稳恒磁场典型例题Word下载.docx
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JMM2（MH2）MH2
0J0Iez（0,0,z）
00
半径为a的无量长圆柱导体上有恒定电流J均匀分布于截面上，试解矢势
A的微分方程，设导体的磁导率为0，导体外的磁导率为。
由电流分布的对称性可知，导体内矢势A1和导体外矢势A2均只有ez重量，而与，z没关。
由2A的柱坐标系中的表达式可知，只有一个重量，即
2A10J
2A20
此即
（r
A1）
0J
A2）
通解为
A1
Jr2
b1lnrb2
4
A2
c1lnrc2
当r
0时，A1有限，有b1
因为无量长圆柱导体上有恒定电流
J均匀分布于截面上，设r
a时，A1A20,
0Ja2
b2
c1lnac2
又r
a时，1e
1e
A2，得
1Ja
c1
a
Ja2,c2
Ja2,b2
0Ja2
所以，
0J（r
a）
Ja2ln
写成矢量形式为
v
0J（r
A
v2
ln
Ja
设无量长圆柱体内电流分布，J
azrJ0（r
a）求矢量磁位A和磁感觉B。
J
xyx
建立坐标系以以下列图，电流分布为
JazrJ0,ra
0，ra
从电流分布可以知道磁矢位仅有z重量，即
AAzaz
且满足方程
2A
0J
设在圆柱体内磁位是
圆柱体外磁位是A2，则
a时，
rJ00
3
90J0r
C1lnrC2
C3lnr
C4
此中C1,C2,C3,C4是待定常数。
因为r
0处磁矢位不该是无量大，所以
C1
0。
利用界限条件，有
C2
90J0a；
C3
30J0a；
C4
30J0alna
最后得：
azA1
（9
0J0r
9
0J0a）az
10J0（r3
a3）az
azA2
0J0a3lnraz
由B
A得：
30J0ra
A2a
0J0a3az
3r
载有电流的细导线，右边为半径的半圆弧，上下导线互相平行，并近似为向
左边延伸至无量远。
试求圆弧中心点处的磁感觉强度。
R
对圆弧中心点O的磁感觉强度，可以为是半圆弧电流与两条半直线电流，分别在O点产生的磁感觉强度的叠加。
对于半圆弧在O点产生的磁感觉强度B1，可用毕奥-萨伐定律求得为
0I
4R
方向沿垂直纸面向外。
相同一根半长直线在O点产生的磁感觉强度B'
2为
'
B2
故O点处的磁感觉强度
B'
0I
4R
代入数值得
B5.1105（T）
两根无量长直导线，部署于x1,y0处，并与z轴平行，分别经过电流I
及I，求空间任意一点处的磁感觉强度B。
P（r,,0）
rz
rr1
-1
无量长直导线产生的矢量磁位为
lnr0az
r0为有限值。
对于此题，可利用叠加原理，p点的矢量磁位可看做是位于x1处的长直导线
产生的矢量磁位和位于x1处的长直导线产生的矢量磁位的叠加，即
Aaz
（lnr0
lnr0）
r1
r2
az
ln（1
2rcos）
2rcos
依据
（azAz）a
Az
ar
1Az
有
Br
0I（1
r2）sin
2r
0I（r2
1）cos
r12r2
Bz0
半径的磁介质球，拥有磁化强度为Maz（Az2B）
求磁化电流和磁荷。
解:
球内：
等效磁化电流体密度为
等效磁荷体密度为JmM
（Az2
B）a
B）0
等效磁荷密度为
m
MMz2Az
球表面：
磁化面电流密度为
Jsm
MnazMar
因球面上
acos
故
a[A（acos）2
B]sin
其磁荷面密度为
nMa[A（acos）2
B]cos
已知两个互相平行，相隔距离为d，共轴圆线圈，此中一个线圈的半径为
a（ad），另一个线圈的半径为b，试求两线圈之间的互感系数。
d
b
I1
以以下列图，设C1中电流为I1，在轴线上产生的磁场为
Bz
1I1b2
2（b2
d2）2
因d?
a，可认为B在包围的面积S2
上是均匀的，所以
21B1S2
0I1b23
a2
2（b
d2）
依据互感系数的定义，得
M
21
a2b2
I1
两平行无量长直线电流I1和I2，相距为d，求每根导线单位长度遇到的安
培力Fm。
一根无量长直导线电流的磁场
0I1
2r
另一根直导线电流的电流元I2dl2遇到磁场力
dFI2dl2
0I1I2
dl2a
ax
0I1I2dl2
2d
故单位长受力
0I1I2
Fm
ax2d
一个薄铁圆盘，半径为a，厚度为bb=a，如题图所示。
在平行于z轴
方向均匀磁化，磁化强度为M。
试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感觉强
度和磁场强度。
解因为铁盘均匀磁化，且磁化
方向沿
z正向，故令
vv
MMez，此中
为常数。
由此可知磁化电流面密度
Jm
铁盘上、下底面的磁化电流线密度
Km1
en
Mez
ez
题图
铁盘侧面周边边沿上的磁化电流线密度
Km
Me
这样可将圆盘视为相当于IKmb的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。
又因为b=a，可视为圆环电流产生的磁场。
在铁盘轴线上产生的磁场为
0Ia2
0Mba2
32
2z
Mba2
2z2
、H的方向沿z方向。
铁盘内因为
0，可得
vv10B0M
vvB0M
在铁盘内是均匀分布的磁场。
均匀磁化的无量大导磁媒质的磁导率为，磁感觉强度为B，若在该媒质
内有两个空腔，，空腔1形状为一薄盘，空腔2像一长针，腔内都充有空气。
试求两空腔中心处磁场强度的比值。
解此题因为空腔的形状可以利
用界限条件确立空腔内的场分布。
对空腔1此中心处的场强与侧边
界的场强相同。
因为B在其法线方向，
由分界面上的界限条件B1nB2n，可得
到中心点的磁感觉强度B1
B，
题图
H1H。
H1tH2t，可得中心点
对空腔2侧面是沿B的方向，由分界面上的界限条件
处的磁场强度H2
H，B2
0B。
两空腔中心处磁场强度的比值为
H1
两个无量大且平行的等磁位面
D、N，相距h，mD
10
A，mN0。
其
间充以两种不一样样的导磁媒质，其磁导率分别为
10，2
0，分界面与等磁
位面垂直，求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。
解依据Hm则
mDmN10，
hh
方向沿分界面切线方向。
利用分界面上的界限条件，
H2t
10，则
h
B10H1
20
0H2
利用磁感觉线管，沿分界面法向遇到
侧压力，故单位面积受力的大小为
f
1BH
50
f0
0，说明作用力沿媒质
指向媒质
1，即从磁导率大的媒质指向磁导率小
的媒质。
长直导线周边有一矩形回路，回路与导线不共面，如题图
a所示。
证明：
直导线与矩形回路间的互感为
0aln
12
2bR
C
题图a
题图b
解
设长直导线中的电流为I
，则其产生的磁场为
由题图b可知，与矩形回路交链的磁通
为
g
0aI
R11
R1
BdS
dr
S
Rr
R2
此中
R1C2
bR2
C2
2bR2
故直导线与矩形回路间的互感为
0alnR1
0aln
2bR2C2
一环形螺线管的均匀半径r015cm，其圆形截面的半径a2cm，铁芯的相对磁导率r1400，环上绕N1000匝线圈，经过电流。
（1）计算螺线管的电感；
（2）在铁芯上开一个l00.1cm的空气隙，再计算电感（假设张口后铁芯
的r不变）；
（3）求空气隙和铁芯内的磁场能量的比值。
解
（1）因为a=r0，可以为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的
中心处的磁场。
由安培环路定理，可得螺线管内的磁场为
NI
2r0
与螺线管交链的磁链为
a2N2I
NSH
2r0
故螺线管的电感为
a2N2
14004
107210002
L
I2r0
（2）当铁芯上开有小空气隙时，因为空气隙很小，可以忽视边沿效应，则
在空气隙与铁芯的分界面上，磁场只有法向重量。
由界限条件，有
依据安培环路定理，有
H0l0
H2r0
l0
因为B0
0H0，B0
rH
及B0
B，于是可得
rNI
rl0
r0
l
所以螺线管中的磁链为
NSB
ra2N2I
2r0l0
ra2N2
107
1400
0.022
1000
B0
B。
（3）空气隙中的磁场能量为
Wm0
0H02Sl0
铁芯中的磁场能量为
Wm
0rH2S2r0
0l0
r0l0
同轴线的内导体是半径为a的圆柱，外导体是半径为b的薄圆柱面，其厚
度可忽视不计。
内、外导体间充有磁导率分别为1和2两种不一样样的磁介质，
如题图所示。
设同轴线中经过的电流为I，试求：
（1）同轴线中单位长度所存储的磁场能量；
（2）单位长度的自感。
解
（1）同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面
上，磁场只有法向重量。
依据界限条件可知，两种磁介质中的磁感觉强度相同，
但磁场强度不一样样。
依据安培环路定理，
当ra时，有
2rH0
r2
H0
ra
当a
rb时，有
因为H1
，H2
以及B1B2
B，所以获得
12I
arb
同轴线中单位长度存储的磁场能量为
1aB02
rdr
1bB2
bB2
20
2a
0Ir
2rdr
2a2
0I2
16
（2）由Wm
LI2，获得单位长度的自感为
2Wm
I2
8
已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为
2I
H0，若此平面电流回
路位于磁导率分别为1和2的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质
vv
中的磁场强度H1和H2。
解因为是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界
面上的磁场只有法向重量，依据界限条件，有
在分界面双侧做一个
小矩形回路，分别就真空和存在
介质两种状况，应用安培环路定理即
vvv
可导出H1、H2和H0的关系。
在分界面双侧，做一个尺寸为
2hl的小矩形回路。
依据安培回路定律有
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