函数与导数专题(含高考试题).doc

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函数与导数专题

1.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：

（1）曲线在处的切线的斜率等于，切线方程为

（2）若可导函数在处取得极值，则。

反之，不成立。

（3）对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。

（4）函数在区间I上递增（减）的充要条件是：

恒成立

（5）函数在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。

（若为二次函数且I=R，则有）。

（6）在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立

（7）若，恒成立，则;若，恒成立，则

（8）若，使得，则；若，使得，则.

（9）设与的定义域的交集为D若D恒成立则有

（10）若对、，恒成立，则.

若对，，使得,则.

若对，，使得，则.

（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，

若对,，使得=成立，则。

（12）若三次函数f（x）有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.

（13）证题中常用的不等式:

①②③

④⑤⑥

考点一：

导数几何意义：

角度一　求切线方程

1．（2014·洛阳统考）已知函数f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′，f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线方程为（　　）

A．3x－y－2＝0

B．4x－3y＋1＝0

C．3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0

D．3x－y－2＝0或4x－3y＋1＝0

解析：

选A　由f（x）＝3x＋cos2x＋sin2x得f′（x）＝3－2sin2x＋2cos2x，则a＝f′＝3－2sin＋2cos＝1.由y＝x3得y′＝3x2，过曲线y＝x3上一点P（a，b）的切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为（1,1），故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3（x－1），即3x－y－2＝0.

角度二　求切点坐标

2．（2013·辽宁五校第二次联考）曲线y＝3lnx＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是（　　）

A．（0,1）　　　　　　　　　 B．（1，－1）

C．（1,3） D．（1,0）

解析：

选C　由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，∴点P0的坐标是（1,3）．

角度三　求参数的值

3．已知f（x）＝lnx，g（x）＝x2＋mx＋（m<0），直线l与函数f（x），g（x）的图像都相切，且与f（x）图像的切点为（1，f

（1）），则m等于（　　）

A．－1 B．－3

C．－4 D．－2

解析：

选D　∵f′（x）＝，

∴直线l的斜率为k＝f′

（1）＝1，

又f

（1）＝0，

∴切线l的方程为y＝x－1.

g′（x）＝x＋m，设直线l与g（x）的图像的切点为（x0，y0），

则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，

于是解得m＝－2，故选D.

考点二：

判断函数单调性，求函数的单调区间。

[典例1]已知函数f（x）＝x2－ex试判断f（x）的单调性并给予证明．

解：

f（x）＝x2－ex，f（x）在R上单调递减，

f′（x）＝2x－ex，只要证明f′（x）≤0恒成立即可．

设g（x）＝f′（x）＝2x－ex，则g′（x）＝2－ex，

当x＝ln2时，g′（x）＝0，

当x∈（－∞，ln2）时，g′（x）>0，

当x∈（ln2，＋∞）时，g′（x）<0.

∴f′（x）max＝g（x）max＝g（ln2）＝2ln2－2<0，

∴f′（x）<0恒成立，

∴f（x）在R上单调递减．

[典例2]　（2012·北京高考改编）已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间．

[解]　

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b，

由已知可得解得a＝b＝3.

（2）令F（x）＝f（x）＋g（x）＝x3＋ax2＋x＋1，F′（x）＝3x2＋2ax＋，令F′（x）＝0，得x1＝－，x2＝－，

∵a>0，∴x1

由F′（x）>0得，x<－或x>－；

由F′（x）<0得，－

∴单调递增区间是，；单调递减区间为.

[针对训练]

（2013·重庆高考）设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．

（1）确定a的值；

（2）求函数f（x）的单调区间与极值．

解：

（1）因为f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，故f′（x）＝2a（x－5）＋.

令x＝1，得f

（1）＝16a，f′

（1）＝6－8a，所以曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程为y－16a＝（6－8a）·（x－1），由点（0,6）在切线上可得6－16a＝8a－6，

故a＝.

（2）由

（1）知，f（x）＝（x－5）2＋6lnx（x>0），

f′（x）＝x－5＋＝.

令f′（x）＝0，解得x1＝2，x2＝3.

当03时，f′（x）>0，故f（x）在（0,2），（3，＋∞）上为增函数；当2

由此可知f（x）在x＝2处取得极大值f

（2）＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln3.

考点三：

已知函数的单调性求参数的范围

[典例]　（2014·山西诊断）已知函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax（a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）在区间（1，＋∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

[解]　

（1）当a＝1时，f（x）＝lnx－x2＋x，其定义域是（0，＋∞），

f′（x）＝－2x＋1＝－，

令f′（x）＝0，即－＝0，解得x＝－或x＝1.

∵x>0，∴x＝1.

当00；当x>1时，f′（x）<0.

∴函数f（x）在区间（0,1）上单调递增，在区间（1，＋∞）上单调递减．

（2）显然函数f（x）＝lnx－a2x2＋ax的定义域为（0，＋∞），

∴f′（x）＝－2a2x＋a＝＝.

①当a＝0时，f′（x）＝>0，

∴f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，不合题意．

②当a>0时，f′（x）≤0（x>0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x>0），即x≥，

此时f（x）的单调递减区间为.

由得a≥1.

③当a<0时，f′（x）≤0（x>0）等价于（2ax＋1）·（ax－1）≥0（x>0），即x≥－，此时f（x）的单调递减区间为.

由得a≤－.

综上，实数a的取值范围是∪[1，＋∞）．

[针对训练]

（2014·荆州质检）设函数f（x）＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.

（1）求b，c的值；

（2）若a>0，求函数f（x）的单调区间；

（3）设函数g（x）＝f（x）＋2x，且g（x）在区间（－2，－1）内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．

解：

（1）f′（x）＝x2－ax＋b，

由题意得即

（2）由

（1）得，f′（x）＝x2－ax＝x（x－a）（a>0），

当x∈（－∞，0）时，f′（x）>0，

当x∈（0，a）时，f′（x）<0，

当x∈（a，＋∞）时，f′（x）>0.

所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（a，＋∞），单调递减区间为（0，a）．

（3）g′（x）＝x2－ax＋2，

依题意，存在x∈（－2，－1），使不等式g′（x）＝x2－ax＋2<0成立，

即x∈（－2，－1）时，a

当且仅当“x＝”即x＝－时等号成立，

所以满足要求的a的取值范围是（－∞，－2）．

考点四：

用导数解决函数的极值问题

[典例]　（2013·福建高考节选）已知函数f（x）＝x－1＋（a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）若曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

[解]　

（1）由f（x）＝x－1＋，得f′（x）＝1－.

又曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线平行于x轴，

得f′

（1）＝0，即1－＝0，解得a＝e.

（2）f′（x）＝1－，

①当a≤0时，f′（x）>0，f（x）为（－∞，＋∞）上的增函数，所以函数f（x）无极值．

②当a>0时，令f′（x）＝0，得ex＝a，即x＝lna.

x∈（－∞，lna），f′（x）<0；x∈（lna，＋∞），f′（x）>0，

所以f（x）在（－∞，lna）上单调递减，在（lna，＋∞）上单调递增，

故f（x）在x＝lna处取得极小值，

且极小值为f（lna）＝lna，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；

当a>0时，f（x）在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．

[针对训练]

设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图像关于直线x＝－对称，且f′

（1）＝0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值．

解：

（1）因为f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1，

故f′（x）＝6x2＋2ax＋b，

从而f′（x）＝62＋b－，

即y＝f′（x）关于直线x＝－对称．

从而由题设条件知－＝－，即a＝3.

又由于f′

（1）＝0，即6＋2a＋b＝0，

得b＝－12.

（2）由

（1）知f（x）＝2x3＋3x2－12x＋1，

所以f′（x）＝6x2＋6x－12＝6（x－1）（x＋2），

令f′（x）＝0，

即6（x－1）（x＋2）＝0，

解得x＝－2或x＝1，

当x∈（－∞，－2）时，f′（x）>0，

即f（x）在（－∞，－2）上单调递增；

当x∈（－2,1）时，f′（x）<0，

即f（x）在（－2,1）上单调递减；

当x∈（1，＋∞）时，f′（x）>0，

即f（x）在（1，＋∞）上单调递增．

从而函数f（x）在x＝－2处取得极大值f（－2）＝21，

在x＝1处取得极小值f

（1）＝－6.

考点五运用导数解决函数的最值问题

[典例]　已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当a>0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值．

[解]　

（1）f′（x）＝－a（x>0），

①当a≤0时，f′（x）＝－a>0，

即函数f（x）的单调增区间为（0，＋∞）．

②当a>0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，

当00；

当x>时，f′（x）＝<0，

故函数f（x）的单调递增区间为，

单调递减区间为.

（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1,2]上是减函数，∴f（x）的最小值是f

（2）＝ln2－2a.

②当≥2，即0

（1）＝－a.

③当1<<2，即

（2）－f

（1）＝ln2－a，∴当

（1）＝－a；

当ln2≤a<1时，最小值为f

（2）＝ln2－2a.

综上可知，

当0

当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2－2a.

[针对训练]

设函数f（x）＝alnx－bx2（x>0），若函数f（x）在x＝1处与直线y＝－相切，

（