清华大学自主招生暨领军计划数学试题历年自主招生考试数学试题大全Word格式文档下载.docx
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AB的中点.下列说法中正确的有
4•过抛物线y4x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，M为线段
A.以线段AB为直径的圆与直线x2一定相离
B.|AB|的最小值为4
C.|AB|的最小值为2
【答案】AB
PF1F2的面积小于等于
【答案】ABCD.
1|PF1||PF2|
!
|PF1||PF2|sinF1PF2
22
6.甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖
.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测:
甲：
两名获奖者在乙、丙、丁中;
乙：
我没有获奖，丙获奖了;
丙：
甲、丁中有且只有一个获奖;
丁：
乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（
C.A,O,P,N四点共圆
【答案】AC
【答案】B
【解析】必要性：
由于sinBsinCsinBsin（—B）sinBcosb1,2
类似地，有sinCsinA1,sinBsinA1，于是sinAsinBsinCcosAcosBcosC.
答案:
少有一个成立，则n的最大值为（
不妨假设珂:
沐若集合/中的正数的个数大于等于4,由于七—旳和辺十丐均大于碍,于是有砒十碍勺：
十仇f从而巧三吋矛盾！
所以集合A中至多有3个正数.同理可知集合/中最梦有工个员数-=满足题意』所以"
的最大值为答案
11.已知10,610,1210，则下列各式中成立的有（）
tantantan
【答案】
BD
【解析】
令x
tan,ytan,z
tan，则
y
x
z
yxz
.3，所以
1
xy
yz1zx
yz
3（1
xy）,zy
yz）,xz
.3（1
zx）,
以上二式相加，即有xyyz
zx3.
类似地，
有1
1：
3（丄
1）,-
—.3（-
1）,
11
「3（丄
1），以上二式相加，
即有
yxy
yz
zx
zx
xyz
3.答案BD.
xyyzzx
xyz
12.已知实数
a,b,c满足a
bc
1，则4a
.4b
1■,4c
1的最大值也最小值乘积属于区间
D.
（
）
3时取得；
右侧等号当x丄时取得.因此原式的最大值为21，当abc-时取得；
最小值为
233
3
—时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73（.144,169）.答案B.
f解析】由工+y+z=1,'
+$'
+'
=1可得>
z+zx-0・igxy'
z^cf则x,t,2是关于F的方程
一岂百"
叩e等号显然可以取到.雌顷A;
B都对.
因7*5（x+v>
2=<
1-z）2<
2（^+>
2）=2（1-z2）,所以一严注1,尊号显瞪可次取到“故选项C错误.
15•若复数z满足z
1，贝yz可以取到的值有（
误.
cV51
A.—
B.
—
C.-
【答案】CD
取得.答案CD.
16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）
1;
（2）两条相交直线上各取一点M,N，使得|MN|
bk
为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆
18.关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为（）
【解析】方程两边同时模爲可得丘三因2】不能被3整除，故X1不能被3整除，所以
^=l（mOd3）,故2口1血也刃，所以$为偶如可设丁=2砍涣乏时“则有
（2w-xX2"
+a）=615=3x5x41,解博
"
曽答案；
B.
V-12.
19•因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以若干个实数相乘的时候，可以有不同的次序
•例如，三个
实数a,b,c相乘的时候，可以有（ab）c,（ba）c,c（ab）,b（ca）,等等不同的次序
记n个实数相乘时不同的次
序有In种，则（）
A•I22B.I312C.I496D•I5120
【解析】根据卡特兰数的定义，可得|ncn1An1c21n12n!
（n1）!
C2n11•答案：
AB•
n
关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利》
20•甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个
人相互比赛的胜率如表所示：
r
甲
Q.3
o.a
0.A
乙
07
O,G
DM
A
O.-i.
o.s
T
0.2
Q.G
0』
表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是0.3，乙击败丁
的概率是0.4•那么甲刻冠军的概率是•
【答案】0.165
【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3（0.50.30.50.8）0.165•
21•在正三棱锥PABC中，ABC的边长为1•设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距
离为y•则limy.
【解析】当x
时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为―？
22•如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF
1BC,A1E
-A1A，则四面体OEBF
4
6
96
如图，V°
ebf
VOEBFEBF
111-VeGBF—
16
BCCiBi
丄
23.
（X
）2n1（1
sin2nx）dx
根据题意，有
0（x
24.实数
x,y满足（x
因此所求最大值为1.
甘
/
*
•A
'
j
X
n12n2n12n
）（1sinx）dxx（1sinx）dx
4xy，贝Uxy
的最大值为.
（xy）4x
2、3,22,2
4xy（x
2、2
222
y）,于是x
1，等号当xy-时取得,
25.x,y,z均为非负实数，满足（xI）2
（t1）
（Z3）227
24
yz的最大值与最小值分别为
J223
【答案】/3
【解析】由柯西不等式可知，当且仅当
（X,y,z）
（1,—,0）时，xy
z取到最大值.根据题意，有
x2
y2z2x2y3z
13
是13（xyz）23（xyz）y,解得xyz
yz的最小值当（x,yz）
（0,0,
亠）时取得，为亠
26.
若O为ABC内一点,
满足SAOB
:
Sboc:
Scoa4:
3:
2，设AO
AB
AC,则
【解析】根据奔驰定理，有
27.已知复数
zcos2
sin—，贝U
~2z
z2z2
z2
5..5
cosisin
33
40的实部与虚部均为不小于1的正数，则在复平面中,10z
端点P运动所形成的图形的面积为•
28.已知
z为非零复数,
z所对应的向量OP的
200
~3
100.3
300
A、b
10
xyi（x,y
R），由于
40
40z
厶1上1
10,10,
40x140y
~1,~22
yxy
如图，弓形面积为
1,
100（sin）
663
于是所示求面积为2（100-
100，四边形
100）（100.3
ABCD的面积为
2（10310）10
100.3100.
100）200
100、..3300
…sin4x
sin2x
sinx
29.若tan4x
则
cos8xcos4x
cos4xcos2x
cos2xcosx
cosx
sin4x
（tan8xtan4x）（tan4xtan2x）（tan2xtanx）tanxtan8x,3.
30•将16个数：
4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶
数，共有种填法.
【答案】441000
【解析】首先确定偶数的位墨有多少种选择-第一行两个偶数有借种迭择.
下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填空一个偶類设为由4
情形一：
若口3位于同一丘它们的位置有吕种选择，此时乘忖的四个偶数所埴的位蛊唯一确定」
情形二若口上位于不同的行，它们的位啟有6种选择「此时乘吓的四个偶数所壇的位趕有2种迭择-所仪偶数的不是位S数为=因此，总=441000.
31•设A是集合｛1,2,3,,14｝的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A
中元素个数的最大值为.
【答案】8
【解析】一方面，设A｛a1,a2,,ak｝，其中kN,1k14.不妨假设a1a2ak•
若k9，由题意，a3a-i3,a5a37，且a5a3a3印，故a5印7.同理a9a57.又因
为a9a5a5印，所以a?
a115,矛盾！
故k8.
另一方面，取A｛1,2,4,5,10,11,13,14｝，满足题意
综上所述，A中元素个数的最大值为8.
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