华东师大初中数学九年级上册《图形的相似》全章复习与巩固知识讲解提高Word格式文档下载.docx
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1.相似三角形的判定:
判定方法
(一):
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.
要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.
判定方法
(二):
如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.
判定方法(三):
如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.
2.相似三角形的性质:
(1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;
(2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比;
相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.
要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段.
(3)相似三角形周长的比等于相似比;
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。
3.相似多边形的性质:
(1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.
(2)相似多边形的周长比等于相似比.
(3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.
要点三、中位线
1.三角形的中位线:
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
性质:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
(1)三角形有三条中位线,每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
(2)三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的
,每个小三角形的面积为原三角形面积的
.
(3)三角形的中位线不同于三角形的中线.
2.梯形的中位线:
连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.
梯形的中位线平行于两底,且等于两底和的一半.
3.三角形的重心概念:
三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心.
重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
.
要点四、位似
1.位似图形定义:
如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过
同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.
2.位似图形的性质:
(1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;
(2)位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;
(3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
要点五、图形与用坐标
根据已知条件,建立适当的平面直角坐标系,是确定点的位置的必经过程,只有建立了适当的直角坐标系,点的位置才能得以确定,才能使数与形有机地结合在一起.
利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程:
(1)建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定x轴,y轴的正方向;
(2)根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
(3)在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称.
1.点的平移:
在平面直角坐标系中,将点(x,y)向右或向左平移a个单位长度,可以得到对应点(x+a,y)或(x-a,y);
将点(x,y)向上或向下平移b个单位长度,可以得到对应点(x,y+b)或(x,y-b).
(1)在坐标系内,左右平移的点的坐标规律:
右加左减;
(2)在坐标系内,上下平移的点的坐标规律:
上加下减;
(3)在坐标系内,平移的点的坐标规律:
沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变.
2.图形的平移:
在平面直角坐标系内,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;
如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.
(1)平移是图形的整体位置的移动,图形上各点都发生相同性质的变化,因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.
(2)平移只改变图形的位置,图形的大小和形状不发生变化.
要点六、黄金分割
1.定义:
如图,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比,即
(此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项),则P点就是线段AB的黄金分割点(黄金点),这种分割就叫黄金分割.
2.黄金三角形:
顶角为36°
的等腰三角形,它的底角为72°
,恰好是顶角的2倍,人们称这种三角形为黄金三角形.
黄金三角形性质:
底角平分线将其腰黄金分割.
【典型例题】
类型一、相似三角形
【高清课堂:
相似专题复习高清ID号:
394502
关联的位置名称(播放点名称):
例1-2】
1.已知:
如图,∠ABC=∠CDB=90°
,AC=a,BC=b,当BD与a、b之间满足怎样的关系时,这两个三角形相似?
【思路点拨】可以假设△ABC∽△CDB,则根据相似三角形对应边比值相等的性质可以求得a、b、BD的关系,即可解题.
【答案与解析】
∵AC=a,BC=b,
∴AB=
,
①当△ABC∽△BDC时,
即
②当△ABC∽△CDB时,
【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时,要注意分类讨论.
举一反三
【变式】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,沿直线MN对
折,使A、C重合,直线MN交AC于O.
(1)求证:
△COM∽△CBA;
(2)求线段OM的长度.
【答案】
(1)证明:
A与C关于直线MN对称,
∴AC
MN,∴∠COM=90°
在矩形ABCD中,∠B=90°
∴∠COM=∠B,
又
∠ACB=∠ACB,
∴△COM∽△CBA,
(2)
在Rt△CBA中,AB=6,BC=8,
∴AC=10,∴OC=5,
△COM∽△CBA,
∴
∴OM=
.
2.已知,如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,点E在边BC的延长线上,且OE=OB,连接DE.
(1)求证:
DE⊥BE;
(2)如果OE⊥CD,求证:
BD•CE=CD•DE.
证明:
(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=
BD,
∵OE=OB,
∴OE=
∴∠BED=90°
∴DE⊥BE;
(2)∵OE⊥CD
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°
∴∠CEO=∠CDE,
∵OB=OE,
∴∠DBE=∠CDE,
∵∠BED=∠BED,
∴△BDE∽△DCE,
∴BD•CE=CD•DE.
【总结升华】本题考查了相似三角形的判定和性质,直角三角形的判定和性质,平行四边形的性质,熟记定理是解题的关键.
【变式】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,△ACD沿AD折叠,使得点C落在斜边AB上的点E处.
△BDE∽△BAC;
(2)已知AC=6,BC=8,求线段AD的长度.
(1)∵∠C=90°
,△ACD沿AD折叠,
∴∠C=∠AED=90°
∴∠DEB=∠C=90°
∵∠B=∠B,
∴△BDE∽△BAC;
(2)由勾股定理得,AB=10.
由折叠的性质知,AE=AC=6,DE=CD,∠AED=∠C=90°
∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4,
在Rt△BDE中,由勾股定理得,
DE2+BE2=BD2,
即CD2+42=(8﹣CD)2,
解得:
CD=3,
在Rt△ACD中,由勾股定理得AC2+CD2=AD2,
即32+62=AD2,
AD=
3.(2016•杭州)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,∠AED=∠B,射线AG分别交线段DE,BC于点F,G,且
△ADF∽△ACG;
(2)若
,求
的值.
【思路点拨】
(1)欲证明△ADF∽△ACG,由
可知,只要证明∠ADF=∠C即可.
(2)利用相似三角形的性质得到
=
,由此即可证明.
∵∠AED=∠B,∠DAE=∠DAE,
∴∠ADF=∠C,
∵
∴△ADF∽△ACG.
(2)解:
∵△ADF∽△ACG,
又∵
=1.
【总结升华】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识,记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键,属于基础题中考常考题型.
类型二、中位线
4.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC,Rt△CEF,∠ABC=∠CEF=90°
,连接AF,M是AF的中点,连接MB、ME.
(1)如图1,当CB与CE在同一直线上时,求证:
MB∥CF;
(2)如图1,若CB=a,CE=2a,求BM,ME的长;
(3)如图2,当∠BCE=45°
时,求证:
BM=ME.
(1)
如答图1,延长AB交CF于点D,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,
∴点B为线段AD的中点,
又∵点M为线段AF的中点,
∴BM为△ADF的中位线,
∴BM∥CF.
(2)如答图2所示,延长AB交CF于点D,则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD=a,AC=AD=
a,
∴点B为AD中点,又点M为AF中点,
∴BM=
DF.
分别延长FE与CA交于点G,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=GE=2a,CG=CF=2
∴点E为FG中点,又点M为AF中点,
∴ME=
AG.
∵CG=CF=2
a,CA=CD=
∴AG=DF=
∴BM=ME=
×
a=
a.
(3)如答图3,延长AB交CE于点D,连接DF,则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形,
∴AB=BC=BD,AC=CD,
∴点B为AD中点,又点M为AF中点,∴BM=
延长FE与CB交于点G,连接AG,则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形,
∴CE=EF=EG,CF=CG,
∴点E为FG中点,又点M为AF中点,∴ME=
在△ACG与△DCF中,
∴△ACG≌△DCF(SAS),
∴DF=AG,
∴BM=ME.
【总结升华】考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键,也是本题的难点.
【变式】
(2012•黑龙江)如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°
,则∠PFE的度数是( ).
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
【答案】D.
类型三、黄金分割
5.如图,用纸折出黄金分割点:
裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′.这是B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
设正方形ABCD的边长为2,
E为BC的中点,
∴BE=1
∴AE=
又B′E=BE=1,
∴AB′=AE-B′E=
-1,
∵AB″=AB′=
-1
∴AB″:
AB=(
-1):
2
∴点B″是线段AB的黄金分割点.
【总结升华】本题考查了黄金分割的应用,知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键.
【变式】如图,已知△ABC中,D是AC边上一点,∠A=36°
,∠C=72°
,∠ADB=108°
求证:
(1)AD=BD=BC;
(2)点D是线段AC的黄金分割点.
(1)∵∠A=36°
∴∠ABC=72°
∴∠ABD=36°
∴△ADB、△BDC是等腰三角形,
∴AD=BD=BC.
(2)∵∠DBC=∠A=36°
,∠C=∠C,
∴△ABC∽△BDC,
∴BC:
AC=CD:
BC,
∴BC2=AC•DC,
∵BC=AD,
∴AD2=AC•DC,
∴点D是线段AC的黄金分割点.
6.以长为2cm的定线段AB为边,作正方形ABCD,取AB的中点P.在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M落在AD上,如图所示.
(1)试求AM、DM的长;
(2)点M是线段AD的黄金分割点吗?
请说明理由.
(1)要求AM的长,即是求AF的长,只需求得PF的长,根据勾股定理进行计算PD的长就可;
要求DM的长,只需AD-AM就可;
(2)根据黄金分割点的定义,只需证明AM2=AD•DM.
(1)在Rt△APD中,AP=1,AD=2,
由勾股定理知PD=
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP=
DM=AD-AM=3-
;
(2)∵AM2=(
-1)
=6-2
AD•DM=2×
(3-
)=6-2
∴AM2=AD•DM,
所以点M是线段AD的黄金分割点.
【总结升华】能够根据已知条件结合勾股定理求得线段的长,能够用黄金分割点的定义进行证明.