完整新人教版初一数学下学期经典辅导讲义docxWord文件下载.docx
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3
、实数分类：
（1）按定义分（略）
（2）按正负性分（略）
4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：
（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
6、实数的运算：
实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意
一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
7、实数大小：
（1）正数>
0>
负数；
（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；
绝对值小的反而大。
（3）数
轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。
实数比较大小的方法：
作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法·
·
二、解题实用
1、21.4142131.73252.236
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、a2
3a33a
、ab
ab
b
b0
三、典题练习
1、16
的平方根是
；
-32
的算术平方根是
-32
的立方根是
。
2、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是
如果一个有理数的平方根与立方根相
同，那么这个数是
3、一个自然数的算术平方根是
x，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是
4、下列各数中一定为正数的是
（填序号）
①x
②
x1
③x2
④
3x1⑤x1
5、当x<
-1时，x2
，-x,
-x3和
1的大小关系
x
6、比较下列各组数的大小
12-3与2-2
4
与7
与
211
21
335
4-
-
5
7
7、7-
的绝对值为
，相反数为
，倒数为
8、已知
3，y为4的平方根，xy
0，求x+y的值。
9、已知
y-2
，求x2+y的平方根。
10、如果一个非负数的平方根为2a-1和a-5，则这个数是。
11、a为5的整数部分，b为5的小数部分，则a+2b的值为。
12、若2011-aa-2012a，试求a-20112的值。
（提示：
找出题中的隐含条件）
第七章一元一次不等式与不等式组
（一）不等式及其性质
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1、不等式：
（1）定义用“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.
（2）不等式的解：
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（3）不等式的解集：
一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程叫做解不等式。
不等式的解集与不等式的解的区别：
解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式
的解是使不等式成立的未知数的值。
二者的关系是：
解集包括解,所有的解组成了解集。
（4）解不等式：
求不等式解的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质
性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
即：
如果ab，那么acbc.
性质2：
不等式的两边都乘上（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果ab，并且c0，那么acbc；
ab.
cc
性质3：
不等式的两边都乘上（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
性质4：
如果性质5：
如果
ab，那么ba.（对称性）
ab,bc,那么ac.（传递性）
（二）一元一次不等式
1、定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，
叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解法：
根据是不等式的基本性质；
一般步骤为：
（1）去分母；
（2）去括号；
（3）移项；
（4）合并同类项；
（5）系数化为1.
解不等式应注意：
①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；
②移项时不要忘记变号；
③
去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；
④在不等式两边都乘（或除以）同一个负数时，不等号
的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
（1）边界：
有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；
（2）方向：
大向右，小向左
（三）一元一次不等式组
有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
2、（一元一次）不等式组的解集：
这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。
3、解不等式组：
求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
4、一元一次不等式组的解法
1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：
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不等式组
ab
解集
口诀记忆
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解
大大小小则无解
（四）一元一次不等式（组）解决实际问题解题的步骤：
⑴审题，找出不等关系→⑵设未知数→⑸找出符合题意的值→⑹作答。
一、有解无解问题：
有解：
ab
（1）
无解：
ab
（2）
（3）
a
⑶列出不等式（组）→⑷求出不等式的解集→
二、解题技巧
2、特征解问题：
解题步骤：
把原式中的要求的量（以下简记为m）当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含m）——
→根据解的特征列出式子（关于m的式子）——→解出m的值。
例：
已知ax2x1的解集为x1，求a的值。
解：
解不等式ax2x1·
把a当作已知数，去解原式
得xa1·
得到原式的解（含a）
则a-11·
根据解的特征列出式子
解得a2·
解出a的值
xm1
1、若关于x的不等式x2m1有解，则m的取值范围是？
若无解呢？
2xy1m
2、已知关于x，y的方程组x2y2的解满足xy0，求m的取值范围。
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3、适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
（1）x只有一个整数解；
（2）x一个整数解也没有。
4、解不等式（组）
2x
53x,
24x
3x7,
3x
2x1
（1）x2x
x,
（2）6x3
5x4,
（3）
3x7
2x3.
1[x2（x3）]1.
（4）－5＜6－2x＜3
3y8
2（10y）
1.
（5）y
5、若m、n为有理数，解关于x的不等式（－m2－1）x＞n．
2y
p
1,
6、已知关于x，y的方程组
3y
的解满足x＞y，求p的取值范围。
4x
3个，求b的取值范围。
7、已知关于x的不等式组2x
5的整数解共有
8、已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小。
3x4a,
9、已知a是自然数，关于x的不等式组的解集是x＞2，求a的值。
x20
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10、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不
低于10％，那么商店最多降价多少元出售商品?
11、某零件制造车间有20名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零
件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元。
在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，
其余工人制造乙种零件。
（1）若此车间每天所获利润为y（元），用x的代数式表示y。
（2）若要使每天所获利润不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
12、某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元。
（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节省的租车方案。
第八章整式乘除与因式分解
（一）幂的运算：
、同底数幂乘法：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
aman
amn
、同底数幂除法：
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
am
an
amn
、幂的乘方：
幂的乘方，底数不变，指数相乘。
amn
、积的乘方：
积的乘方等于各因式乘方的积。
abm
ambm
注：
（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于
1；
a0
（2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂，
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等于这个数的p指数幂的倒数。
ap
ap
（3）科学记数法：
ca
10n或ca
10-n
10
绝对值小于1的数可记成
a10-n的形式，其中
10，n是正整数，n等于原
数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。
（二）整式乘法：
1、单项式的乘法法则：
单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；
对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2、单项式与多项式的乘法法则：
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
3、多项式与多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一
个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
（三）完全平方公式与平法差公式
1、完全平方公式：
ab2
a2
2abb2
a-b2
a2-2abb2
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。
2、平法差公式：
a2-b2aba-b
两个数的平方之差等于这两个数的和与这两个数的差之积。
（四）整式除法
（1）单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；
对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（2）多项式除以单项式的除法法则：
单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这个单项式再把所得的商相加。
（五）因式分解
1、定义：
把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
2、分解因式的基本方法：
（1）提公因式法
（2）公式法：
运用完全平方公式和平法差公式
（3）对于二次三项式的因式分解的方法：
1）配方法，2）十字相乘法：
公式x2abxabxaxb
将x24x3因式分解。
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方法一：
配方法：
原式=x2
4-4
3=
x22-1=x1x3
方法二：
十字相乘法：
x2
3=x
1x
（4）分组分解法
3、分解因式的技巧：
（1）因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；
（2）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁
（3）变形技巧：
①符号变形
Ⅰ、x-y
-y-x
Ⅱ、当n为奇数时，
x-yn
-y-xn
Ⅲ、当n为偶数时，
y-xn
②增项变形：
4x4
14x414x2-4x2
4x4
4x2
1-4x2
③拆项变形：
例x3
2x2-1x3
x2
x2-1
x3
x2-1x2x1
x-1x1
二、典题练习
1、计算题
（1）a-2b22b-a5
（2）2x
（6）x2y4-x-2y3x2y
（3）a
m-23
（4）a
2m
52
（5）310
2、快速计算：
（1）10397
（2）1022
（3）992
3、2m
4，4n
16，求22m-n的值。
4、如果2mnx2n
64成立，那么m
n
5、在括号内填上指数和底数
（1）83
（2）
93
6、化简求值：
已知x2-2x
3，求
x-12
x3x-3x-3x-1的值。
7、已知2x5y4，再求4x32y的值。
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8、已知ab3，ab-5，求代数式的值：
（1）a2b2
（2）a-b2
9、因式分解：
1）x32x2-5x-62）x2-y2axay3）a44b4
10、比较99999993与99962的大小。
2mn6
11、不解不等式组
m-3n1，求7nm-3n
-23n-m的值。
第九章分式
（一）分式及其性质
1、分式
一般的，如果a，b表示两个整式，并且b中含有字母，那么式子a叫做分式；
其中a叫做分式的
分子，b叫做分式的分母。
（2）有理式：
整式和分式统称为有理式。
（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意义，则分母≠0）
（4）最简分式：
分子和分母没有公因式的分式。
2、分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
am
m
0）
bm
（a，b，m都是整式，且
分式的性质是分式化简和运算的依据。
3、约分：
把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。
约分的结果应为最简分式或整式。
约分的方法：
1）若分子、分母均为单项式：
先找分子、分母系数的最大公约数，
再找相同字母最低次幂；
2）若分子、分母有多项式：
先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算
1、分式的乘除
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c
ac
1）分式乘法法则：
两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；
d
bd
2）分式除法法则：
两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
ad
bc
n
3）分式乘方法则：
分式的乘方就是分子分母分别乘方。
，
1n
bn
2、分式的加减
ac
1）同分母分式加减：
分母不变分子相加减；
2）异分母分式加减：
先通分，变为同分母的分式相加减，
adbc
bd0
（三）分式方程
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2、解法：
转化
1）基本思路：
分式方程整式方程
2）转化方法：
方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
通过转化方法
3）一般步骤：
分式方程整式方程解整式方程检验
检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。
（四）分式应用
列分式方程解决实际问题的一般步骤：
审题设未知数，找等量关系列方程
检验（①是否有增根，②是否符合题意）得出答案
二、分式解题中常用的数学思想和技巧
、已知1
5，求2x-3xy
2y的值。
（整体思想、构造法）
y
2xy
、已知
，求
2-5xy2y2
的值。
3xy-5y2
、已知abc
1，求
bc1cca
1，1
abc
6b
9
15
（先得到
1题方法做）
的值，然后按第
4，求x
2的值。
）
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