初中数学规律题汇总全部有解析Word文档格式.docx
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给出的数:
序列号:
1,2,3,4,5,……。
容易发现,已知数的每一项,都等于它的序列号的平方减1。
因此,第n项是
-1,第100项是
—1
(二)公因式法:
每位数分成最小公因式相乘,然后再找规律,看是不是与n,或2n、3n有关。
例如:
1,9,25,49,(81),(121),的第n项为(
),
1,2,3,4,5.。
,从中可以看出n=2时,正好是2×
2-1的平方,n=3时,正好是2×
3-1的平方,以此类推。
(三)看例题:
A:
2、9、28、65.....增幅是7、19、37....,增幅的增幅是12、18
答案与3有关且是n的3次幂,即:
n
+1
B:
2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即:
(四)有的可对每位数同时减去第一位数,成为第二位开始的新数列,然后用
(一)、
(二)、(三)技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数,恢复到原来。
2、5、10、17、26……,同时减去2后得到新数列:
0、3、8、15、24……,
序列号:
1、2、3、4、5,从顺序号中可以看出当n=1时,得1*1-1得0,当n=2时,2*2-1得3,3*3-1=8,以此类推,得到第n个数为
再看原数列是同时减2得到的新数列,则在
的基础上加2,得到原数列第n项
(五)有的可对每位数同时加上,或乘以,或除以第一位数,成为新数列,然后,在再找出规律,并恢复到原来。
例:
4,16,36,64,?
,144,196,…?
(第一百个数)
同除以4后可得新数列:
1、4、9、16…,很显然是位置数的平方,得到新数列第n项即n
,原数列是同除以4得到的新数列,所以求出新数列n的公式后再乘以4即,4n
,则求出第一百个数为4*100
=40000
(六)同技巧(四)、(五)一样,有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数(一般为1、2、3)。
当然,同时加、或减的可能性大一些,同时乘、或除的不太常见。
(七)观察一下,能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列,再分别找规律。
三、基本步骤
1、先看增幅是否相等,如相等,用基本方法
(一)解题。
2、如不相等,综合运用技巧
(一)、
(二)、(三)找规律
3、如不行,就运用技巧(四)、(五)、(六),变换成新数列,然后运用技巧
(一)、
(二)、(三)找出新数列的规律
4、最后,如增幅以同等幅度增加,则用用基本方法
(二)解题
四、练习题
例1:
一道初中数学找规律题
0,3,8,15,24,·
·
2,5,10,17,26,·
0,6,16,30,48·
(1)第一组有什么规律?
答:
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
(2)第二、三组分别跟第一组有什么关系?
第一组是位置数平方减一,那么第二组每项对应减去第一组每项,从中可以看出都等于2,说明第二组的每项都比第一组的每项多2,则第二组第n项是:
位置数平方减1加2,得位置数平方加1即
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍,则第三组第n项是:
(3)取每组的第7个数,求这三个数的和?
用上述三组数的第n项公式可以求出,第一组第七个数是7的平方减一得48,第二组第七个数是7的平方加一得50,第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96,48+50+96=194
2、观察下面两行数
2,4,8,16,32,64,...
(1)
5,7,11,19,35,67...
(2)
根据你发现的规律,取每行第十个数,求得他们的和。
(要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
)
解:
第一组可以看出是2
,第二组可以看出是第一组的每项都加3,即2
+3,
则第一组第十个数是2
=1024,第二组第十个数是2
+3得1027,两项相加得2051。
3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子,前2002个中有几个是黑的?
从数列中可以看出规律即:
1,1,1,2,1,3,1,4,1,5
,…….,每二项中后项减前项为0,1,2,3,4,5……,正好是等差数列,并且数列中偶项位置全部为黑色珠子,因此得出2002除以2得1001,即前2002个中有1001个是黑色的。
4、
=8
=16
=24……用含有N的代数式表示规律
被减数是不包含1的奇数的平方,减数是包括1的奇数的平方,差是8的倍数,奇数项第n个项为2n-1,而被减数正是比减数多2,则被减数为2n-1+2,得2n+1,则用含有n的代数式表示为:
=8n。
写出两个连续自然数的平方差为888的等式
通过上述代数式得出,平方差为888即8n=8X111,得出n=111,代入公式:
(222+1)
-(222-1)
=888
五、对于数表
1、先看行的规律,然后,以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理基本类型
按数字之间的关系,可将数字推理题分为以下几种类型:
1.和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
(1)等差关系。
12,20,30,42,(56)
127,112,97,82,(67)
3,4,7,12,(19),28
(2)移动求和或差。
从第三项起,每一项都是前两项之和或差。
1,2,3,5,(8),13
A.9B.11C.8 D.7
选C。
1+2=3,2+3=5,3+5=8,5+8=13
0,1,1,2,4,7,13,(24)
A.22 B.23 C.24 D.25
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和,所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
5,3,2,1,1,(0)
A.-3B.-2C.0 D.2
前两项相减得到第三项。
2.乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种
(1)等比,从第二项起,每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
8,12,18,27,(40.5)后项与前项之比为1.5。
6,6,9,18,45,(135)后项与前项之比为等差数列,分别为1,1.5,2,2.5,3
(2)移动求积或商关系。
从第三项起,每一项都是前两项之积或商。
2,5,10,50,(500)
100,50,2,25,(2/25)
3,4,6,12,36,(216)从第三项起,第三项为前两项之积除以2
1,7,8,57,(457)第三项为前两项之积加1
3.平方关系
1,4,9,16,25,(36),49为位置数的平方。
66,83,102,123,(146),看数很大,其实是不难的,66可以看作64+2,83可以看作81+2,102可以看作100+2,123可以看作121+2,以此类推,可以看出是8,9,10,11,12的平方加2
4.立方关系
1,8,27,(81),125位置数的立方。
3,10,29,(83),127 位置数的立方加2
0,1,2,9,(730) 后项为前项的立方加1
5.分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列,有的还需进行简单的通分,则可得出答案
(
)分子为等比即位置数的平方,分母为等差数列,则第n项代数式为:
2/31/22/51/3 (1/4) 将1/2化为2/4,1/3化为2/6,可得到如下数列:
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9,如果求第n项代数式即:
,分解后得:
6.、质数数列
2,3,5,(7),11质数数列
4,6,10,14,22,(26)每项除以2得到质数数列
20,22,25,30,37,(48)后项与前项相减得质数数列。
7.、双重数列。
又分为三种:
(1)每两项为一组,如
1,3,3,9,5,15,7,(21) 第一与第二,第三与第四等每两项后项与前项之比为3
2,5,7,10,9,12,10,(13)每两项中后项减前项之差为3
1/7,14,1/21,42,1/36,72,1/52,(104) 两项为一组,每组的后项等于前项倒数*2
(2)两个数列相隔,其中一个数列可能无任何规律,但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
22,39,25,38,31,37,40,36,(52)由两个数列,22,25,31,40,()和39,38,37,36组成,相互隔开,均为等差。
34,36,35,35,(36),34,37,(33)由两个数列相隔而成,一个递增,一个递减
(3)数列中的数字带小数,其中整数部分为一个数列,小数部分为另一个数列。
2.01, 4.03,8.04,16.07,(32.11)整数部分为等比,小数部分为移动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列,题目一般已经解出。
特别是前两种,当数字的个数超过7个时,为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉前面的几种关系后,才能较好较快地解决这类题。
1,1,3,7,17,41,(99)
A.89 B.99C.109D.119
选B。
此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项*2加第一项,即1X2+1=3、3X2+1=7,7X2+3=17,17X2+7=41,则空中应为41X2+17=99
65,35,17,3,
(1)
A.1B.2C.0D.4
选A。
平方关系与和差关系组合,分别为8的平方加1,6的平方减1,4的平方加1,2的平方减1,下一个应为0的平方加1=1
4,6,10,18,34,(66)
A.50B.64C.66D.68
各差关系与等比关系组合。
依次相减,得2,4,8,16(),可推知下一个为32,32+34=66
6,15,35,77,()
A.106 B.117 C.136 D.143
选D。
此题看似比较复杂,是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出,6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7,正好是质数2、3,5,7、11数列的后项乘以前项的结果,得出下一个应为13X11=143
2,8,24,64,(160)
A.160 B.512C.124D.164
此题较复杂,幂数列与等差数列组合。
2=1X2
的1次方,8=2X2
的平方,24=3*X2
,64=4X2
,下一个则为5X2
=160
0,6,24,60,120,(210)
A.186 B.210 C.220 D.226
和差与立方关系组合。
0=1的3次方-1,6=2的3次方-2,24=3的3次方-3,60=4的3次方-4,120=5的3次方-5。
空中应是6的3次方-6=210
1,4,8,14,24,42,(76)
A.76B.66C.64D.68
两个等差与一个等比数列组合依次相减,原数列后项减前项得3,4,6,10,18,(34),得到新数列后,再相减,得1,2,4,8,16,(32),此为等比数列,下一个为32,倒推到3,4,6,8,10,34,再倒推至1,4,8,14,24,42,76,可知选A。
9.、其他数列。
2,6,12,20,(30)
A.40B.32C.30D.28
2=1*2,6=2*3,12=3*4,20=4*5,下一个为5*6=30
1,1,2,6,24,(120)
A.48 B.96 C.120 D.144
后项=前项X递增数列。
1=1*1,2=1*2,6=2*3,24=6*4,下一个为120=24*5
1,4,8,13,16,20,(25)
A.20B.25C.27D.28
每4项为一重复,后期减前项依次相减得3,4,5。
下个重复也为3,4,5,推知得25。
27,16,5,(0),1/7
A.16B.1C.0D.2
依次为3的3次方,4的2次方,5的1次方,6的0次方,7的-1次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大,但并非无规律可循,了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1.快速扫描已给出的几个数字,仔细观察和分析各数之间的关系,尤其是前三个数之间的关系,大胆提出假设,并迅速将这种假设延伸到下面的数,如果能得到验证,即说明找出规律,问题即迎刃而解;
如果假设被否定,立即改变思考角度,提出另外一种假设,直到找出规律为止。
2.推导规律时往往需要简单计算,为节省时间,要尽量多用心算,少用笔算或不用笔算。
3.空缺项在最后的,从前往后推导规律;
空缺项在最前面的,则从后往前寻找规律;
空缺项在中间的可以两边同时推导。
(一)等差数列
相邻数之间的差值相等,整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式:
自然数数列:
1,2,3,4,5,6……
偶数数列:
2,4,6,8,10,12……
奇数数列:
1,3,5,7,9,11,13……
例题1:
103,81,59,(37),15。
A.68B.42C.37D.39
解析:
答案为C。
这显然是一个等差数列,前后项的差为22。
例题2:
2,5,8,(11)。
A.10B.11C.12D.13
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列,即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5,第一个数字为2,两者的差为3,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即8+3=11,第四项应该是11,即答案为B。
例题3:
123,456,789,(1122)。
A.1122B.101112C.11112D.100112
答案为A。
这题的第一项为123,第二项为456,第三项为789,三项中相邻两项的差都是333,所以是一个等差数列,未知项应该是789+333=1122。
注意,解答数字推理题时,应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律,而不能从数字表面上去找规律,比如本题从123,456,789这一排列,便选择101112,肯定不对。
例题4:
11,17,23,(29),35。
A.25B.27C.29D.31
这同样是一个等差数列,前项与后项相差6。
例题5:
12,15,18,(21),24,27。
A.20B.21C.22D.23
答案为B。
这是一个典型的等差数列,题中相邻两数之差均为3,未知项即18+3=21,或24-3=21,由此可知第四项应该是21。
(二)等比数列
相邻数之间的比值相等,整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推理测验中,也是排列数字的常见规律之一。
例题1:
2,1,1/2,(B)。
A.0B.1/4C.1/8D.-1
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列,即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1,第一个数字为2,两者的比值为1/2,由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律,那么在此基础上对未知的一项进行推理,即(1/2)/2,第四项应该是1/4,即答案为B。
2,8,32,128,(512)。
A.256B.342C.512D.1024
这是一个等比数列,后一项与前一项的比值为4。
2,-4,8,-16,(32)。
A.32B.64C.-32D.-64
这仍然是一个等比数列,前后项的比值为-2。
(三)平方数列
1、完全平方数列:
正序:
1,4,9,16,25
逆序:
100,81,64,49,36
2、一个数的平方是第二个数。
1)直接得出:
2,4,16,(256)
前一个数的平方等于第二个数,答案为256。
2)一个数的平方加减一个数等于第二个数:
1,2,5,26,(677)前一个数的平方加1等于第二个数,答案为677。
3、隐含完全平方数列:
1)通过加减一个常数归成完全平方数列:
0,3,8,15,24,(35)
前一个数加1分别得到1,4,9,16,25,分别为1,2,3,4,5的平方,答案35
2)相隔加减,得到一个平方数列:
例:
65,35,17,(3),1
A.15B.13C.9D.3
不难感觉到隐含一个平方数列。
进一步思考发现规律是:
65等于8的平方加1,35等于6的平方减1,17等于4的平方加1,再观察时发现:
奇位置数时都是加1,偶位置数时都是减1,所以下一个数应该是2的平方减1等于3,答案是D。
1,4,16,49,121,(169)。
(2005年考题)
A.256B.225C.196D.169
解析:
从数字中可以看出1的平方,2的平方,4的平方,7的平方,11的平方,正好是1,2,4,7,11.。
,可以看出后项减前项正好是1,2,3,4,5,。
,从中可以看出应为11+5=16,16的平方是256,所以选A。
2,3,10,15,26,(35)。
A.29B.32C.35D.37
看数列为2=1的平方+1,3=2的平方减1,10=3的平方加1,15=4的平方减1,26=5的平方加1,再观察时发现:
位置数奇时都是加1,位置数偶时都是减1,因而下一个数应该是6的平方减1=35,前n项代数式为:
所以答案是C.35。
(四)立方数列
立方数列与平方数列类似。
1,8,27,64,(125)
数列中前四项为1,2,3,4的立方,显然答案为5的立方,为125。
0,7,26,63,(124)
前四项分别为1,2,3,4的立方减1,答案为5的立方减1,为124。
例3:
-2,-8,0,64,()。
(2006年考题)
A.64B.128C.156D250
从数列中可以看出,-2,-8,0,64都是某一个数的立方关系,-2=(1-3)×
1
,-8=(2-3)X2
,0=(3-3)X3
,64=(4-3)X4
,前n项代数式为:
,因此最后一项因该为(5-3)×
5
=250选D
例4:
0,9,26,65,124,(239)(2007年考题)
前五项分别为1,2,3,4,5的立方加1或者减1,规律为位置数是偶数的加1,则奇数减1。
即:
前n项=n
+(-1)
答案为239。
在近几年的考试中,也出现了n次幂的形式
例5:
1,32,81,64,25,(6),1。
A.5B.6C.10D.12
逐项拆解容易发现1=1
,32=2
,81=3
,64=4
,25=5
,则答案已经很明显了,6的1次幂,即6选B。
(五)、加法数列
数列中前两个数的和等于后面第三个数:
n1+n2=n3
1,1,2,3,5,(8)。
A8B7C9D10
第一项与第二项之和等于第三项,第二项与第三项之和等于第四项,第三项与第四项之和等于第五项,按此规律3+5=8答案为A。
4,5,(9),14,23,37
A6B7C8D9
与例一相同答案为D
22,35,56,90,(145)99年考题
A162B156C148D145
22+35-1=56,35+56-1=90,56+90-1=145,答案为D
(六)、减法数列
前两个数的差等于后面第三个数:
n1-n2=n3
6,3,3,(0),3,-3
A0B1C2D3
6-3=3,3-3=0,3-0=3,0-3=-3答案是A。
(提醒您别忘了:
“空缺项在中间,从两边找规律”)
(七)、乘法数列
1、前两个数的乘积等于第三个数
1,2,2,4,8,32,(256)
前两个数的乘积等于第三个数,答案