2016年(全国卷II)(含答案)高考文科数学.doc
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2016年普通高等学校招生全国统一考试（2全国Ⅱ卷）
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12题,共计60分）
1.已知集合A={1，2，3}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（ ）
A.{-2，-1，0，1，2，3} B.{-2，-1，0，1，2}
C.{1，2，3} D.{1，2}
2.设复数z满足z+i=3-i，则=（ ）
A.-1+2i B.1-2i C.3+2i D.3-2i
3.函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A.y=2sin（2x-） B.y=2sin（2x-）
C.y=2sin（x+） D.y=2sin（x+）
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）
A.12π B.π C.8π D.4π
5.设F为抛物线C：
y2=4x的焦点，曲线y=（k＞0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=（ ）
A. B.1 C. D.2
6.圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=（ ）
A.- B.- C. D.2
7.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
A.20π B.24π C.28π D.32π
8.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（ ）
A.7 B.12 C.17 D.34
10.下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是（ ）
A.y=x B.y=lgx C.y=2x D.y=
11.函数f（x）=cos2x+6cos（-x）的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
12.已知函数f（x）（x∈R）满足f（x）=f（2-x），若函数y=|x2-2x-3|与y=f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则xi=（ ）
A.0 B.m C.2m D.4m
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量=（m，4），=（3，-2），且∥，则m=______．
14.若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为______．
15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=______．
16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：
“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是______．
三、解答题（本大题共8小题，共94.0分）
17.等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
18.某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值．
19.如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．
（Ⅰ）证明：
AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=，OD′=2，求五棱锥D′-ABCFE体积．
20.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f
（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．
21.已知A是椭圆E：
+=1的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E与A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（I）当|AM|=|AN|时，求△AMN的面积
（II）当2|AM|=|AN|时，证明：
＜k＜2．
22.如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：
B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
23.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
24.已知函数f（x）=|x-|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：
当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
2016年普通高等学校招生全国统一考试试题
文科数学
一、选择题：
本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.【答案】D
【解析】由得，，所以，所以，故选D.
2.【答案】C
【解析】由得，，故选C.
3.【答案】A
4.【答案】A
【解析】因为正方体的体积为8，所以正方体的体对角线长为，所以正方体的外接球的半径为，所以球面的表面积为，故选A.
5.【答案】D
【解析】，又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.
6.【答案】A
【解析】圆心为，半径，所以，解得，故选A.
7.【答案】C
【解析】因为原几何体由同底面一个圆柱和一个圆锥构成，所以其表面积为，故选C.
8.【答案】B
【解析】至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.
9.【答案】C
【解析】第一次运算，a=2，s=2，n=2，k=1，不满足k>n;
第二次运算，a=2，s=，k=2，不满足k>n;
第三次运算，a=5，s=，k=3，满足k>n，
输出s=17，故选C．
10.【答案】D
【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D．
11.【答案】B
【解析】因为，而，所以当时，取最大值5，选B.
12.【答案】B
【解析】因为都关于对称，所以它们交点也关于对称，当为偶数时，其和为，当为奇数时，其和为，因此选B.
二．填空题：
共4小题，每小题5分.
13.【答案】
【解析】因为a∥b，所以，解得．
14.【答案】
15.【答案】
【解析】因为，且为三角形内角，所以，，又因为，所以.
16.【答案】和
【解析】由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.
17.解：
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3+a4=4，a5+a7=6．
∴，
解得：
，
∴an=；
（Ⅱ）∵bn=[an]，
∴b1=b2=b3=1，
b4=b5=2，
b6=b7=b8=3，
b9=b10=4．
故数列{bn}的前10项和S10=3×1+2×2+3×3+2×4=24．
18.解：
（I）记A为事件：
“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．事件A的人数为：
60+50=110，该险种的200名续保，
P（A）的估计值为：
=；
（Ⅱ）记B为事件：
“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．事件B的人数为：
30+30=60，P（B）的估计值为：
=；
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费估计值为=．=1.1925a．
19.（Ⅰ）证明：
∵菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，
∴EF∥AC，且EF⊥BD，
又D′H⊥EF，
D′H∩DH=H，
∴EF⊥平面DD′H，
∵HD′⊂平面D′HD，
∴EF⊥HD′，
∵EF∥AC，
∴AC⊥HD′；
（Ⅱ）若AB=5，AC=6，则AO=3，B0=OD=4，
∵AE=，AD=AB=5，
∴DE=5-=，
∵EF∥AC，
∴====，
∴EH=，EF=2EH=，DH=3，OH=4-3=1，
∵HD′=DH=3，OD′=2，
∴满足HD′2=OD′2+OH2，
则△OHD′为直角三角形，且OD′⊥OH，
即OD′⊥底面ABCD，
即OD′是五棱锥D′-ABCFE的高．
底面五边形的面积S=+=+=12+=，
则五棱锥D′-ABCFE体积V=S•OD′=××2=．
20.解：
（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．
f
（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•-4，
则f′
（1）=ln1+2-4=2-4=-2，
即函数的切线斜率k=f′
（1）=-2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），
∴f′（x）=1++lnx-a，
∴f″（x）=，
∵x＞1，∴f″（x）＞0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）＞f′
（1）=2-a．
①a≤2，f′（x）＞f′
（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f
（1）=0，满足题意；
②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）=0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
由f
（1）=0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．
综上所述，a≤2．
21.解：
（I）由椭圆E的方程：
+=1知，其左顶点A（-2，0），
∵|AM|=|AN|，且MA⊥NA，∴△AMN为等腰直角三角形，
∴MN⊥x轴，设M的纵坐标为a，则M（a-2，a），
∵点M在E上，∴3（a-2）2+4a2=12，整理得：
7a2-12a=0，∴a=或a=0（舍），
∴S△AMN=a×2a=a2=；
（II）设直线lAM的方程为：
y=k
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