届高三上学期第一次调研考试 数学文.docx
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届高三上学期第一次调研考试数学文
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．已知集合
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．复数
的共轭复数是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知双曲线
的中心在原点，焦点在
轴上，其中一条渐近线的倾斜角为
，
则双曲线
的离心率为（）
（A）
或
（B）
或
（C）
（D）
4．下列有关命题的说法错误的是（）
（A）若“
”为假命题，则
与
均为假命题；
（B）“
”是“
”的充分不必要条件；
（C）若命题
，则命题
；
（D）“
”的必要不充分条件是“
”.
5．已知等差数列
的前
项和为
，且
，
，则
（）
（A）
（B）
（C）
（D）
6．已知数据
，
，
，
，
的平均值为2，方差为1，则数据
，
，
，
相
对于原数据（）
（A）一样稳定（B）变得比较稳定
（C）变得比较不稳定（D）稳定性不可以判断
7．如图所示,黑色部分和白色部分图形是由曲线
，
，
，
及圆构成的.在圆内随机
取一点,则此点取自黑色部分的概率是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
8．若实数x，y满足的约束条件
，则函数
的最大值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
9．函数
在
内（）
（A）没有零点（B）有且仅有一个零点
（C）有且仅有两个零点（D）有无穷多个零点
10．
“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体。
它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）。
其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线。
当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（ ）
（A）（B）（C）（D）
11．已知函数
的最小正周期为
，将
的图象向左平移
个单位长度，所得图象关于
轴对称，则
的一个值是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
12．已知函数
是定义在
上的偶函数，设函数
的导函数为
，若对任意
都有
成立，则（）
（A）
（B）
（C）
（D）
二．填空题：
本题共4小题，每小题5分。
13．已知向量
，且
与
共线，则
的值为 ．
14．过点
作圆
的切线
，则切线
的方程为．
15．已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的公比等于．
16．已知点
在同一个球的球面上，
，
，若四面体
的体积为
，球心
恰好在棱
上，则这个球的表面积为________．
三．解答题：
共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：
共60分。
17．（12分）
在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，
，满足
．
（1）求角
的大小；
（2）若
，
，求
的面积．
18．（12分）
某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：
第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．
区间
[25,30）
[30,35）
[35,40）
[40,45）
[45,50）
人数
50
50
a
150
b
（1）上表是年龄的频数分布表，求正整数
的值；
（2）现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
（3）在
（2）的前提下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．
19．（12分）
如图，四棱锥
中，底面
为矩形，
面
，
为
的中点．
（1）证明：
平面
;
（2）设
，
，三棱锥
的体积
，求点
到平面
的距离．
20．（12分）
已知椭圆
：
的离心率为
，且椭圆
过点
．
过点
作两条相互垂直的直线
、
分别与椭圆
交于
、
、
、
四点．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）若
，
，探究：
直线
是否过定点？
若是，请求出定点
坐标；若不是，请说明理由．
21．（12分）
已知函数
．
（1）当
时，求实数的
值及曲线
在点
处的切线方程；
（2）讨论函数
的单调性．
（二）选考题：
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
以原点
为极点，以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，在极坐标系中，已知圆C的圆心C
，半径
．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若
，直线
的参数方程为
（
为参数），直线
交圆C于A、B两点，求弦长
的取值范围．
23．[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
已知函数
．
（1）若
恒成立，求
的取值范围；
（2）当
时，解不等式：
．
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
D
B
C
A
B
B
B
D
A
1．A
2．C【解析】
，
其共轭复数为
；
3．D
【解析】焦点在x轴上，则方程为
（
），所以
，则
，
故选D.
4．D
【解析】由题可知：
时，
成立，所以满足充分条件，但
时，
，所以必要条件不成立，故D错
5．B
【解析】由等差数列可知
，所以
，故选B.
6．C
【解析】因为数据
，
，
，
，
的平均值为2，所以数据
，
，
，
的平均值也为2，因为数据
，
，
，
，
的方差为1，所以
，所以
，所以数据
，
，
，
的方差为
，因为
，所以数据
，
，
，
相对于原数据变得比较不稳定．故选C.
7．A
【解析】由于图形关于原点成中心对称，关于坐标轴成轴对称，可知黑色部分图形构成四分之一个圆，由几何概型，可得
，故选A.
8．B
【解析】画出不等式组
表示的平面区域，
在点
处取得最大值，
∴
．故选
9．B
【解】（方法一）数形结合法，令
，则
，设函数
和
，它们在
的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数
在
内有且仅有一个零点；
（方法二）在
上，
，
，所以
；
在
，
，所以函数
是增函数，又因为
，
，所以
在
上有且只有一个零点．
10.B
【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合在一起的方形伞，所以其正视图和侧视图是一个圆。
俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有2条对角线且为实线的正方形，故选B；
11．D
【解析】分析：
先根据函数
的最小正周期为
，求出
的值，再由平移后得到
为偶函数，可得
，进而可得结果.
详解：
由函数
的最小正周期为
，可得
，
，将
的图象向左平移
个单位长度，得
的图象，
平移后图象关于
轴对称，
，
，
，
故选D.
12．A
【解析】设
在
上是增函数，易得
是偶函数
，故选A.
二、填空题：
（每小题5分，共20分）
13．
14.
15.
16.
13．向量
，
，
，又
与
共线，可得
，解得
．
14．
【解析】点A在圆C上，且半径AC所在直线的斜率为
，而直线
，则切线的斜率
，由直线方程的点斜式得
，故切线
的方程为
15．【解析】由
得
，所以
，
所以
，所以
.
16．
【解析】分析：
确定
外接圆的直径为
圆心
为
的中点，求出球心到平面
的距离，利用勾股定理求出球的半径，即可求出球的表面积．
详解：
∵
，
外接圆的直径为
，圆心
为
的中点
∵球心
恰好在棱
上，，则
为球的直径，则
由球的性质，
平面
，则
平面
，即
为三棱锥
的高，由四面体
的体积为
，可得
，
∴球的半径为
∴球的表面积为
．
即答案为
．
或者构造长方体，把三棱锥放入长方体比较简单。
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17．解：
（1）
中，由条件及正弦定理得
，……………………1分
∴
.……………………2分
∵
，
，……………………4分
∵
，∴
.……………………6分
（2）∵
，
，
由余弦定理得
，……………………8分
∴
.……………………10分
∴
.……………………12分
18．
（1）
；
（2）第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人；（3）
.
解：
（1）由题设可知，
，
.……………………2分
（2）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人，
利用分层抽样在300名学生中抽取
名学生，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为
，第2组的人数为
，第3组的人数为
，
所以第1，2，3组分别抽取1人，1人，4人．……………………6分
（3）设第1组的1位同学为
，第2组的1位同学为
，第3组的4位同学为
，则从6位同学中抽两位同学有：
共
种可能．……………………9分
其中2人年龄都不在第3组的有：
共1种可能，
所以至少有1人年龄在第3组的概率为
．……………………12分
19．
（1）证明见解析
（2）
到平面
的距离为
（I）证：
设BD交AC于点O，连结EO。
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。
又E为PD的中点，所以EO∥PB
又EO
平面AEC，PB
平面AEC
所以PB∥平面AEC。
……………………5分
（II）解：
由
，可得
.
作
交
于
。
由题设易知
，所以
故
，
又
所以
到平面
的距离为
……………………12分
法2：
等体积法
由
，可得
.
由题设易知
得BC
假设
到平面
的距离为d，
又因为PB=
所以
又因为
（或
），
，所以
……………………12分
20．
（1）
（2）
解：
（Ⅰ）由题意知，
，解得
，
故椭圆
的方程为
.……………………4分
（Ⅱ）∵
，
，∴
、
分别为
、
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