全国高中数学联赛模拟题冲刺.doc

1、2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）1、整数，且，则分别为。2、.均为非负实数，则的最小值为。3、已知集合，其中，且。若正整数，且，符合条件的有 个4、记，则的最小值是 5、集合的容量是指集合中元素的和则满足条件“，且若时，必有”的所有非空集合的容量的总和是 （用具体数字作答）6、为的单调递增数列，满足，则。7、设为方程的根（），则。8、如图，记从“田字型”网格（由4个边长为1的正方形构成）的9个交点中任取3个构成三角形的面积记为（当所取3点共线时，0），则的数学期望= 9、（本题16分）求函数 的最大值和最小值10、（本题20分）设x，y，z为正实数，求函数 的最小值。11、（本题20

2、分）n2(n4)个正数排成n行n列a11 a12 a13 a14 a1na21 a22 a23 a24 a2na31 a32 a33 a34 a3na41 a42 a43 a44 a4n an1 an2 an3 an4 ann其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+ann.（1990年全国高中数学联赛试题）2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）（二试）1、（本题40分）如图，已知ABC的外角EAC的平分线与ABC的外接圆交于点D，以CD为直径的圆分别交BC，CA于点P、Q，求证：线段PQ平分ABC的周长

3、。（2006浙江集训）2、（本题40分）将正奇数集合1，3，5，从小到大按第n组有(2n1)奇数进行分组：1, 3,5,7 , 9, 11, 13, 15, 17, （第1组）（第2组）（第3组）问2011位于第几组中？3、（本题50分）设有数列，且当时，求证：对一切，.4、（本题50分）一群科学家在一个研究所工作.在某天的8小时工作时间内，每个科学家都至少去过一次咖啡厅.已知对于每两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和至少为小时.求出在研究所中工作的科学家人数的最大可能值(依赖于) . 2011年全国高中数学联赛模拟题冲刺（7）参考答案一试1、解：方程两边同乘以，得。因为，所以

4、要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有，即。故有。答案为。2、解：在直角坐标系中，作点，。则（应用三角不等式）2010。如果取，即，那么取到最小值2010。3、个. 转化为进制。，故，,中以的数有个的数有个，的数最大到，有个。中 ，故中。从而，满足要求的数有个。 ，不小于小的数有个满足要求的数有1004662 4、 设动点与，则，点的轨迹为直线，点的轨迹为双曲线，双曲线上的任一点到直线的距离，当时等号成立故的最小值为5、224先找出满足条件的单元素和二元素的集合有：，将这四个集合中的元素任意组合起来也满足要求，则所有符合条件的集合A中元素的总和是 ：6、解：（由题意可知

5、取正号。）因此，公差为的等差数列，即。从而可得。 7、解：由题意，。由此可得，以及。8、0P，9、解：，令，若即，则， 当时，；当时， 若即，则， 当时，；当时， 综上，函数 的最大值为，最小值为 10. 解：在取定y的情况下， 其中等号当且仅当时成立 同样， 其中等号当且仅当z=时成立所以= 其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立 故当x=，y=，z=等时，f(x，y，z)取得最小值194+112 11. 设第一行数列公差为d，各列数列公比为q.因为2a43=a42+a44,所以a44=2a43a42=2=.又因为a44=a24q2=q2,所以q=,于是有 解此方程组，得d=,a11=.

6、对于任意的1kn,有二试1、证：如图，连结DB、OP、DQ，因ABD+ACD，EAC=ABC+ACB，则EAC=DBC+DCB，即：2DAC=DBC+DCB；又DAC=DBC，则：OBC=DCB；故DBC为等腰三角形，因OPBC，则CP=BC。在圆内接四边形ABCD中，由托勒密定理得：ACBD=BCAD+ABCD，因BD=CD，则：AC-AB=，又DQAC，则ADQBDP，所以，即：AQ=。故AC-AB=2AQ，即AQ=。从而：CQ+CP=（AC-AQ）+BC=（AC-BC=(AB+BC+CA)。2、因为1+3+5+(2n1)=n2所以前n组共含有奇数n2个，第n组最后一个数即第n2个奇数为2

7、n21,第n组第一个数即第n1组最后一个数后面的奇数为2(n1)21+2=2(n1)2+1.由题意，有不等式2(n1)2+119912n21.解得(n1)2995且n2996，从而n32且n32，故n=32，即1991位于第32组中.3、证 直接写出的前几项，依次为1，2，7，29，22，23，49，26，-17，发现它们都不是3的倍数，进而构造关于3的模数列，则呈现明显的规律.因而只要证明：.（1）时，结论显然成立；（2）设上面两式对成立，则（i）若为偶数，则.若为奇数，则.即总成立.（ii）同理可证.由此可知，对一切，有，故.本题若取模，则，仍然可证明相同的结论.4、解析 设研究所中有个科学家.表示在第个和第个科学家中恰有一个在咖啡厅的时间.令 则 另一方面，我们将8小时工作时间分成有限段,，使得在每段时间中都没有科学家进出咖啡厅.设在时间段中有个科学家在咖啡厅，则有.于是有 .如果，则得到，即 如果，则得到，即 总之都有 下面举例说明上述不等式可以取到等号.设 令.将8小时工作时间等分，每段时间对应个科学家中的个人，不同的时间段对应的人不完全相同.由对称性，对于任意两个科学家，恰有他们中的一个出现在咖啡厅中的时间总和全相等，设为.则有.由此，（等价于）. 故满足条件.第11页