稳恒磁场典型例题Word下载.docx

1、JM M2 （ MH2） M H20 J 0 Iez （0,0, z）0 0半径为 a 的无量长圆柱导体上有恒定电流 J 均匀分布于截面上，试解矢势A 的微分方程，设导体的磁导率为 0 ，导体外的磁导率为 。 由电流分布的对称性可知，导体内矢势 A1 和导体外矢势 A2 均只有 ez 重量，而与 ， z 没关。由 2 A 的柱坐标系中的表达式可知，只有一个重量，即2A1 0J2A2 0此即（rA1 ）0 JA2 ）通解为A1Jr 2b1 ln r b24A2c1 ln r c2当 r0 时， A1 有限，有 b1因为无量长圆柱导体上有恒定电流J 均匀分布于截面上，设 ra 时， A1 A2 0

2、 ,0 Ja2b2c1 ln a c2又 ra 时， 1 e1 eA2 ，得1 Jac1aJa2 , c2Ja 2 , b20 Ja 2所以，0 J （ ra ）Ja2 ln写成矢量形式为v0 J （rAv 2lnJa设无量长圆柱体内电流分布， JazrJ 0 （ra） 求矢量磁位 A 和磁感觉 B 。Jxy x建立坐标系以以下列图，电流分布为J azrJ 0 , r a0 ， r a从电流分布可以知道磁矢位仅有 z 重量，即A Azaz且满足方程2 A0J设在圆柱体内磁位是圆柱体外磁位是 A2 ，则a 时，rJ 0 039 0J 0rC1 ln r C2C3 ln rC 4此中 C1, C2

3、 , C3 ,C4 是待定常数。因为 r0 处磁矢位不该是无量大，所以C10 。利用界限条件，有C29 0 J0 a ； C33 0 J0a ； C43 0 J0 a ln a最后得：az A1（90 J0 r90 J0a ）az1 0 J0 （r 3a3 ）azazA20 J0a3 ln r az由 BA 得：3 0 J0r aA2 a0 J0a3 az3r载有电流的细导线，右边为半径的半圆弧，上下导线互相平行，并近似为向左边延伸至无量远。试求圆弧中心点处的磁感觉强度。R 对圆弧中心点 O 的磁感觉强度，可以为是半圆弧电流与两条半直线电流，分别在 O 点产生的磁感觉强度的叠加。对于半圆弧在

4、O 点产生的磁感觉强度 B1 ，可用毕奥 -萨伐定律求得为0 I4R方向沿垂直纸面向外。相同一根半长直线在 O 点产生的磁感觉强度 B 2 为B 2故 O 点处的磁感觉强度B0I4 R代入数值得B 5.1 10 5（T）两根无量长直导线， 部署于 x 1, y 0 处，并与 z 轴平行，分别经过电流 I及 I ，求空间任意一点处的磁感觉强度 B 。P（r , ,0）rzr r1-1无量长直导线产生的矢量磁位为ln r0 azr0 为有限值。对于此题，可利用叠加原理， p 点的矢量磁位可看做是位于 x 1 处的长直导线产生的矢量磁位和位于 x 1 处的长直导线产生的矢量磁位的叠加，即A az（l

5、n r0ln r0 ）r1r2azln（ 12r cos ）2r cos依据（ az Az ）aAzar1 Az有Br0I （1r 2 ）sin2r0 I （r 21）cosr12 r2Bz 0半径的磁介质球，拥有磁化强度为 M az （ Az2 B）求磁化电流和磁荷。解: 球内：等效磁化电流体密度为等效磁荷体密度为 Jm M（ Az2B） aB） 0等效磁荷密度为mM M z 2Az球表面：磁化面电流密度为JsmM n azM ar因球面上acos故a A（a cos ）2Bsin其磁荷面密度为n M a A（a cos ）2Bcos已知两个互相平行，相隔距离为 d ，共轴圆线圈，此中一个线

6、圈的半径为a （a d ） ，另一个线圈的半径为 b ，试求两线圈之间的互感系数。dbI1以以下列图，设 C1 中电流为 I1 ，在轴线上产生的磁场为B z1I1b22（b2d 2 ） 2因 d ? a ， 可 认 为 B 在 包 围 的 面 积 S2上是均匀的，所以21B1S20 I1b2 3a22（bd2 ）依据互感系数的定义，得M21a2b2I 1两平行无量长直线电流 I 1 和 I 2 ，相距为 d ，求每根导线单位长度遇到的安培力 Fm 。 一根无量长直导线电流的磁场0 I12 r另一根直导线电流的电流元 I 2 dl2 遇到磁场力dF I 2dl 20I1I 2dl 2 aax0I

7、 1I 2 dl 22 d故单位长受力0I1I2Fmax 2 d一个薄铁圆盘，半径为 a ，厚度为 b b = a ，如题图所示。在平行于 z 轴方向均匀磁化，磁化强度为 M 。试求沿圆铁盘轴线上、铁盘内、外的磁感觉强度和磁场强度。解 因为铁盘均匀磁化，且磁化方向沿z 正向，故令v vM Mez ，此中为常数。由此可知磁化电流面密度Jm铁盘上、下底面的磁化电流线密度K m1enMezez题图铁盘侧面周边边沿上的磁化电流线密度K mMe这样可将圆盘视为相当于 I K mb 的圆形磁化电流，求此电流在各处产生的磁场。又因为 b = a ，可视为圆环电流产生的磁场。在铁盘轴线上产生的磁场为0Ia 2

8、0 Mba 23 22 zMba 22 z2、 H 的方向沿 z 方向。铁盘内因为0 ，可得vv 10B0Mvv B 0 M在铁盘内是均匀分布的磁场。均匀磁化的无量大导磁媒质的磁导率为 ，磁感觉强度为 B ，若在该媒质内有两个空腔，空腔 1形状为一薄盘，空腔 2 像一长针，腔内都充有空气。试求两空腔中心处磁场强度的比值。解 此题因为空腔的形状可以利用界限条件确立空腔内的场分布。对空腔 1 此中心处的场强与侧边界的场强相同。因为 B 在其法线方向，由分界面上的界限条件 B1n B2 n ，可得到中心点的磁感觉强度 B1B ，题 图H1H。H 1t H 2t ，可得中心点对空腔 2 侧面是沿 B

9、的方向，由分界面上的界限条件处的磁场强度 H 2H ，B20 B。两空腔中心处磁场强度的比值为H1两个无量大且平行的等磁位面D 、 N ，相距 h ， mD10A ， mN 0 。其间充以两种不一样样的导磁媒质，其磁导率分别为10，20 ，分界面与等磁位面垂直，求媒质分界面单位面积受力的大小和方向。解 依据 H m 则mD mN 10 ，h h方向沿分界面切线方向。利用分界面上的界限条件，H 2t10 ，则hB10H1200 H 2利用磁感觉线管，沿分界面法向遇到侧压力，故单位面积受力的大小为f1 B H5 0f00 ，说明作用力沿媒质指向媒质1，即从磁导率大的媒质指向磁导率小的媒质。长直导线

10、周边有一矩形回路，回路与导线不共面，如题图a 所示。证明：直导线与矩形回路间的互感为0a ln1 22b RC题图 a题图 b解设长直导线中的电流为 I，则其产生的磁场为由题图 b 可知，与矩形回路交链的磁通为g0aIR1 1R1B dSdrSR rR2此中R1 C2b R2C 22b R2故直导线与矩形回路间的互感为0 a ln R10 a ln2b R2 C 2一环形螺线管的均匀半径 r0 15cm ，其圆形截面的半径 a 2cm，铁芯的相对磁导率 r 1400 ，环上绕 N 1000匝线圈，经过电流 。（1） 计算螺线管的电感；（2） 在铁芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙，再计算电

11、感（假设张口后铁芯的 r 不变）；（3） 求空气隙和铁芯内的磁场能量的比值。解 （1）因为 a = r0 ，可以为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定理，可得螺线管内的磁场为NI2 r0与螺线管交链的磁链为a2 N 2 INS H2r0故螺线管的电感为a2 N 21400 410 72 10002LI2r0（2）当铁芯上开有小空气隙时，因为空气隙很小，可以忽视边沿效应，则在空气隙与铁芯的分界面上，磁场只有法向重量。由界限条件，有依据安培环路定理，有H 0l 0H 2 r0l0因为 B00H0，B0r H及 B0B ，于是可得r NIr l0r0l所以螺线管中的磁链为

12、NSBr a2 N 2I2 r0 l0r a2 N 210 714000.02 21000B0B 。（3）空气隙中的磁场能量为Wm00 H 02 Sl0铁芯中的磁场能量为Wm0 r H 2 S 2 r00 l0r0 l0同轴线的内导体是半径为 a 的圆柱，外导体是半径为 b 的薄圆柱面，其厚度可忽视不计。内、外导体间充有磁导率分别为 1 和 2 两种不一样样的磁介质，如题图所示。设同轴线中经过的电流为 I ，试求：（1）同轴线中单位长度所存储的磁场能量；（2）单位长度的自感。解 （1）同轴线的内外导体之间的磁场沿方向，在两种磁介质的分界面上，磁场只有法向重量。依据界限条件可知，两种磁介质中的磁

13、感觉强度相同，但磁场强度不一样样。依据安培环路定理，当 r a 时，有2 rH 0r 2H 0r a当 ar b 时，有因为 H1， H 2以及 B1 B2B ，所以获得1 2 Ia r b同轴线中单位长度存储的磁场能量为1 a B02rdr1 b B2b B22 02 a0 Ir2 rdr2 a20I 216（2）由 WmLI 2 ，获得单位长度的自感为2WmI 28已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为2 IH 0 ，若此平面电流回路位于磁导率分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上，试求两种磁介质vv中的磁场强度 H1 和 H 2 。解 因为是平面电流回路， 当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时， 分界面上的磁场只有法向重量，依据界限条件，有在分界面双侧做一个小矩形回路，分别就真空和存在介质两种状况，应用安培环路定理即v v v可导出 H1、 H2和 H0的关系。在分界面双侧，做一个尺寸为2 h l 的小矩形回路。依据安培回路定律有