平行四边形的证明题Word格式.docx
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11.如图：
已知D、E、F分别是△ABC各边的中点,
AE与DF互相平分.
12.已知：
如图，在？
ABCD中，对角线AC交BD于点O,四边形AODE是平
13.如图，已知四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD
的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.
EF和GH互相平分.
试说明MQ=NP.
15•已知：
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF经
过点O并且分别和AB，CD相交于点E,F,点G,H分别为OA，OC的中点.求
证：
四边形EHFG是平行四边形.
16•如图，已知在？
ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、
H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG.
四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，贝U
（1）中的结论是
17•如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作
BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF.
AF=CE;
（2）如果AC=EF，且/ACB=135°
，试判断四边形AFCE是什么样的四边形,
18.如图平行四边形ABCD中，/ABC=60°
点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE//BD，EF丄BF，垂足为点F,DF=2
D是EC中点；
（2）求FC的长.
B
19.如图，已知△ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，/EFB=60
DC=EF.
四边形EFCD是平行四边形;
（2）若BF=EF，求证：
AE=AD.
20.如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）请判断四边形EFGH的形状？
并说明为什么；
（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性
质？
21.如图，△ACD、△ABE、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形.
（1）当ABMAC时，证明：
四边形ADFE为平行四边形；
（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和相应的条件.
22.如图，以厶ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、
△BCE、AACF，那么，四边形AFED是否为平行四边形？
如果是，请证明之，
23•在△ABC中，AB=AC，点P为厶ABC所在平面内一点，过点P分别作PE
//AC交AB于点E,PF//AB交BC于点D，交AC于点F.若点P在BC边上
（如图1），此时PD=0，可得结论：
PD+PE+PF=AB.
请直接应用上述信息解决下列问题：
当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立?
若成立，请给予证明；
若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系,
请写出你的猜想，不需要证明
24.如图1,P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），/ACB=90°
M为AB边中点.操作：
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E,使ME=PM，连接DE.
探究：
（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；
（2）请你利用图2,图3选择不同位置的点P按上述方法操作;
（3）经历
（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：
错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将“Rt△ABC改为“任意△ABC'
其他条件不变，利用图操作,
并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）•
25在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成
（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有无数组；
（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
26.如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，/BCD=RtZ,AB=AD=10cm,
BC=8cm.点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动.已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t.
（1）求CD的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得△BPQ的面积为
20cm2?
若存在，请求出所有满足条件的t的值；
若不存在，请说明理由.
27•已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为0（0,0）、A（2,0）、B（1,1）,
则第四个顶点C的坐标是多少？
28.已知平行四边形ABCD的周长为36cm,过D作AB,BC边上的高DE、DF,且I「；
cm,|求平行四边形ABCD的面积.
Z
/
7
A
E
1
29•如图，在平面直角坐标系中，已知0为原点，四边形ABCD为平行四边形,A、B、C的坐标分别是A（-3,股），B（-2,迅）,C（2,血），点D在第一象限.
（1）求D点的坐标；
（2）将平行四边形ABCD先向右平移杯弓个单位长度，再向下平移｛个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？
30.如图所示.？
ABCD中，AF平分/BAD交BC于F,DE丄AF交CB于E.求证：
BE=CF.
1解答：
（1）v四边形ABCD是平行四边形，•••AB=CD,AB//CD,
•••/ABD=/CDB,TAE丄BD于E,CF丄BD于F,
•••/AEB=/CFD=90°
「.AABE◎△CDF（A.A.S.）,•BE=DF;
（2）四边形MENF是平行四边形.
证明：
有
（1）可知：
BE=DF,•••四边形ABCD为平行四边行，
•AD//BC，•/MDB=MBD,
•/DM=BN,•••△DNF◎△BNE,•NE=MF，/MFD=/NEB，•/MFE=/NEF,
•MF//NE,•四边形MENF是平行四边形.
2、解答：
••四边形AECF是平行四边形
•OE=OF,OA=OC,AE//CF，•/DFO=/BEO，/FDO=/EBO,
•••△FDO◎△EBO,•OD=OB,•/OA=OC,•四边形ABCD是平行四边形.
3、解答：
（1）•BF=DE,•BF-EF=DE-EF,即BE=DE,
•/AE丄BD,CF丄BD,AEB=/CFD=90°
•/AB=CD,•RtAABE也RtACDF（HL）;
（2）•△ABE◎△CDF,ABE=/CDF,•AB//CD,
•AB=CD，•四边形ABCD是平行四边形，•AO=CO.
4、解答：
TDE,DF是厶ABC的中位线，二DE//AB,DF//AC,
•••四边形AEDF是平行四边形，
又•••/BAC=90°
「.平行四边形AEDF是矩形，•EF=AD.
5、解答：
解：
猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：
平行且相等.证明：
•••CE//AB，•/DAO=/ECO,
•/OA=OC,ADO◎△ECO,•AD=CE，•四边形ADCE是平行四边形，•CD丄AE.
6、解答：
由平行四边形可知，AD=CB，/DAE=/FCB,
又•••AE=CF,•△DAE◎△BCF,•DE=BF，/AED=/CFB
又•••M、N分别是DE、BF的中点，•ME=NF
又由AB//DC，得/AED=/EDCEDC=/BFC,「.ME//NF•四边形MFNE为平行四边形.
7、解答：
连接AC交BD于点O,
•••四边形ABCD为平行四边形，•OA=OC,OB=OD.
•••BE=DF,•OE=OF.二四边形AECF为平行四边形.
8、解答：
•••四边形ABCD是平行四边形，
•CD=AB,AD=CB，/DAB=/BCD.
又•••△ADE和厶CBF都是等边三角形，•DE=BF,AE=CF.ZDAE=/BCF=60°
.
•••/DCF=ZBCD-ZBCF,ZBAE=ZDAB-ZDAE,
•ZDCF=ZBAE.•••△DCFBAE（SAS）.•DF=BE.二四边形BEDF是平行四边形.
9、解答：
TE是AC的中点，•EC=-；
AC,
又•••DB=』AC,.・.db=ec.
2
又tDB//EC,•四边形DBCE是平行四边形.二BC=DE.
10、解答：
设P,Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t,PD=24-t,CQ=2t,BQ=30-2t.
（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ,•24-t=2t•t=8•8秒后四边形PDCQ是平行四边形；
（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ,•t=30-2t「.t=10•10秒后四边形APQB是平行四边形
11、解答：
tD、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：
DE//AC,DE=AF,
EF//AB,EF=AD,
•••四边形ADEF为平行四边形.故AE与DF互相平分.
12、解答：
T?
ABCD中，对角线AC交BD于点0,二OB=OD,
又•••四边形AODE是平行四边形，•AE//0D且AE=OD,•AE//OB且AE=OB,
•四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形.
13、解答：
连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中占
I八、、•
在厶ABC中，EG=2bC;
在厶DBC中，HF=2bc,
21
•eg=hf.
同理eh=gf.
•四边形EGFH为平行四边形.•••EF与GH互相平分.
又•••MN//AC,•四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形.
•AC=MQAC=NP.•MQ=NP.
15、解答：
如答图所示，
•••点O为平行四边形ABCD对角线AC,BD的交点，•OA=OC,OB=OD.•/G,H分别为OA,OC的中点，•OG=」OA,OH=」OC,•og=oh.
22
又•••AB//CD，•/1=/2.
在厶OEB和厶OFD中，
/仁/2,OB=OD，/3=/4,
•△OEB◎△OFD,
•OE=OF.•四边形EHFG为平行四边形.
16、解答：
（1）证明：
17、•AB=CD,AB//CD，•/GBE=/HDF.
又•••ag=ch,•bg=dh.
又•••BE=DF,•△GBE◎△HDF.•GE=HF，/GEB=/HFD，•/GEF=/HFE,•ge//hf，•四边形gehf是平行四边形.
（2）解：
仍成立.（证法同上）
17、解答：
•••AF//EC，•/DFA=/DEC，/DAF=/DCE,
•/D是AC的中点，•DA=DC,•△DAF◎△DCE,•AF=CE;
四边形AFCE是正方形.理由如下：
•••AF//EC,AF=CE，•四边形AFCE是平行四边形，
又•••AC=EF,•••平行四边形AFCE是矩形，二/FCE=/CFA=90°
而/ACB=135°
•/FCA=135°
-90°
=45°
•/FAC=45°
FC=FA,
•矩形AFCE是正方形.
18、解答：
在平行四边形ABCD中，AB//CD，且AB=CD,
又•••AE//BD，•四边形ABDE是平行四边形，•AB=DE,•CD=DE,即D是EC的中点；
连接EF，:
EF丄BF,•△EFC是直角三角形，
又•••D是EC的中点，•DF=CD=DE=2,
在平行四边形ABCD中，AB//CD,
•••/ABC=60°
「./ECF=/ABC=60°
•△CDF是等边三角形，•FC=DF=2.故答案为：
2.
BCF
19、解答：
（1）：
公ABC是等边三角形，•/ABC=60°
•••/EFB=60°
•/ABC=/EFB,•EF//DC（内错角相等，两直线平行）•••DC=EF,•四边形EFCD是平行四边形；
（2）连接BE
•/BF=EF，/EFB=60°
•△EFB是等边三角形，•EB=EF，/EBF=60•/DC=EF,•EB=DC,
•/△ABC是等边三角形，•/ACB=60°
AB=AC，•/EBF=/ACB,
•△AEB◎△ADC,•AE=AD.
20、解答：
（1）如图，四边形EFGH是平行四边形.连接AC,
•/E、F分别是AB、BC的中点，•EF//AC,EF=-；
AC
同理HG//AC,二-一工•EF//HG,EF=HG•EFGH是平行四边形;
（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等.
•••假若四边形EFGH为正方形，.••它的每一组邻边互相垂直且相等，
•根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等.
21、解答：
•••△ABE、△BCF为等边三角形，
•••AB=BE=AE,BC=CF=FB，/ABE=/CBF=60°
•••/CBA=/FBE.•△ABC◎△EBF.•EF=AC.
又•••△ADC为等边三角形，•CD=AD=AC.•EF=AD.
同理可得AE=DF.•••四边形AEFD是平行四边形.
（2）解：
构成的图形有两类，一类是菱形，一类是线段.
当图形为菱形时，/BACM60。
（或与F不重合、△ABC不为正三角形）
当图形为线段时，/BAC=60°
（或与F重合、△ABC为正三角形）.
22、解答：
四边形AFED是平行四边形.
证明如下：
在厶BED与厶BCA中，BE=BC,BD=BA（均为同一等边三角形的边）
/DBE=/ABC=60°
-ZEBA
•••△BED◎△BCA（SAS）：
DE=AC
又•••AC=AF•DE=AF
在厶CBA与厶CEF中，CB=CE,CA=CF
/ACB=/FCE=60°
+/ACE
•△CBA◎△CEF（SAS）：
BA=EF
又•••BA=DA,•DA=EF
故四边形AFED为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
23、解答：
图2结论：
图2
过点P作MN//BC分别交AB,AC于M,N两点，
由题意得PE+PF=AM.
•••四边形BDPM是平行四边形，•MB=PD.•PD+PE+PF=MB+AM=AB即PD+PE+PF=AB.
图3结论：
PE+PF-PD=AB.
24、解答：
（1）DE//BC,DE=BC,DE丄AC.
（2）如图4,如图5.
PA//BE,PA=BE,
•••平行四边形PADC,•AN=NC,PN=ND.
•/AM=BM,AN=NC,•MN//BC,MN=^BC.
又•••PN=ND,PM=ME,•MN//DE,MN=」DE.•DE//BC,DE=BC.
•••/ACB=90°
•BC丄AC.•DE丄AC.
（2）作图的时候要首先找到对角线的交点，只要过对角线的交点，任画一条直线即可.如图有：
AE=BE=DF=CF,AM=CN.
（3）这两条直线过平行四边形的对称中心（或对角线的交点）
26、解答：
（1）过点A作AM丄CD于M,
根据勾股定理，AD=10,AM=BC=8,•••DM=,--：
：
-=6,二CD=16;
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，
点P在AB上，点Q在DC上，如图，
由题知：
BP=10-3t,DQ=2t•10-3t=2t，解得t=2
此时，BP=DQ=4,CQ=12•、厂'
'
--I'
•四边形PBQD的周长=2（BP+BQ）=:
-匕:
;
（3）①当点P在线段AB上时，即时，如图
甩恥*LB吗⑴F）畑外鬧
BP=3t-10,CQ=16-2t「.
S△恥=^BF・CQ二+（鉄-10）乂（16-2t）=20
化简得：
3t34t+100=0,△-44V0,所以方程无实数解.
则有PQ=5t-34,S△两冷⑸-34）XS=20,t=7.8.
综合得，满足条件的t存在，其值分别为t]/,t2=7.8.
3
27、解答：
当BC//OA,BC=OA时，C和B的纵坐标相等,若选择AB为对角线，则Ci（3,1）;
若选择OB为对角线，则C2（-1,1）；
当AB//OC,AB=OC时,选择OA为对角线，则C3（1,-1）.
故第四个顶点坐标是：
C1（3,1）,C2（-1,1）,C3（1,-1）.
28、解答：
设AB=x，贝UBC=18-x,
由AB?
DE=BC?
DF
F得：
解之x=10,
所以平行四边形ABCD的面积为|:
爲■；
.
29、解答：
（1）由B、C的坐标可知，AD=BC=4，则可得点D的横坐标为1,点D的纵坐标与点A的纵坐标相等，为卜厶，可得点D的坐标为（1,^）.
（2）依题意得Ai、Bi、Ci、Di的坐标分别为A（-3+.'
0）,B（-2+二，2t）C（2+.二,
2血,D（1+H,0）.
（3）如图，
平行四边形ABCD与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积为平行四边形DEFG的面积，
由题意可得GD=AD-AG=4-'
平行四边形DEFG的高为2.：
■:
-:
=二
•••重叠部分的面积为（4-丁㊁）？
石=^2-2.
g
/F_
ry
//
ATo
D/
J1
*
30、解答：
在平行四边形ABCD中，AD//BC,「./DAF=/F,又AF平分/BAD，•/DAF=/BAF，•/BAF=/F,「.AB=BF,又AF平分/BAD,DE丄AF，•/AOD=/ADO,
又/BOE=/AOD=/EDC，/ADO=/E,
•••/EDC=/E,•CE=CD,又AB=CD,•BE=CF.
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