全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解.doc

全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解.doc

《全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国高中数学联赛福建省预赛试题及详解.doc（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2014年福建省高中数学竞赛

暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷

（考试时间：

2014年5月17日上午9：

00－11：

30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知直线：

，：

，若，则。

2．函数（）的值域为。

3．在三棱锥中，，，，，。

则三棱锥的体积为。

4．已知、为双曲线：

的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。

若，则内切圆半径为。

5．已知集合，。

若，且中恰有1个整数，则的取值范围为。

6．若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时，。

7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。

8．已知点，，。

平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。

若区域的面积为8，则的最小值为。

9．被63除的余数为。

（符号表示不超过的最大整数。

）

10．若，，为关于的方程的三个实根，则的最小值为。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）

11．已知为递增的等比数列，且，。

，数列的前项和为，求证：

对一切正整数均有，。

12．已知为椭圆：

的右焦点，椭圆上任意一点到点的距离与点到直线：

的距离之比为。

（1）求直线方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。

以为直径的圆是否恒过一定点？

若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

13．如图，在五边形中，，，，为中点，为的外心，且。

延长至点，使得。

（1）求证：

；

（2）求证：

。

14．已知。

（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：

对一切正整数均成立。

15．给定2014个和为1的非负实数，，，…，。

证明：

存在，，，…，的一个排列，，，…，，满足。

2014年福建省高中数学竞赛

暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

（考试时间：

2014年5月17日上午9：

00－11：

30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。

请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知直线：

，：

，若，则。

【答案】

【解答】。

2．函数（）的值域为。

【答案】

【解答】。

由知，，。

3．在三棱锥中，，，，，。

则三棱锥的体积为。

【答案】

【解答】如图，作于，连、、。

∵，，

∴，，四边形为矩形。

由知，四边形为正方形，且。

又，因此，为正三角形，。

∴。

于是，。

∴三棱锥的体积为。

4．已知、为双曲线：

的左、右焦点，为双曲线上一点，且点在第一象限。

若，则内切圆半径为。

【答案】2

【解答】设，则，。

于是，，，，结合知，为直角三角形，。

∴内切圆半径。

5．已知集合，。

若，且中恰有1个整数，则的取值范围为。

【答案】

【解答】。

设，则的轴对称。

由，知。

因此，中恰有的一个整数为3。

∴，解得。

故，的取值范围为。

6．若分数（，为正整数）化成小数为，则当取最小值时，。

【答案】121

【解答】由，知，，记（为正整数）。

于是，，。

∴。

当时，，取，时，最小为101。

又符合要求。

故，当最小时，。

7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为。

【答案】

【解答】投掷3粒骰子共有种可能。

考虑。

投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有（种）。

（分为，，，，，这6种可能，每类有6种情况。

其中，，，，，，重复出现）

同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。

∴投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有种可能。

∴所求概率为。

8．已知点，，。

平面区域由所有满足（，）的点组成的区域。

若区域的面积为8，则的最小值为。

【答案】4

【解答】如图，延长至点，延长至点，使得，。

四边形、、均为平行四边形。

由条件知，点组成的区域为图中的阴影部分，即四边形（不含边界、）。

∵，，。

∴，，，，。

∴四边形的面积为。

∴，。

由，知，当且仅当，即时，取最小值4。

9．被63除的余数为。

（符号表示不超过的最大整数。

）

【答案】56

【解答】∵对任意正整数，与均不是整数，且。

∴对任意正整数，。

∴。

10．若，，为关于的方程的三个实根，则的最小值为。

【答案】

【解答】依题意，有。

∴。

∴，。

∴。

。

∴，，中至少有一个成立。

不妨设，。

∴。

设，则。

∴时，；时，。

在上为减函数，在上为增函数。

∴有最小值。

此时，，，或，，。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。

要求写出解题过程）

11．已知为递增的等比数列，且，。

，数列的前项和为，求证：

对一切正整数均有，。

【解答】设的公比为，则。

由，，知，。

∴。

……………………………5分

∴。

∵时，

，

……………………………10分

∴时，

。

………………………………15分

又时，。

∴对一切正整数均有。

……………………………20分

12．已知为椭圆：

的右焦点，椭圆上任意一点到点的距离与点到直线：

的距离之比为。

（1）求直线方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点。

以为直径的圆是否恒过一定点？

若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

【解答】

（1），设为椭圆上任意一点，依题意有。

∴。

将代入，并整理得。

由点为椭圆上任意一点知，方程对的均成立。

∴，且。

解得。

∴直线的方程为。

……………………5分

（2）易知直线斜率不为0，设方程为。

由，得。

设，，则，。

……………10分

由，知方程为，点坐标为。

同理，点坐标为。

…………………15分

由对称性，若定点存在，则定点在轴上。

设在以为直径的圆上。

则。

∴。

即，，或。

∴以为直径的圆恒过轴上两定点和。

…………………20分

注：

若只求出或证明两定点中的一个不扣分。

也可以由特殊的直线，如，得到圆与轴的交点和后，再予以证明。

13．如图，在五边形中，，，，为中点，为的外心，且。

延长至点，使得。

（1）求证：

；

（2）求证：

。

【解答】

（1）∵为中点，且，

∴，点在的外接圆上。

∴。

…………5分

（2）延长至点，使得。

联结，，，，。

由知，。

又。

∴，，且四边形为平行四边形。

∴也是中点。

……………10分

∴四边形为平行四边形，。

四边形为平行四边形，。

∴

。

∴。

………15分

∴

。

∴。

∴、、、四点共圆。

∴。

∴。

……………20分

14．已知。

（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：

对一切正整数均成立。

【解答】

（1）。

若，则，时，。

此时，在区间上为增函数。

∴时，。

符合要求。

……………………5分

若，则方程有两个异号的实根，设这两个实根为，，且。

∴时，。

在区间上为减函数，。

∴不符合要求。

∴的取值范围为。

……………………10分

（2）由

（1）知，时，不等式恒成立。

∴时，恒成立。

令（），得，

整理得。

……………………15分

∴。

令，2，3，…，，得

，，，…，。

将上述个不等式的左右两边分别相加，得

。

∴对一切正整数均成立。

……………………………20分

15．给定2014个和为1的非负实数，，，…，。

证明：

存在，，，…，的一个排列，，，…，，满足。

【解答】为方便起见，称和式为2014个实数，，…，的“循环和式”。

由于2014个排列：

，，，…，；，，…，，；，，…，，，；……；，，，…，。

对应的“循环和式”是同一个“循环和式”。

因此，，，，…，的个排列对应个“循环和式”。

…………………………5分

记这个“循环和式”为，，，…，。

其中。

设这个“循环和式”总和为，即。

由于每一个（，2，3，…，2014）在每个“循环和式”中均出现两次，因此，在中共出现次。

∴。

…………………………10分

（这里）

另一方面，由，

以及柯西不等式：

，

得，。

∴。

………………………15分

∴。

∴，，，…，中至少有一个不大于。

设，则对应的“循环和式”为的排列符合要求。

∴存在一个，，，…，的排列符合要求。

……………………20分

12