最新北京小学奥数排列组合经典例题.docx

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最新北京小学奥数排列组合经典例题

排列组合问题

教学目标：

1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；

2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；

3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；

4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：

一.加法原理：

做一件事情，完成它有N类办法，

在第一类办法中有M1中不同的方法，

在第二类办法中有M2中不同的方法，……，

在第N类办法中有Mn种不同的方法，

那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。

二.乘法原理：

如果完成某项任务，可分为k个步骤，

完成第一步有n1种不同的方法，

完成第二步有n2种不同的方法，……

完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，

那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。

三.两个原理的区别

⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）

⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．

四.排列及组合基本公式

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Pmn表示.

Pmn=n（n-1）（n-2）……（n-m+1）

=（规定0!

=1）.

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.

Cmn=Pmn/m!

=

一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn=Cn-mn来简化计算。

规定：

Cnn=1,C0n=1.

3.n的阶乘（n!

）——n个不同元素的全排列

Pnn=n!

=n×（n-1）×（n-2）…3×2×1

例题精讲：

一、排列组合的应用

【例1】小新、阿呆等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法？

（1）七个人排成一排；

（2）七个人排成一排，小新必须站在中间.

（3）七个人排成一排，小新、阿呆必须有一人站在中间.

（4）七个人排成一排，小新、阿呆必须都站在两边.

（5）七个人排成一排，小新、阿呆都没有站在边上.

（6）七个人战成两排，前排三人，后排四人.

（7）七个人战成两排，前排三人，后排四人.小新、阿呆不在同一排。

1【解析】

（1）（种）。

（2）只需排其余6个人站剩下的6个位置．（种）.

（3）先确定中间的位置站谁，冉排剩下的6个位置．2×=1440（种）．

（4）先排两边，再排剩下的5个位置，其中两边的小新和阿呆还可以互换位置．（种）．

（5）先排两边，从除小新、阿呆之外的5个人中选2人，再排剩下的5个人，（种）.

（6）七个人排成一排时，7个位置就是各不相同的．现在排成两排，不管前后排各有几个人，7个位置还是各不相同的，所以本题实质就是7个元素的全排列．（种）.

（7）可以分为两类情况：

“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，两种情况是对等的，所以只要求出其中一种的排法数，再乘以2即可．4×3××2=2880（种）．排队问题，一般先考虑特殊情况再去全排列。

【例2】用1、2、3、4、5、6可以组成多少个没有重复数字的个位是5的三位数？

【解析】个位数字已知，问题变成从从个元素中取个元素的排列问题，已知，，根据排列数公式，一共可以组成（个）符合题意的三位数。

【巩固】用1、2、3、4、5这五个数字可组成多少个比大且百位数字不是的无重复数字的五位数？

1【解析】可以分两类来看：

⑴把3排在最高位上，其余4个数可以任意放到其余4个数位上，是4个元素全排列的问题，有（种）放法，对应24个不同的五位数；

⑵把2，4，5放在最高位上，有3种选择，百位上有除已确定的最高位数字和3之外的3个数字可以选择，有3种选择，其余的3个数字可以任意放到其余3个数位上，有种选择．由乘法原理，可以组成（个）不同的五位数。

由加法原理，可以组成（个）不同的五位数。

【巩固】用0到9十个数字组成没有重复数字的四位数；若将这些四位数按从小到大的顺序排列，则5687是第几个数？

【解析】从高位到低位逐层分类：

⑴千位上排，，或时，千位有种选择，而百、十、个位可以从中除千位已确定的数字之外的个数字中选择，因为数字不重复，也就是从个元素中取个的排列问题，所以百、十、个位可有（种）排列方式．由乘法原理，有（个）．

⑵千位上排，百位上排时，千位有种选择，百位有种选择，十、个位可以从剩下的八个数字中选择．也就是从个元素中取个的排列问题，即，由乘法原理，有（个）．

⑶千位上排，百位上排，十位上排，，，，，时，个位也从剩下的七个数字中选择，有（个）．

⑷千位上排，百位上排，十位上排时，比小的数的个位可以选择，，，，共个．

综上所述，比小的四位数有（个），故比小是第个四位数．

【例3】用、、、、这五个数字，不许重复，位数不限，能写出多少个3的倍数？

1【解析】按位数来分类考虑：

⑴一位数只有个；

⑵两位数：

由与，与，与，与四组数字组成，每一组可以组成（个）不同的两位数，共可组成（个）不同的两位数；

⑶三位数：

由，与；，与；，与；，与四组数字组成，每一组可以组成（个）不同的三位数，共可组成（个）不同的三位数；

⑷四位数：

可由，，，这四个数字组成，有（个）不同的四位数；

⑸五位数：

可由，，，，组成，共有（个）不同的五位数．

由加法原理，一共有（个）能被整除的数，即的倍数．

【巩固】用1、2、3、4、5、6六张数字卡片，每次取三张卡片组成三位数，一共可以组成多少个不同的偶数？

【解析】由于组成偶数，个位上的数应从，，中选一张，有种选法；十位和百位上的数可以从剩下的张中选二张，有（种）选法．由乘法原理，一共可以组成（个）不同的偶数．

【例4】某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非数码组成，且四个数码之和是，那么确保打开保险柜至少要试几次？

1【解析】四个非数码之和等于9的组合有1，1，1，6；1，1，2，5；1，1，3，4；1，2，2，4；1，2，3，3；2，2，2，3六种。

第一种中，可以组成多少个密码呢？

只要考虑的位置就可以了，可以任意选择个位置中的一个，其余位置放，共有种选择；

第二种中，先考虑放，有种选择，再考虑的位置，可以有种选择，剩下的位置放，共有（种）选择同样的方法，可以得出第三、四、五种都各有种选择．最后一种，与第一种的情形相似，的位置有种选择，其余位置放，共有种选择．

综上所述，由加法原理，一共可以组成（个）不同的四位数，即确保能打开保险柜至少要试次．

【例5】两对三胞胎喜相逢，他们围坐在桌子旁，要求每个人都不与自己的同胞兄妹相邻，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少种不同的坐法？

【解析】第一个位置在个人中任选一个，有（种）选法，第二个位置在另一胞胎的人中任选一个，有（种）选法．同理，第，，，个位置依次有，，，种选法．由乘法原理，不同的坐法有（种）。

【例6】一种电子表在6时24分30秒时的显示为6:

24：

30，那么从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有多少个?

1【解析】设A:

BC是满足题意的时刻，有A为8，B、D应从0，1，2，3，4，5这6个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，而C、E应从剩下的7个数字中选择两个不同的数字，所以有种选法，所以共有×=1260种选法。

从8时到9时这段时间里，此表的5个数字都不相同的时刻一共有1260个。

【例7】一个六位数能被11整除，它的各位数字非零且互不相同的．将这个六位数的6个数字重新排列，最少还能排出多少个能被11整除的六位数?

1【解析】设这个六位数为，则有、的差为0或11的倍数．且a、b、c、d、e、f均不为0，任何一个数作为首位都是一个六位数。

先考虑a、c、e偶数位内，b、d、f奇数位内的组内交换，有×=36种顺序；

再考虑形如这种奇数位与偶数位的组间调换，也有×=36种顺序。

所以，用均不为0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72个能被11整除的数（包含原来的）。

所以最少还能排出72-1=71个能被11整除的六位数。

【例8】已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行的手工制作比赛中，决出了第一至第五名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：

“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：

“你当然不会是最差的．”从这个回答分析，5人的名次排列共有多少种不同的情况？

1【解析】这道题乍一看不太像是排列问题，这就需要灵活地对问题进行转化．仔细审题，已知“甲和乙都未拿到冠军”，而且“乙不是最差的”，也就等价于人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法数，因为乙的限制最多，所以先排乙，有种排法，再排甲，也有种排法，剩下的人随意排，有（种）排法．由乘法原理，一共有（种）不同的排法。

【例9】名男生，名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：

⑴甲不在中间也不在两端；

⑵甲、乙两人必须排在两端；

⑶男、女生分别排在一起；

⑷男女相间．

【解析】⑴先排甲，个位置除了中间和两端之外的个位置都可以，有种选择，剩下的个人随

意排，也就是个元素全排列的问题，有（种）选择．由乘法原理，共有（种）排法．

⑵甲、乙先排，有（种）排法；剩下的个人随意排，有

（种）排法．由乘法原理，共有（种）排法．

⑶分别把男生、女生看成一个整体进行排列，有（种）不同排列方法，再分别对男生、女生内部进行排列，分别是个元素与个元素的全排列问题，分别有

（种）和（种）排法．

由乘法原理，共有（种）排法．

⑷先排名男生，有（种）排法，再把名女生排到个空档中，有（种）排法．由乘法原理，一共有（种）排法。

【巩固】五位同学扮成奥运会吉祥物福娃贝贝、晶晶、欢欢、迎迎和妮妮，排成一排表演节目。

如果贝贝和妮妮不相邻，共有（）种不同的排法。

1【解析】五位同学的排列方式共有5×4×3×2×1=120（种）。

如果将相邻的贝贝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（种）。

因为贝贝和妮妮可以交换位置，所以贝贝和妮妮相邻的排列方式有24×2=48（种）；

贝贝和妮妮不相邻的排列方式有120-48=72（种）。

【例10】一台晚会上有个演唱节目和个舞蹈节目．求：

⑴当个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？

⑵当要求每个舞蹈节目之间至少安排个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？

【解析】⑴先将个舞蹈节目看成个节目，与个演唱节目一起排，则是个