全国高中数学联赛模拟题冲刺.doc

全国高中数学联赛模拟题冲刺.doc

《全国高中数学联赛模拟题冲刺.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛模拟题冲刺.doc（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）

1、整数，且，则分别为　　　　　　　　。

2、.均为非负实数，则

　的最小值为　　　　　　　　　　　。

3、已知集合，其中，且。

若正整数，且，符合条件的有个

4、记，则的最小值是

5、集合的容量是指集合中元素的和．则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是．（用具体数字作答）

6、为的单调递增数列，满足，则　。

7、设为方程的根（），则　　　　。

8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为ξ（当所取3点共线时，ξ＝0），则ξ的数学期望=

9、（本题16分）求函数的最大值和最小值．

10、（本题20分）设x，y，z为正实数，求函数的最小值。

11、（本题20分）n2（n≥4）个正数排成n行n列

a11a12a13a14……a1n

a21a22a23a24……a2n

a31a32a33a34……a3n

a41a42a43a44……a4n

…………………

an1an2an3an4……ann

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,

a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）

2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）

（二试）

1、（本题40分）如图，已知△ABC的外角∠EAC的平分线与△ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：

线段PQ平分△ABC的周长。

（2006浙江集训）

2、（本题40分）将正奇数集合{1，3，5，…}从小到大按第n组有（2n－1）奇数进行分组：

{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…（第1组）（第2组）（第3组）问2011位于第几组中？

3、（本题50分）设有数列，且当时，

求证：

对一切，.

4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值（依赖于）.

2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）

参考答案

一试

1、解：

方程两边同乘以８，得。

因为，所以要使左边为奇数，只有，即。

则。

要使左边为奇数，只有，即。

从而有　，即。

故有。

答案为　。

2、解：

在直角坐标系中，作点，，，，。

则

Ｉ＝

　＝＋＋＋　　　（应用三角不等式）

＋＋＋＝2010。

如果取，即，那么Ｉ取到最小值2010。

3、个.转化为进制。

∵，故＝

，,

中以的数有个

的数有个，的数最大到，有个。

中，故中。

从而，满足要求的数有个。

∵＝，不小于小的数有个

满足要求的数有1004－＋１＝662．

4、设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离

，当时等号成立．故的最小值为．

5、224．先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：

，，，，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是：

．

6、解：

　　（由题意可知取正号。

）

因此，公差为２的等差数列，即。

从而可得。

7、解：

　由题意，。

由此可得

　，，以及　。

。

8、

ξ

0

P

，

9、解：

∵，令，

若即，则，

当时，；当时，．

若即，则，

当时，；当时，．

综上，函数的最大值为２，最小值为．

10.解：

在取定y的情况下，

≥．

其中等号当且仅当时成立．

同样，

其中等号当且仅当z=时成立．所以

=．

其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立．

故当x=，y=，z=等时，f（x，y，z）取得最小值194+112．

11.设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,

所以a44=2a43－a42=2×－=.又因为a44=a24·q2=q2,所以q=,于是有

解此方程组，得d=,a11=.

对于任意的1≤k≤n,有

二试

1、证：

如图，连结DB、OP、DQ，因∠ABD+∠ACD，∠EAC=∠ABC+∠ACB，则∠EAC=∠DBC+∠DCB，即：

2∠DAC=∠DBC+∠DCB；又∠DAC=∠DBC，则：

∠OBC=∠DCB；故△DBC为等腰三角形，因OP⊥BC，则CP=BC。

在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：

AC·BD=BC·AD+AB·CD，因BD=CD，则：

AC-AB=，又DQ⊥AC，则△ADQ∽△BDP，所以，即：

AQ=。

故AC-AB=2AQ，即AQ=。

从而：

CQ+CP=（AC-AQ）+BC=（AC-BC=（AB+BC+CA）。

2、因为1+3+5+…+（2n－1）=n2

所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2n2－1,第n组第一个数即第n－1组最后一个数后面的奇数为[2（n－1）2－1]+2=2（n－1）2+1.由题意，有不等式

2（n－1）2+1≤1991≤2n2－1.

解得（n－1）2≤995且n2≥996，从而n≤32且n≥32，

故n=32，即1991位于第32组中.

3、证直接写出的前几项，依次为1，2，7，29，22，23，49，26，-17，……，发现它们都不是3的倍数，进而构造关于3的模数列，则呈现明显的规律.因而只要证明：

.

（1）时，结论显然成立；

（2）设上面两式对成立，则

（i）若为偶数，则

.

若为奇数，则.

即总成立.

（ii）同理可证.

由此可知，对一切，有，故.

本题若取模，则，仍然可证明相同的结论.

4、解析设研究所中有个科学家.表示在第个和第个科学家中恰有一个在咖啡厅的时间.令则另一方面，我们将8小时工作时间分成有限段,,,，使得在每段时间中都没有科学家进出咖啡厅.设在时间段中有个科学家在咖啡厅，则有.

于是有.

如果，则得到，即

如果，则得到，

即

总之都有

下面举例说明上述不等式可以取到等号.

设令.将8小时工作时间等分，每段时间对应个科学家中的个人，不同的时间段对应的人不完全相同.由对称性，对于任意两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和全相等，设为.则有

.

由此，（等价于）.故满足条件.

第11页