上海市高考数学试卷文科答案与解析.doc
《上海市高考数学试卷文科答案与解析.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《上海市高考数学试卷文科答案与解析.doc(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2008年上海市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(共11小题,每小题4分,满分44分)
1.(4分)(2008•上海)不等式|x﹣1|<1的解集是 (0,2) .
【考点】绝对值不等式的解法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先去掉绝对值然后再根据绝对值不等式的解法进行求解.
【解答】解:
∵|x﹣1|<1,
∴﹣1<x﹣1<1⇒0<x<2.
故答案为:
(0,2).
【点评】此题考查绝对值不等式的解法,解题的关键是去掉绝对值,此类题目是高考常见的题型,此题是一道基础题.
2.(4分)(2008•上海)若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实数a= 2 .
【考点】交集及其运算;集合的包含关系判断及应用.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由题意A∩B={2},得集合B中必定含有元素2,且A,B只有一个公共元素2,可求得a即可.
【解答】解:
由A∩B={2},
则A,B只有一个公共元素2;
可得a=2.
故填2.
【点评】本题考查了集合的确定性、交集运算,属于基础题.
3.(4分)(2008•上海)若复数z满足z=i(2﹣z)(i是虚数单位),则z= 1+i .
【考点】复数代数形式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】直接化简出z,然后化简表达式为a+bi(a、b∈R)即可.
【解答】解:
由.
故答案为:
1+i.
【点评】本题考查复数代数形式的混合运算,是基础题.
4.(4分)(2008•上海)若函数f(x)的反函数为f﹣1(x)=log2x,则f(x)= 2x(x∈R) .
【考点】反函数.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】本题即要求y=log2x的反函数,欲求原函数y=log2x的反函数,即从原函数式中反解出x,后再进行x,y互换,即得反函数的解析式.
【解答】解:
令∵y=log2x(x>0),
则y∈R且x=2y,
∴f(x)=2x(x∈R).
故答案为:
2x(x∈R).
【点评】本题考查反函数的求法,属于基础题目,要会求一些简单函数的反函数,掌握互为反函数的函数图象间的关系.
5.(4分)(2008•上海)若向量,满足且与的夹角为,则= .
【考点】平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
【分析】根据可得答案.
【解答】解:
∵且与的夹角为
∴=7
∴则=
故答案为:
【点评】本题主要考查向量的数量积运算,属基础题.
6.(4分)(2008•上海)若直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点,则实数a= ﹣1 .
【考点】抛物线的简单性质.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】先求出抛物线的焦点坐标,然后代入即可求出a.
【解答】解:
直线ax﹣y+1=0经过抛物线y2=4x的焦点F(1,0),则a+1=0∴a=﹣1.
故答案为:
﹣1
【点评】本题主要考查抛物线的性质.属基础题.
7.(4分)(2008•上海)若z是实系数方程x2+2x+p=0的一个虚根,且|z|=2,则p= 4 .
【考点】复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
【分析】设出复数z,利用已知条件,结合韦达定理,及|z|=2,求得p.
【解答】解:
设z=a+bi,则方程的另一个根为z'=a﹣bi,且,
由韦达定理直线z+z'=2a=﹣2,∴a=﹣1,∴,
所以
故答案为:
4
【点评】本题考查复数代数形式乘除运算,韦达定理的使用,复数的模,是中档题.
8.(4分)(2008•上海)在平面直角坐标系中,从五个点:
A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示).
【考点】等可能事件的概率.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由题意知本题是一个古典概型,总事件数是从5个点取三个有C53种取法,要求三点能构成三角形不好判断,我们从它的对立事件来考虑,先观察出共线的点,用总事件数减去,最后用古典概型公式得到结果.
【解答】解析:
从5个点取三个有C53种取法,
由已知:
A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)
得A、C、E三点都在直线y=x上即三点共线,
B、C、D三点都在直线y=﹣x+2上即三点共线,
∴五点中任选三点能构成三角形的概率为
故答案为:
.
【点评】本题考查古典概型,要求理解古典概型的特征:
试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,掌握列举法,学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率和其他知识点结合的计算问题.
9.(4分)(2008•上海)若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(﹣∞,4],则该函数的解析式f(x)= ﹣2x2+4 .
【考点】函数解析式的求解及常用方法.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】利用函数的定义域、值域的特点得到函数是二次函数;据函数是偶函数关于y轴对称及二次函数的对称轴公式得到方程求出a,b的值;将求出的值代入二次函数解析式求其值域验证值域是否是(﹣∞,4].
【解答】解:
由于f(x)的定义域为R,值域为(﹣∞,4],
可知b≠0,∴f(x)为二次函数,
f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2.
∵f(x)为偶函数,
∴其对称轴为x=0,∴﹣=0,
∴2a+ab=0,∴a=0或b=﹣2.
若a=0,则f(x)=bx2与值域是(﹣∞,4]矛盾,∴a≠0,
若b=﹣2,又其最大值为4,
∴=4,∴2a2=4,
∴f(x)=﹣2x2+4.
故答案为﹣2x2+4
【点评】本题考查偶函数的图象特点、二次函数的对称轴公式、二次函数值域的求法.
10.(4分)(2008•上海)已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,平均数为10.若要使该总体的方差最小,则a、b的取值分别是
a=10.5,b=10.5 .
【考点】极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数.菁优网版权所有
【专题】综合题;压轴题.
【分析】根据中位数的定义得到a与b的关系式,要求总体的方差最小,即要求(a﹣10)2+(b﹣10)2最小,利用a与b的关系式消去a,得到关于b的二次函数,求出函数的最小值即可得到a和b的值.
【解答】解:
这10个数的中位数为=10.5.
这10个数的平均数为10.
要使总体方差最小,
即(a﹣10)2+(b﹣10)2最小.
又∵(a﹣10)2+(b﹣10)2=(21﹣b﹣10)2+(b﹣10)2
=(11﹣b)2+(b﹣10)2=2b2﹣42b+221,
∴当b=10.5时,(a﹣10)2+(b﹣10)2取得最小值.
又∵a+b=21,
∴a=10.5,b=10.5.
故答案为:
a=10.5,b=10.5
【点评】考查学生掌握中位数及方差的求法,以及会利用函数的方法求最小值.此题是一道综合题.要求学生灵活运用二次函数的知识解决数学问题.
11.(4分)(2008•上海)在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当ω=xy取到最大值时,点P的坐标是 .
【考点】简单线性规划的应用.菁优网版权所有
【专题】计算题;压轴题.
【分析】本题主要考查线性规划的基本知识,先画出由点A(0,1),B(4,2),C的坐标分别为(2,6)围成的△ABC区域(含边界)再分析xy出现最值时,对应点的大位位置,再结合基本不等式,求出具体的点的坐标.
【解答】解:
∵点A,B,C的坐标分别为(0,1),(4,2),(2,6).
∴△ABC围成的区域(含边界)如下图示:
由图可知:
当ω=xy取到最大值时,点P在线段BC上,
由线段BC上的点满足:
y=﹣2x+10,x∈[2,4],
∴ω=xy=x(﹣2x+10),
故当时,ω取到最大值.
故答案为:
【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的点的坐标,即可求出答案.
二、选择题(共4小题,每小题4分,满分16分)
12.(4分)(2008•上海)设p是椭圆上的点.若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于( )
A.4 B.5 C.8 D.10
【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有
【专题】计算题.
【分析】由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a,进而求得答案.
【解答】解:
由椭圆的第一定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,
故选D.
【点评】本题主要考查了椭圆的性质,属基础题.
13.(4分)(2008•上海)给定空间中的直线l及平面α,条件“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )条件.
A.充要 B.充分非必要
C.必要非充分 D.既非充分又非必要
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.菁优网版权所有
【分析】由垂直的定义,我们易得“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题,反之,“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论.
【解答】解:
直线与平面α内的无数条平行直线垂直,但该直线未必与平面α垂直;
即“直线l与平面α内无数条直线都垂直”⇒“直线l与平面α垂直”为假命题;
但直线l与平面α垂直时,l与平面α内的每一条直线都垂直,
即“直线l与平面α垂直”⇒“直线l与平面α内无数条直线都垂直”为真命题;
故“直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的必要非充分条件
故选C
【点评】判断充要条件的方法是:
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.
14.(4分)(2008•上海)若数列{an}是首项为1,公比为a﹣的无穷等比数列,且{an}各项的和为a,则a的值是( )
A.1 B.2 C. D.
【考点】等比数列的前n项和;等比数列.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】由无穷等比数列{an}各项和为a,则利用等比数列前n项和公式列方程解之即可.
【解答】解:
由题意知a1=1,q=a﹣,且|q|<1,
∴Sn==a,即,
解得a=2.
故选B.
【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式与极限思想.
15.(4分)(2008•上海)如图,在平面直角坐标系中,Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域(含边界),A、B、C、D是该圆的四等分点,若点P(x,y)、P′(x′,y′)满足x≤x′且y≥y′,则称P优于P′,如果Ω中的点Q满足:
不存在Ω中的其它点优于Q,那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧( )
A. B. C. D.
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域.菁优网版权所有
【专题】压轴题.
【分析】P优于P′的几何意义是:
过点P′分别作平行于两坐标轴的直线,则点P落在两直线构成的左上方区域内.
【解答】解:
依题意,在点Q组成的集合中任取一点,过该点分别作平行于两坐标轴的直线,构成的左上方区域与点Q组成的集合无公共元素,