt;
returny;
floatlagrange（floatx,intcount）
floaty=0.0;
for（intk=0;
count;
k++）//这儿默认为count－1次插值
floatp=1.0;
//初始化p
for（intj=0;
{//计算p的值
if（k==j）continue;
//判定是否为同一个数
p=p*（x-d[j].x）/（d[k].x-d[j].x）;
y=y+p*d[k].y;
//求和
//返回y的值
floatx,y;
intcount;
请输入x[i],y[i]的组数，不得超过20组:
//要求用户输入数据组数
if（count<
=20）
//检查输入的是否合法
//获得各组数据
for（inti=0;
请输入第"
i+1<
组x的值:
d[i].x;
组y的值:
d[i].y;
请输入x的值:
//获得变量x的值
x;
intchoice=3;
请您选择使用哪种插值法计算：
（0）:
退出"
（1）:
Lagrange"
（2）:
Newton"
输入你的选择：
choice;
//取得用户的选择项
if（choice==2）
你选择了牛顿插值计算方法，其结果为：
y=Newton（x,count）;
break;
//调用相应的处理函数
if（choice==1）
你选择了拉格朗日插值计算方法，其结果为：
y=lagrange（x,count）;
if（choice==0）
输入错误!
!
x<
"
y<
//输出最终结果
拉格朗日插值的优点是插值多项式特别容易建立，缺点是增加节点是原有多项式不能利用，必须重新建立，即所有基函数都要重新计算，这就造成计算量的浪费。
实验六最小二乘法拟合多项式
给定数据点（xi,yi），用最小二乘法拟合数据的多项式，并求平方误差。
xi
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
yi
1
1.75
1.96
2.19
2.44
2.
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