江苏省高考数学真题分类汇编数列Word格式.docx
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5、(2012江苏卷6)现有10个数,它们能构成一个以1为首项,_3为公比的等比数列,若从这10个数中随机抽取一个数,则它小于8的概率是.
【解析】组成满足条件的数列为:
1,-3,9.一27,81,—243,729,—2187,6561,—19683.从中随机
取出一个数共有取法10种,其中小于8的取法共有6种,因此取出的这个数小于8的概率为
5.
【点评】本题主要考查古典概型•在利用古典概型解决问题时,关键弄清基本事件数和基本
事件总数,本题要注意审题,“一次随机取两个数”,意味着这两个数不能重复,这一点要特另U注意.
6、(2013江苏卷14)14•在正项等比数列{an}中,35,a6a^3,则满足
c•…』n…an的最大正整数n的值为。
答案:
14.12
(二)解答题
1、(2008江苏卷19).(I)设31,32,|||HI,an是各项均不为零的等差数列(nK4),且公差d=0,若将此数列删去某一项得到的数列(按原来的顺序)是等比数列:
①当n=4时,求a1的数值;
②求n的所有可能值;
d
(H)求证:
对于一个给定的正整数n(n>
4),存在一个各项及公差都不为零的等差数列
0,^,1川||,0,其中任意三项(按原来顺序)都不能组成等比数列.
【解析】:
本小题考查等差数列、等比数列的综合应用。
(I)①当n=4时,a1,a2,a3,a4中不可能删去首项或末项,否则等差数列中连续三项成等比数列,则推出d=0。
若删去a2,则a32=aa4,即(印吃d^a1(a化简得c+4d=0,得旦=-4
若删去a3,则a2^a1a4,即(a1d)2=a(q-3d)化简得a,-d=0,得卑=1
综上,得旦--4或旦=1。
dd
②当n=5时,a1,a2,a3,a4,a5中同样不可能删去a1,a2,a4,a5,否则出现连续三项。
若删去as,则aia5=a2d,即ai(a14d)^(a1d)(a13d)化简得3d=0,因为d=0,所以a3不能删去;
当nA6时,不存在这样的等差数列。
事实上,在数列&
月2,a3,|)|,an_2,an」,an中,
由于不能删去首项或末项,若删去a2,则必有a1an=a3-an2,这与d=0矛盾;
同样若删
去am也有aan二a3,这与d=0矛盾;
若删去&
3,川,中任意一个,则必有印an二a?
a.二,这与d=0矛盾。
(或者说:
当n》6时,无论删去哪一项,剩余的项中必有连续的三项)
综上所述,n=4。
(2)假设对于某个正整数n,存在一个公差为d的n项等差数列b|,b2,.….bn,其中
bx.「byd,bzd(0_X:
:
y:
z_n_1)为任意三项成等比数列,则b2yd^bx1bz1,即
(b+yd)2=(b+xd),(b+zd),化简得(y2—xz)d2=(x+z—2y)bd(*)
由b]d=0知,y2-xz与x,z-2y同时为0或同时不为0当y—xz与x•z—2y同时为0时,有x=y=z与题设矛盾。
b2
故y2-xz与x-z-2y同时不为0,所以由(*)得=——xz-
dx+z-2y
因为0乞x:
z乞n-1,且x、y、z为整数,所以上式右边为有理数,从而色为有理数。
于是,对于任意的正整数n(n_4),只要色为无理数,相应的数列就是满足题意要求的数列。
例如n项数列1,12,122,……,1(n-1)2满足要求。
2、(2009江苏卷17)(本小题满分14分)
设订/是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足a22a3^a42a52,S7=7。
(1)求数列fan?
的通项公式及前n项和&
;
(2)试求所有的正整数m,使得3m3m1为数列订昇中的项。
am2
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识,考查运算和求解的能力。
满分14分。
(1)设公差为d,则£
-a5=ai-af,由性质得-3d⑻'
a3)=d⑻a3),因
7汇6
为d=0,所以a4a30,即2a15^0,又由5=7得7a1d=7,
arA1二(t-4)(t-2)
所以t为8的约数
解得印--5,
d_2—「.:
「;
門邛匸二丁:
「7丄.j「Ci「一
⑵
(方法一)
amam1=(2m-7)(2m-5),设?
m_3二t,
am22m-3
则
因为十是奇数,所LiU可取的值为土L
当=1,m二2时,t+--6=3■25-7=3,是数列也沖的项m
t
当i=-Em=l时,£
+*—6=T—数列辺}中的最小项是—5,不符合.
所農满足条件的正整数即=2B
(方法二)因为込!
二(am2一4)(编2_2)二am.2-6•丄为数列;
aj中的项,
3m2am2am2
8
故_为整数,又由
(1)知:
am.2为奇数,所以am.2=2m-3hT,即m=1,2
am+2
经检验,符合题意的正整数只有m=2。
w.w.w.zxxk.c.o.m
3、(2009江苏卷23)(本题满分10分)
对于正整数n>
2,用Tn表示关于x的一元二次方程x22ax^0有实数根的有序数组
(a,b)的组数,其中a,b〈1,2,ll),n(a和b可以相等);
对于随机选取的a,b讣2,川,n?
(a和b可以相等),记巳为关于x的一元二次方程x22ax5=0有实数根的概率。
(1)求Tn2和Pn2;
(2)求证:
对任意正整数n>
2,有Pn1一.
10
【解析】[必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理,考查探究能力。
满分分。
(1)解;
因为方梅J+2c«
+A0有实数SL所比3-九'
事0』卩占呈讥当n£
氐WJ时*有又&
匸1,2严},披总冇bW$*此时・a^fn1-m+1种取法上有d种取法’所以共冇(J-n+1)fi3组宵序散组5川〕満足条件;
3)当Iafl-1时’満罡1电b富『的A有J个•故共宿
I1+22+31+-+-I)1=叫5广罟—1)组有序数组山,町満足
务件.
由⑴罚)翊65—+】心也匕」譽二耳*迴匕年込』.
“““G-411+3rr+I
(2)证明:
找们貝皤证期:
对于随机选取的叭6匚丨1.九…"
匚方杜d*2曲+6=0无实数根的覆率$-巴C占.若方程?
+2^+A=0无实数根,则/fl
d=4rt;
-4b<
0,IU/€k商山毎n知nc“扁一因此.満足.血‘<
矗的有序数组(血町的组数小于乐.从而*方觀J+2«
x+*=0无实数段的悵事1■巴u吗J士所匚>
I-p-・
4、(2010江苏卷19)(本小题满分16分)
设各项均为正数的数列a的前n项和为Sn,已知2a2=aa3,数列'
Sn是公差为d的等差数列。
(1)求数列乩[的通项公式(用n,d表示);
(2)设c为实数,对满足m•n=3k且m=n的任意正整数m,n,k,不等式Sm-Sn.cS,
9
都成立。
求证:
c的最大值为9。
【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识,考查探索、
分析及论证的能力。
满分16分。
(1)由题意知:
d0,/S^S1(n-Dd-c(n-1)d
2a-a1a^=3a?
=S3=3(S2-S1)=S3,3[(.ajd)-a』=a'
2d),
,适合n=1情形。
化简,得:
-2add2=0,冃=d,a=d2,Sn=d(n「1)d二nd,Sn=n2d2,当n一2时,4=Sn-SnA-n2d2-(n-1)2d2=(2n—1)d2
故所求耳=(2n-1)d2
(2)(方法一)
mnk
c2恒成立。
k2
Sm■SncSk二m2d2n2d2ck2d2二m2n2ck2
又mn=3k且m=n,2(mn)(mn)=9k2
k22
—99
故c,即c的最大值为。
(方法二)由.51-d及£
=,芬-(n-1)d,得d0,Sn=n2d2。
(mn)
于是,对满足题设的m,n,k,m=n,有
Sm$=(亦『屮.竺产宀*讦专$。
所以c的最大值血-号。
933
另一方面,任取实数a。
设k为偶数,令mk1,nkT,则m,n,k符合条件,
222
且SmSn=(m2n2)d2=d2[(3k1)2(?
k-1)2]=[d2(9k24)。
222122
于是,只要9k4<
2ak,即当k:
.时,Sm-Snd2ak二aSk。
J2a—92
999
所以满足条件的C,从而Cmax,因此C的最大值为。
5、(2011江苏卷20)设M部分为正整数组成的集合,数列{an}的首项耳=1,前n项和为
Sn,已知对任意整数kM当整数n•k时,Sn,k-Sn上=2(SnSk)都成立
(1)设M-{1},a^2,求a5的值;
(2)设M={3,令,求数列{an}的通项公式
【解析】本小题考查数列的通项与前n项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查
考生分析探究及逻辑推理的能力,满分16分。
解:
(1)由题设知,当n_2时,&
勺-Sn」=2(&
0),
即(Sn卅一Sn)-(Sn-Sn」)=2S,
an十-an=2a-^=2,又a2=2,故当n_2时,an=a22(n-2)=2n-2.所以a5的值为8。
(2)由题设知,当k•M={3,4},且n•k时,SnkSn^=2Sn2Sk
且Sn1k'
Sn•1_k二2Sn12Sk,
两式相减得an1kan1_k=2an1,即an1k-an1」=an1-an1上
所以当n_8时,an£
an,,an,an.3,an.6成等差数列,且a^,a^,an.2,an.6也成等差数
列
从而当n_8时,2an=an3•an;
二an6•an』.(*)
且an6•an(二an2•a./,所以当n-8时,2a.二a.吃’an/,
即an.2-an=an-an/.于是当n-9时,anA,an」,an1,an3成等差数列,
从而an3an^-an「az,故由(*)式知2耳=an「a.—,即a.1-a.二a.-a^.
当n一9时,设d二an-an1.
当2乞m乞8时,m,6-8,从而由(*)式知2am=am■am.12,故2am7—am1am13.
从而2(am7-am6)=am1一am@m13一&
皿12),于是am1-am=2d-d=d.
因此,an.1_an二d对任意nA2都成立,又由Sn,k-Sn±
-2Sk=2Sk(k{3,4})可
知(Snk-Sn)-(Sn-Sn上)=2Sk,故9d=2S且16d=2S4,
"
7QzJ
解得a4d,从而a2d,a1.因此,数列{an}为等差数列,由q=1知d=2.
所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.
6、(2012江苏卷20)(本小题满分16分)
a+h
已知各项均为正数的两个数列{an}和{hn}满足:
an1=曰;
2,n,N
fb
<
I生>
是等差数列;
X丿J
g2+bn2
(1)设bnd=1bn,n^N,求证:
数列
an
(2)设bn1*2b,nN,且{an}是等比数列,求a1和h的值.
牡⑴由録知“裁
*隅吏姜二蘇拠叭比前的d性质*神式舸輙识卫考生分析煤究尺谴豹推理的陡力.湛分16分*
所以-
J
所匕数列
心)因为%>
0.人>
0.所W-d5
)71+(d'
旨碍;
从呛f(护{◎)〕是以!
为公差的邯畫熬列
'
地工和■臥、仏祐.几
从面皿•,青丰产医(*
mg
设等比数列卫和的茲比为典ifl.>
o®
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o.下证“i・
cr
若卩1‘列空色圧屁故当2叱"
二时,tl-;
(x)矛隋;
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1.刚a,i—>
d?
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l*故当心丄时*°
*]
g
综上,f*1v故a.EtfjtnCN"
),fft^k^72,.
又—朋・L止・V^N'
),驟以血掘公比为匚的尊比矽九若知皿
卿童乂.于me又由口产,严t得如岀%幷/所以.」%中至少有两项相阖*矛航更以口产佢*从而“曲丰
叫—
所UlOj兴JL
互化.数列通项公式的求解•注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法,本题
是有关数列的综合题;
从近几年的高考命题趋势看,数列问题仍是高考的热点、重点问题,
在训练时,要引起足够的重视•
7、(2013江苏卷19)19.本小题满分16分。
设{an}是首项为a,公差为d的等差数列(d式0),
nQ
Sn是其前n项和。
记bn=2n,n•N,其中c为实数。
nc
(1)右c=0,且b|,b?
匕4成等比数列,证明:
Snk=nSk(k,n二N);
(2)若{bn}是等差数列,证明:
c=0。
20.本小题满分16分。
设函数f(x)=1nx-ax,g(x)=ex—ax,其中a为实数。
(1)若f(x)在(1,=)上是单调减函数,且g(x)在(1,•:
)上有最小值,求a的取值范围;
(2)若g(x)在(-1,•:
)上是单调增函数,试求f(x)的零点个数,并证明你的结论。
19•证明:
•••{a.}是首项为
公差为d的等差数列(d=0),S!
是其前n项和
S
(1)•••c=0•bn-
n
•••左边=右边.••原式成立
(2)•••{bn}是等差数列.••设公差为
d1,•bn
二b(n-1)d1带入bn
b|(n-1)d1=
nSn
n2c
(d1
」d)n3(b-i
12
-d1-ad)n•cd1n=c(d^b1)对
•恒成立
d1
•••山
cdj=0
c(di-bi)
=0
由①式得:
-0
由③式得:
当b,,b2,b4成等比数列,b;
二bb4,
由此:
Sn=n2a,Snk=(nk)2a=n2k2a,n2Sk=n2k2a.
故:
Sik=nSk
2(n-1)d2a
(n-1)d2af
(n-1)d2a
2_n2c
若{bj是等差数列,则bn二An•Bn型.
观察(探)式后一项,分子幕低于分母幕,
(n-1)d2a
故有:
=0,即c(n「1)d2a
=0,而
经检验,当
c=0时{bn}是等差数列.
8、(2013江苏卷23)卷n附加题
9、23.本小题满分10分。
(k-1)kk(k1)
cn兰
设数列&
}:
-2-2,3.3-,3-,-,4,4(-4k-k,,()k1,即当
an(-1)kJk,记5=6a2川annN,
对于LN:
定义集合P^'
.nSn是a.的整数倍,n•N,且1_n_I?
(1)求集合R1中元素的个数;
(2)求集合P2000中元素的个数。
23.本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力。
(1)解:
由数列"
an,的定义得:
a1=1,a2--2,a3〜-2,a4=3,a^=3,a^=3,
a?
--4,a$--4,a?
--4,a®
--4,a^=5
二Si=1,S2--1,S3--3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8■-2,S9--6,
二3=1•a1,S4=0*a4,
S5=1・a5,Se=2•a6,
S10--10,S11--5
二集合Pn中元素的个数为5
(2)证明:
用数学归纳法先证Si(2i°
=-i(2i1)
事实上,
①当i=1时,Si(2i°
=S^-1*(21)--3故原式成立
②假设当i=m时,等式成立,即Sm(2m1)=-m・(2m■1)故原式成立
则:
i=m•1,时,
2222S(m1)[2(m1)1}=S(m1)(2m3}=Sm(2m1)(2m1)-(2m2)--m(2m1)(2m1)-(2m2)--(2m25m3)=-(m1)(2m3)
综合①②得:
Si(2i巧=一i(2i1)于是
S(i1)[2i1}二Si(2i1}(2i1)2二-i(2i1)(2i1)2二(2i1)(i1)而a(i半)(2i斗}舟=2i+1(j=1,2,…,2H~1),所以Si(2i4i)^=S(2i屮)+j(2i+1)是
a(i1)(2i1}j(j=1,2,,2i'
1)的倍数
又S(i1)[2i1}=(i1)(2i1)不是2i2的倍数,
而a(i1)(2i1}-_(2i2)(j=1,2^,2i2)
所以S(i1)(2i1)j二S(i1)(2i1)-j(2i2)=⑵1)(i1)_j(2i2)不
a(i1)(2i1}j(j=1,2,…,2i2)的倍数
故当I=i(2i/)时,集合R中元素的个数为1(2i-1)=i2
于是当I=i(2i+1)+j(1兰j兰2i+1)时,集合R中元素的个数为i2十j
又2000=31(2311)47
故集合R2000中元素的个数为312*47=1008