一元二次方程的应用教师版Word格式文档下载.docx
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根据题意，得
，解得x=22．
经检验，x=22是原方程的根．
答：
该项绿化工作原计划每天完成22m2．
（2）设矩形宽为ym，则长为2y﹣3m，
根据题意，得y（2y﹣3）=170，解得y=10或y=﹣8.5（不合题意，舍去）．
2y﹣3=17．
这块矩形场地的长为17m，宽为10m．
本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题的关键是从题目中找到相关的等量关系并列出方程求解．
例2、（2012•南漳县模拟）某中学校园内有一长100m，宽80m的长方形空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），其余区域为活动区，并且四周出口等宽．若绿化区的总面积恰好占空地面积30%，则每一块矩形绿化区的周长是多少？
几何图形问题．
设四周出口宽为x米，则绿化区的长为
米，宽为
米，根据绿化区的总面积恰好占空地面积30%列出方程求解即可．
米，
根据题意得：
4×
×
=100×
80×
30%，
整理得：
x2﹣180x+5600=0，
解得：
x=140（舍去）或x=40，
故长为
=30米，宽为
=20米，
故周长为2×
（30+20）=100m．
每一块矩形绿化区的周长为100米．
本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是设出出口的宽，并用未知数表示出每个矩形的长和宽，从而列出方程．
例3、张大爷准备好用35m的篱笆围成一个长方形的养鸡场，其中一边利用一面墙（墙长为18m）如图
（1）他能围成面积为150m2的养鸡场吗？
如果能，请求出养鸡场的长和宽？
如果不能，请说明理由．
（2）他能围成一个面积为160m2的养鸡场吗？
（1）靠墙的一面不需要篱笆，矩形养鸡场只需要一个长，两个宽用篱笆围成．设宽为xm，长就是（35﹣2x）m，用矩形面积公式列方程；
（2）和上题一样，列方程整理出一元二次方程，若有根就能，否则就不能．
（1）设养鸡场的宽度为x（m），则长为（35﹣2x）（m）；
依题意列方程：
x（35﹣2x）=150，
即（2x﹣15）（x﹣10）=0
x1=7.5x2=10
当x=10时，x﹣10=0（舍去）；
则当x=7.5时，35﹣2x=20，
故养鸡场的宽为7.5，长为20m．
（2）不能．
因为设养鸡场的宽为x（m），则长为（35﹣2x）（m），
x（35﹣2x）=160，
即2x2﹣35x+160=0，
△=352﹣4×
2×
160=﹣55＜0，
方程无实数解，
故养鸡场的面积不能达到160m2
本题考查了一元二次方程的应用，用一定长的篱笆围长方形，围成的面积是有限度的，能不能围成，就是看面积的值能不能使方程有解．
．
例4、要在一块长16cm，宽12cm的矩形地上建造一个花园，要求花园占地面积为荒地的面积的一半，图
（1）图
（2）分别是小明和小红的设计方案．
小明：
我设计的方案如图
（1），花园四周小路宽度一致．
小红：
我设计的方案如图
（2），花园每个角上的扇形相同．
你能分别求出小明设计图中的道路宽及小红设计的扇形半径长吗？
（π取3，
）
（1）易得花园的长为原来长方形的长减去2倍的路宽，同理可得花园的宽，根据花园的面积得到相应的等量关系求得相应的值，根据实际情况得到正确与否即可；
（2）等量关系为：
4个扇形的面积应等于长方形的面积的一半，把相关数值代入计算即可；
（1）设小路宽xm，则得方程（16﹣2x）（12﹣2x）=
16×
12，
x1=2．x2=12，
而矩形的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意；
故小明设计图中的道路的宽为2米．
（2）由题意得：
=
x1=﹣
（不合题意舍去），
x2=
≈5.5，
小红的设计方案中扇形的半径约为5.5m．
此题考查了一元二次方程的应用及设计图案问题；
根据面积得到相应的关系式是解决本题的关键．
三、增长率（或降低率）问题
例1、（1997•广州）红星机器厂前年生产机器4050台，由于加强了管理，今年的产量达到5000台，求机器产量平均每年的增长百分率（精确到1%）．
增长率问题；
压轴题．
设增长率为x，利用a（1±
x）2=b列方程求解即可．
设产量平均每年的增长百分率为x，
根据题意，得4050（1+x）2=5000．
x=
≈11%，或x=﹣
（舍去）
产量平均每年增长11%．
本题考查的是增长率问题，关键是了解增长率问题的一般做法，根据变化可列方程求出解．
例2、（2012•钦州）近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元．
（1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率；
（2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？
请通过计算说明理由．
（1）等量关系为：
2009年教育经费的投入×
（1+增长率）2=2011年教育经费的投入，把相关数值代入求解即可；
（2）2012年该区教育经费=2011年教育经费的投入×
（1+增长率）．
（1）设每年平均增长的百分率为x．
6000（1+x）2=8640，
（1+x）2=1.44，
∵1+x＞0，
∴1+x=1.2，
x=20%．
每年平均增长的百分率为20%；
（2）2012年该县教育经费为8640×
（1+20%）=10368（万元）＞9500万元．
故能实现目标．
考查一元二次方程的应用；
求平均变化率的方法为：
若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±
x）2=b．
例3、（2013•贵阳）2010年底某市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达到144万辆．
（1）求2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）该市交通部门为控制汽车拥有量的增长速度，要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆，预计2013年报废的汽车数量是2012年底汽车拥有量的10%，求2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求．
一元一次不等式的应用．4217802
（1）设2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，根据2010年底该市汽车拥有量为100万辆，而截止到2012年底，该市的汽车拥有量已达1445万辆可列方程求解．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2013年底全市的汽车拥有量为144（1+y）×
90%万辆，根据要求到2013年底全市汽车拥有量不超过155.52万辆可列不等式求解．
（1）设2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x，
根据题意，100（1+x）2=144
1+x=±
1.2
∴x1=0.2=20%x2=﹣2.2（不合题意，舍去）
2010年底至2012年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%．
（2）设2012年底到2013年底该市汽车拥有量的年平均增长率为y，
144（1+y）﹣144×
10%≤155.52
y≤0.18
2012年底至2013年底该市汽车拥有量的年增长率要控制在不超过18%能达到要求．
本题考查了一元二次方程的应用及不等式的应用，重点考查理解题意的能力，根据增长的结果做为等量关系列出方程求解，根据2013车的总量这个不等量关系列出不等式求解．
例4、某工程队在季梁公园建设过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，不断增加工人，加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2．如果从第一天之后，每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，请预测一下该工程队第四天可能要拆迁多少平方米？
应用题．
主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×
（1+增长率）．则第三天拆迁了1250（1+x）2m2．即可列方程求解．
设该工程队第一天之后每天的拆迁面积比前一天增长百分数为x，根据题意列方程为
1250×
（1﹣20%）×
（1+x）2=1440
解得x1=0.2x2=﹣2.2（舍去）
∴第四天可能拆迁面积为1440×
（1+20%）=1728（m2）
该工程队第四天可能要拆迁1728m2．
本题考查了一元二次方程的应用，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
四、营销问题
常用关系式：
售价—进价=利润
一件商品的利润×
销售量=总利润
单价×
销售量=销售额
例1、（2012•山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
一元二次方程的应用．421、、、、、、、、7
增长率问题．
（1）设每千克核桃降价x元，利用销售量×
每件利润=2240元列出方程求解即可；
（2）为了让利于顾客因此应下降6元，求出此时的销售单价即可确定几折．
（1）解：
设每千克核桃应降价x元．…1分
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+
20）=2240．…4分
化简，得x2﹣10x+24=0解得x1=4，x2=6．…6分
每千克核桃应降价4元或6元．…7分
（2）解：
由
（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：
60﹣6=54（元），
．…9分
该店应按原售价的九折出售．…10分
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
例2、（2013•绵阳）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？
（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？
一次函数的应用．4217802
（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；
（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；
然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．
（1）设平均增长率为x，根据题意得：
64（1+x）2=100
x=0.25=25%或x=﹣2.25
四月份的销量为：
100（1+25%）=125辆，
四月份的销量为125辆．
（2）设购进A型车x辆，则购进B型车
辆，
≤x≤2.8×
30≤x≤35．
利润W=（700﹣500）x+
（1300﹣1000）=9000+50x．
∵50＞0，∴W随着x的增大而增大．
当x=35时，
不是整数，故不符合题意，
∴x=34，此时
=13．
为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．
本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点．
例3、（2013•闸北区二模）为迎接“五一”节的到来，某食品连锁店对某种商品进行了跟踪调查，发现每天它的销售价与销售量之间有如下关系：
每千克售价（元）
25
24
23
…
15
每天销售量（千克）
30
32
34
50
如果单价从最高25元/千克下调到x元/千克时，销售量为y千克，已知y与x之间的函数关系是一次函数：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（不写定义域）
（2）若该种商品成本价是15元/千克，为使“五一”节这天该商品的销售总利润是200元，那么这一天每千克的销售价应定为多少元？
（1）利用表格中的数据得到两个变量的对应值，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可；
（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，利用总利润是200元得到一元二次方程求解即可．
（1）设y=kx+b（k≠0），将（25，30）（24，32）代入得：
…（1分）
∴y=﹣2x+80．
（2）设这一天每千克的销售价应定为x元，根据题意得：
（x﹣15）（﹣2x+80）=200，
x2﹣55x+700=0，
∴x1=20，x2=35．
（其中，x=35不合题意，舍去）
这一天每千克的销售价应定为20元．
本题考查了一元二次方程及一次函数的应用，列方程及函数关系式的关键是找到等量关系．
例4、（2013•集美区一模）某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局限定每件商品的利润不得超过30%．
（1）根据物价局规定，此商品每件售价最高可定为多少元？
（2）若每件商品售价定为x元，则可卖出（170﹣5x）件，商店预期要盈利280元，那么每件商品的售价应定为多少元？
（1）原价加上原价的30%即为最高售价；
（2）根据：
每件盈利×
销售件数=总盈利额；
其中，每件盈利=每件售价﹣每件进价．建立等量关系．
（1）16（1+30%）=20.8，
此商品每件售价最高可定为20.8元．
（2）（x﹣16）（170﹣5x）=280，
整理，得：
x2﹣50x+600=0，
x1=20，x2=30，
因为售价最高不得高于20.8元，所以x2=30不合题意应舍去．
每件商品的售价应定为20元．
本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程的应用题，需要检验结果是否符合题意．
五、行程问题
（2013•思明区一模）小球以v0（m/s）的速度开始向前滚动，滚动路程s（m）与时间t（s）满足如下关系：
（1）若v0=10（m/s），当t=2（s）时，求运动路程s；
（2）若v0=8（m/s），小球能否滚动10（m）？
请说明理由．
（1）将已知数据代入已知的函数关系式即可求解；
（2）将v0=8，s=10代入后得到方程t2﹣4t+5=0，其根的判别式小0，即可说明小球不能滚动10m．
把v0=10，t=2代入
，得s=12，
∴当v0=10（m/s），t=2（s）时，运动路程s为12m．
（2）小球无法滚动10m．
（解法1）：
当v0=8时，
即运动路程最多为8m，小球无法滚动10m．
（解法2）：
当v0=8时，令s=10，则﹣2t2+8t=10
即2t2﹣8t+10=0，t2﹣4t+5=0
∵△=16﹣20＜0
∴方程无解，
∴小球无法滚动10m．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是将已知数据代入函数关系式得到一元二次方程并用相关的知识求解．
六、循环问题
例1、．列方程解应用题：
十八大会议歇会期间，代表们在某休息室两两互相握手，共握手190次，求此时共有多少名代表在此休息室？
握手次数总和的计算方法：
握手次数=
，根据这个公式求出人数×
（人数﹣1）的积，求出人数即可．
设小组有x人，由题意得：
=190，
x（x﹣1）=380；
x=20或x=﹣19（舍去）
共有20名代表休息．
本题考查了一元二次方程的应用，重点考查握手总次数的计算方法，握手次数的公式要记住，并灵活运用．
例2一次排球友谊赛，参赛队中每两队都要赛场若此次友谊赛共66场，则本次参赛球队有（ ）
A．
14队
B．
13队
C．
12队
D．
11队
赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数=
．即可列方程求解．
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，
x（x﹣1）÷
2=66，
解得x=12或﹣11（舍去）．
故应12个球队参加比赛．
故选C．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
例3、在一次同学聚会中，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了90件礼物，共有多少名同学参加了这次聚会？
此题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：
x人参加聚会，每两名同学之间都互送了一件礼物，所有同学共送了x（x﹣1）件礼物解决问题即可．
设共有x名同学参加了聚会．（1分）
依题意，得x（x﹣1）=90．（2分）
x2﹣x﹣90=0．
解得x1=﹣9，x2=10．（3分）
x=﹣9不符合实际意义，舍去．（4分）
∴x=10．
共有10人参加了聚会．（5分）
本题考查了一元二次方程的应用，解决此类问题的关键是弄清题目中的等量关系．
例4、2012•和平区二模）注意：
为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，并完成本题解答的全过程，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
解题方案：
设每轮传染中平均一个人传染了x个人，
（Ⅰ）用含x的解析式表示：
第一轮后共有 1+x 人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有 1+x+x（x+1） 人患了流感；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为 1+x+x（1+x）=121 ；
（Ⅲ）解这个方程，得 x=﹣12或x=10 ；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了 10 个人．
设这种流感的传播速度是一人可才传播给x人，则一轮传染以后有（x+1）人患病，第二轮传染的过程中，作为传染源的有（x+1）人，一个人传染x个人，则第二轮又有x（x+1）人患病，则两轮后有1+x+x（x+1）人患病，据此即可列方程求解．
第一轮后共有1+x人患了流感；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x个人，第二轮后共有1+x+x（1+x）人患了流感；
（Ⅱ）根据题意，列出相应方程为1+x+x（1+x）=121；
（Ⅲ）解这个方程，得x=﹣12或x=10；
（Ⅳ）根据问题的实际意义，平均一个人传染了10个人，
故答案为：
1+x；
1+x+x（x+1）；
1+x+x（1+x）=121；
x=﹣12或x=10；
10．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题是要十分注意的是题目中的“共有”二字，否则一定得出错误的结果．
例5、（2012•鼓楼区一模）
（1）6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？
小莉是这样思考的：
每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×
6=30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手
=15次．依此类推，12位同学彼此握手
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