测量不确定度6.docx
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测量不确定度6
6
测量不确定度
1．测量不确定度和标准不确定度
（1）测量不确定度
a、测量不确定度:
表征合理地赋予被测量之值的分散性、与测量结果相联系的参数，称为测量不确定度。
例:
uc（ms）=（100.02147±0.00035）g
b、定义解释：
“合理”意指应考虑到各种因素对测量的影响所做的修正，特别是测量应处于统计控制的状态下，即处于随机控制过程中。
“相联系”意指测量不确定度是一个与测量结果“在一起”的参数，在测量结果的完整表示中应包括测量不确定度。
此参数可以是诸如标准[偏]差或其倍数，或说明了置信水准的区间的半宽度。
测量不确定度从词义上理解，意味着对测量结果可信性、有效性的怀疑程度或不肯定程度，是定量说明测量结果的质量的一个参数。
实际上由于测量不完善和人们的认识不足，所得的被测量值具有分散性，即每次测得的结果不是同一值，而是以一定的概率分散在某个区域内的许多个值。
虽然客观存在的系统误差是一个不变值，但由于我们不能完全认知或掌握，只能认为它是以某种概率分布存在于某个区域内，而这种概率分布本身也具有分散性。
测量不确定度就是说明被测量之值分散性的参数，它不说明测量结果是否接近真值。
c、表征方式：
为了表征这种分散性，测量不确定度用标准[偏]差表示。
在实际使用中，往往希望知道测量结果的置信区间，因此规定测量不确定度也可用标准[偏]差的倍数或说明了置信水准的区间的半宽度表示。
为了区分这两种不同的表示方法，分别称它们为标准不确定度和扩展不确定度。
d、测量不确定度可能来源
在实践中，测量不确定度可能来源于以下十个方面：
①对被测量的定义不完整或不完善；
②实现被测量的定义的方法不理想；
③取样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；
④对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；
⑤对模拟仪器的读数存在人为偏移；
⑥测量仪器的分辨力或鉴别力不够；
⑦赋予计量标准的值或标准物质的值不准；
⑧引用于数据计算的常量和其他参量不准；
⑨测量方法和测量程序的近似性和假定性；
⑩在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。
’
e、测量不确定度的评价与表征
由此可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性，前者归因于条件不充分，后者归因于事物本身概念不明确。
这就使测量不确定度一般由许多分量组成，其中一些分量可以用测量列结果（观测值）的统计分布来进行评价，并且以实验标准[偏]差表征；而另一些分量可以用其他方法（根据经验或其他信息的假定概率分布）来进行评价，并且也以标准[偏]差表征。
所有这些分量，应理解为都贡献给了分散性。
若需要表示某分量是由某原因导致时，可以用随机效应导致的不确定度和系统效应导致的不确定度，例如：
由修正值和计量标准带来的不确定度分量，可以称之为系统效应导致的不确定度。
f、不确定度计算方法：
不确定度当由方差得出时，取其正平方根。
当分散性的大小用说明了置信水准的区间的半宽度表示时。
g、相对不确定度：
当不确定度除以测量结果时，称之为相对不确定度，这是个无量纲量，通常以百分数或10的负数幂表示。
例:
ucr=0.00035/100.02147=3.5x10-6
在测量不确定度的发展过程中，人们从传统上理解它是“表征（或说明）被测量真值所处范围的一个估计值（或参数）”；也有一段时期理解为“由测量结果给出的被测量估计值的可能误差的度量”。
这些含义从概念上来说是测量不确定度发展和演变的过程，与现定义并不矛盾，但它们涉及到真值和误差这两个理想化的或理论上的概念，实际上是难以操作的未知量，而可以具体操作的则是测量结果的变化，即被测量之值的分散性。
（2）标准不确定度和标准[偏]差
a标准不确定度:
以标准[偏]差表示的测量不确定度，称为标准不确定度。
标准不确定度用符号u表示，它不是由测量标准引起的不确定度，而是指不确定度以标准[偏]差表示，来表征被测量之值的分散性。
这种分散性可以有不同的表示方式，例
如：
用
表示时，由于正残差与负残差可能相消，反映不出分散程度；用
表示时，则不便于进行解析运算。
只有用标准[偏]差表示的测量结果的不确定度，才称为标准不确定度。
b实验标准[偏]差：
当对同一被测量作n次测量，表征测量结果分散性的量s按下式算出时，称它为实验标准[偏]差：
式中：
xi；为第i次测量的结果；
x为所考虑的n次测量结果的算术平均值。
对同一被测量作有限的n次测量，其中任何一次的测量结果或观测值，都可视作无穷多次测量结果或总体的一个样本。
数理统计方法就是要通过这个样本所获得的信息（例如算术平均值x和实验标准[偏]差S等），来推断总体的性质（例如期望μ和方差σ2等）。
期望是通过无穷多次测量所得的观测值的算术平均值或加权平均值，又称为总体均值μ，显然它只是在理论上存在并可表示为
方差σ2则是无穷多次测量所得观测值xi与期望μ之差的平方的算术平均值，它也只是在理论上存在并可表示为
c总体标准[偏]差与样本标准[偏]差:
方差的正平方根σ，通常被称为标准[偏]差，又称为总体标准[偏]差或理论标准[偏]差；而通过有限次测量算得的实验标准[偏]差s，又称为样本标准[偏]差。
这个计算公式即为贝塞尔公式，算得的S是σ的估计值。
c、关于无偏估计
为μ的无偏估计，s2为σ2的无偏估计。
这里的“无偏估计”可理解为：
比μ大的概率，与
比μ小的概率是相等的或皆为50％；而且当n→∞时，（
-μ）→0。
值得注意的是：
s2为σ2的无偏估计，但s不是σ的无偏估计，而是偏小估计，即（s-σ）为负值的概率，大于（S-σ）为正值的概率。
d、单次观测值xi的实验标准[偏]差与算术平均值
的实验标准[偏]差
s是单次观测值xi的实验标准[偏]差，s/
才是n次测量所得算术平均值
的实验标准[偏]差，它是
分布的标准[偏]差的估计值。
为易于区别，前者用s（x）表示，后者用，（
）表示，故有s（
）=s（x）／
。
e、测量次数与平均值的实验标准[偏]差s（
）的关系
通常用s（x）表征测量仪器的重复性，而用s（
）评价以此仪器进行n次测量所得测量结果的分散性。
随着测量次数n的增加，测量结果的分散性s（
）即与s（
）/
成反比地减小，这是由于对多次观测值取平均后，正、负误差相互抵偿所致。
所以，当测量要求较高或希望测量结果的标准[偏]差较小时，应适当增加n；但当n>20时，随着n的增加，s（
）的减小速率减慢。
因此，在选取n的多少时应予综合考虑或权衡利弊，因为增加测量次数就会拉长测量时间、加大测量成本。
在通常情况下，取n≥3，以n=4～20为宜。
另外，应当强调s（
）是平均值的实验标准[偏]差，而不能称它为平均值的标准误差。
2．不确定度的A类、B类评定及合成
a、标准不确定度分量
由于测量结果的不确定度往往由许多原因引起，对每个不确定度来源评定的标准[偏]差，称为标准不确定度分量，用符号“ui”表示。
对这些标准不确定度分量有两类评定方法，即A类评定和B类评定。
（1）不确定度的A类评定
用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的A类评定，有时也称A类不确定度评定。
通过统计分析观测列的方法，对标准不确定度进行的评定，所得到的相应的标准不确定度称为A类不确定度分量，用符号“uA”表示。
这里的统计分析方法，是指根据随机取出的测量样本中所获得的信息，来推断关于总体性质的方法。
例如：
在重复性条件或复现性条件下的任何一个测量结果，可以看作是无限多次测量结果（总体）的一个样本，通过有限次数的测量结果（有限的随机样本）所获得的信息（诸如平均值
、实验标准差s），来推断总体的平均值（即总体均值μ或分布的期望值）以及总体标准[偏]差σ，就是所谓的统计分析方法之一。
A类标准不确定度用实验标准[偏]差表征。
（举例说明）
例如:
有一组混凝土检查试件数据为:
42.1,44.6,47.3,43.9,45.2,46.6（MPa）,如果不考虑系统误差等因素的影响，试计算混凝土的A类不确定度。
a、强度的平均值
=42.1+44.6+47.3+43.9+45.2+46.6/6=45.0（MPa）
b、标准差s（x）=1.9（MPa）
c、平均值的标准差s（
）=s（x）／
=0.8（MPa）
d、采用强度的平均值为计算结果uA=0.8（MPa）
e、相对不确定度为uAr=0.8/45.0=1.8%
f、强度（P）的不确定度为uA（p）=（45.0±0.8）MPa
（2）不确定度的B类评定
用不同于对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度，称为不确定度的B类评定，有时也称B类不确定度评定。
这是用不同于对测量样本统计分析的其他方法，进行的标准不确定度的评定，所得到的相应的标准不确定度称为B类标准不确定度分量，用符号“uB“表示。
它用根据经验或资料及假设的概率分布估计的标准[偏]差表征，也就是说其原始数据并非来自观测列的数据处理。
而是基于实验或其他信息来估计，含有主观鉴别的成分。
（举例说明）
用于不确定度B类评定的信息来源一般有：
①以前的观测数据；
②对有关技术资料和测量仪器特性的了解和经验；
③生产部门提供的技术说明文件；
④校准证书、检定证书或其他文件提供的数据、准确度的等别或级别，包括目前仍在使用的极限误差、最大允许误差等；
⑤手册或某些资料给出的参考数据及其不确定度；
⑥规定实验方法的国家标准或类似技术文件中给出的重复性限r或复现性限R。
不确定度的A类评定由观测列统计结果的统计分布来估计，其分布来自观测列的数据处理，具有客观性和统计学的严格性。
这两类标准不确定度仅是估算方法不同，不存在本质差异，它们都是基于统计规律的概率分布，都可用标准[偏]差来定量表达，合成时同等对待。
只不过A类是通过一组与观测得到的频率分布近似的概率密度函数求得，而B类是由基于事件发生的信任度（主观概率或称为先验概率）的假定概率密度函数求得。
例如：
上例混凝土检查试件的抗压强度考虑到压力试验机示值允差的影响，示值误差的最大允差为±1%作为不确定度的分量，则可按不确定度B类评定求得。
a、一般采用均匀分布，得到是指允差引起的标准不确定度u（x）=A/√3
b、压力试验机示值允差引起的相对不确定度uBr=0.01/√3=5.8x10-3
c、将相对不确定度换算成不确定度uB=45.0x5.8x10-3=0.3（MPa）
对某一项不确定度分量究竟用A类方法评定，还是用B类方法评定，应由测量人员根据具体情况选择。
特别应当指出：
A类、B类与随机、系统在性质上并无对应关系，为避免混淆，不应再使用随机不确定度和系统不确定度。
（3）合成标准不确定度
当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算得的标准不确定度，称为合成标准不确定度。
例如：
Y=ab2/c
在测量结果是由若干个其他量求得的情形下，测量结果的标准不确定度，等于这些其他量的方差和协方差适当和的正平方根，它被称为合成标准不确定度。
合成标准不确定度是测量结果标准[偏]差的估计值，用符号“uc”表示。
①相关性与协方差
方差是标准[偏]差的平方，协方差是相关性导致的方差。
当两个被测量的估计值具有相同的不确定度来源，特别是受到相同的系统效应的影响（例如：
使用了同一台标准器）时，它们之间即存在着相关性。
如果两个都偏大或都偏小，称为正相关；如果一个偏大而另一个偏小，则称为负相关。
由这种相关性所导致的方差，即为协方差。
显然，计人协方差会扩大合成标准不确定度，协方差的计算既有属于A类评定的、也有属于B类评定的。
人们往往通过改变测量程序来避免发生相关性，或者使协方差减小到可以略计的程度，例如：
通过改变所使用的同一台标准等。
如果两个随机变量是独立的，则它们的协方差和相关系数等于零，但反之不一定成立。
a、当全部输入量Xi是彼此独立或不相关时，合成不确定度uc（y）由下式得出：
b、计算上例的合成不确定度
uc=√uA2+uB2=√0.82+0.32=0.9（MPa）
c、混凝土抗压强度的合成不确定度为uc（P）=（45.0±0.9）MPa
②灵敏系数
上式中
是函数y=f（x1,x2,…，xN）在Xi=xi时的偏导数，这些偏导数称为灵敏系数，符号为ci，即为ci=
。
它表示了输出估计值y随输入估计值x1，x2，…，xn的变化而变化的程度。
特别是当输入估计值xi有微小的变化△xi时，输出估计值y的相应变化（△y）i=（
）△xi。
如果这个变化来自输入估计值xi的标准不确定度，那么输出估计值y的相应变化就是（
）u（xi）。
因此，合成方差
可视为伴随各项输入分量xi的估计方差而引起输出估计值y的估计方差。
式中
，
如果函数关系不十分明确，或者需要进行验证，此时灵敏系数ci也可由实验测定，即通过变化第i个xi，而保持其余输入量不变，并测定Y随xi的改变量，从而计算出ci。
例如：
已知园棒形材料直径d的不确定度为ud，确定对横切面积a的不确定度ua的灵敏系数ci
a、面积a与直径d的数学模型为a=лd2/4
b、灵敏系数ci为a=лd2/4的偏导数ci=лd/2
c、根据不确定度传播律则有ua=лd/2.ud
d、上式两边同除以面积ua/a=лd/2xud/лd2/4=2（ud/d）
e、直径的相对不确定度对面积的相对不确定度的敏系数ci
uar=2udrci=2
合成标准不确定度仍然是标准[偏]差，它表征了测量结果的分散性。
所用的合成的方法，常被称为不确定度传播律，而传播系数又被称为灵敏系数，用Ci表示。
合成标准不确定度的自由度称为有效自由度，用veff表示，它表明所评定的的可靠程度。
通常在报告以下测量结果时，可直接使用合成标准不确定度uc（y），同时给出自由度Veff：
Veff=uc（y）4/（u1（y）4/v1+…ui（y）4/vi+…un（y）4/vn）
①基础计量学研究；
②基本物理常量测量；
③复现国际单位制单位的国际比对。
3．扩展不确定度和包含因子
（1）扩展不确定度
扩展不确定度是确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。
它有时也被称为展伸不确定度或范围不确定度。
实际上扩展不确定度是由合成标准不确定度的倍数表示的测量不确定度，通常用符号U表示。
它是将合成标准不确定度扩展了k倍得到的，即U=kuc，这里k值一般为2，有时为3，取决于被测量的重要性、效益和风险。
例如：
上例中uc=0.9MPa如选择k=2则U=1.8MPa
扩展不确定度是测量结果的取值区间的半宽度，可期望该区间包含了被测量之值分布的大部分。
而测量结果的取值区间在被测量值概率分布中所包含的百分数，被称为该区间的置信概率、置信水准或置信水平，用符号P表示。
这时扩展不确定度用符号up表示，它给出的区间能包含被测量可能值的大部分（比如95％或99％等）。
例如：
上例中uc=0.9MPa用置信水平表示UP=1.8MPaP=95%
按测量不确定度的定义，合理赋予的被测量之值的分散区间理应包含全部的测得值，即100％地包含于区间内，此区间的半宽通常用符号口表示。
若要求其中包含95％的被测量之值，则此区间称为概率为P=95％的置信区间，其半宽就是扩展不确定度U95；类似地，若要求99％的概率，则半宽为U99。
这个与置信概率区间或统计包含区间有关的概率，即为上述的置信概率。
显然，在上面例举的三个半宽之间存在着U95归纳上述内容，可将测量不确定度的分类简示为：
值得指出的是：
在20世纪80年代曾用术语总不确定度，由于在报告最终测量结果时既可用扩展不确定度也可用合成标准不确定度，为避免混淆，目前在定量表示时一般不再使用总不确定度这个术语。
（2）包含因子和自由度
为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子，称为包含因子，有时也称为覆盖因子。
包含因子的取值决定了扩展不确定度的置信水平。
鉴于扩展不确定度有U与UP两种表示方式，包含因子也有k与kp两种表示方式，它们在称呼上并无区别，但在使用时k一般为2或3，而kp则为给定置信概率P所要求的数字因子。
在被测量估计值接近于正态分布的情况下，kp就是t分布（学生分布）中的t值。
评定扩展不确定度UP时，已知P与自由度v，即可查表得到kp，进而求得UP。
参见JJFl059—1999《测量不确定度评定与表示》的附录A：
“t分布在不同置信概率P与自由度v的tp（v）值”。
自由度一词，在不同领域有不同的含义。
这里对被测量若只观测一次，有一个观测值，则不存在选择的余地，即自由度为0。
若有两个观测值，显然就多了一个选择。
换言之，本来观测一次即可获得被测量值，但人们为了提高测量的质量（品质）或可信度而观测n次，其中多测的（n-1）次实际上是由测量人员根据需要自由选定的，故称之为“自由度”。
在A类标准不确定度评定中，自由度用于表明所得到的标准[偏]差的可靠程度。
它被定义为“在方差计算中，和的项数减去对和的限制数”。
按贝塞尔公式计算时，取和符号∑后的项数等于n，而n个观测值与其平均值之差（残差）的和显然为零，即∑（Xi—
）=0。
这就是一个限制条件，即限制数为1，故自由度v=n-1。
通常，自由度等于测量次数n减去被测量的个数m，即v=n-m。
实际上，自由度往往用于求包含因子kp，如果只评定U而不是Up，则不必计算自由度及有效自由度。
4．测量不确定度的评定和报告
（1）测量不确定度的评定流程
图6—2简示了测量不确定度评定的全部流程。
在标准不确定度分量评定环节中，JJFl059—1999建议列表说明，即列出标准不确定度一览表，以便一目了然。
图6—3简示了扩展不确定度评定的流程。
（2）测量不确定度的报告
由图6—3可见，扩展不确定度主要有两种报告形式。
①扩展不确定度用U表示，即
U=kuc（y）
式中：
k为包含因子。
k值一般取2～3，在大多数情况下，取k=2，当取其他值时，应说明其来源。
用U表示时，可以期望在Y-U至Y+U的区间内，包含了测量结果可能值的大部分。
②扩展不确定度用UP表示，即
UP=KP·UC（Y）=TP（Veff）·Uc（y）
式中：
kp为包含因子，它与Y的分布有关。
当可以按中心极限定理估计接近正态分布时，k。
采用t分布I临界值（或简称t值，可由JJFl059—1999《测量不确定度评定与表示》的附录A表格中查得）。
kp=tp（Veff），一般采用的P为99％和95％。
在大多数情况下，采用P=95％。
对某些测量标准的检定或校准，根据有关规定，可采用P=99％。
当Veff充分大时，可以近似认为k95=2，k99=3，从而分别得出U95=2u。
（Y）、U99。
3u。
（Y）。
当以U报告最终测量结果时，可采用以下两种形式之一，但均须指明k值。
例如：
uc（y）=0．35mg，取包含因子k=2，U=2×0．35mg=0．70rmg，则
（a）m=100．02147g，U=0．70mg；k=2
（b）m=（100．02147±0．00070）g；k=2
当以Up报告最终测量结果时，可采用以下四种形式之一，但均须指明有效自由度veff。
例如：
uc（y）=0．35mg，Veff=9，按P=95％，查JJFl059—1999《测量不确定度评定与表示》的附录A表得志U=t95（9）=2．26；U95=2．26×0．35mg=0．79mg，则
（a）m=100．02147g；U95=0．79mg，Veff=9。
（b）m=100．02147（79）g；Veff=9，括号内为U95之值，其末位与前面结果内末位数对齐。
（C）m=100．02147（0．00079）g；Veff=9，括号内为U95之值，与前面结果有相同计量单位。
（d）m=（100．02147±0．00079）g；Veff=9，括号内第二项为U95之值。
为明确起见，建议用以下方式说明：
“式中，正负号后的值为扩展不确定度U95=k95Uc（y），而合成标准不确定度uc（y）=0．35mg，自由度veft=9，包含因子kp=t95（9）=2．26，从而具有约95％概率的置信区问”。
报告最终测量结果时，应注意有效位数：
通常Uc（y）和U（或（up）最多取2位有效数字，且y与uc（y）或U（或Up）的修约间隔应相同。
不确定度也可以相对形式urel（y）或Urel报告。
5．测量误差与测量不确定度
归纳上述内容，可将测量误差与测量不确定度之间存在的主要区别列于表6—1。
测量误差与测量不确定度的主要区别表6—1
序号
内容
测量误差
测量不确定度
1
定义的要点
表明测量结果偏离真值，是一个
差值
表明赋予被测量之值的分散性，是一个区间
2
分量的分类
按出现于测量结果中的规律，分为随机和系统，都是无限多次测量时的理想化概念
按是否用统计方法求得，分为A类和B类，都是标准不确定度
3
可操作性
由于真值未知，只能通过约定真值求得其估计值
按实验、资料、经验评定，实验方差是总体方差的无偏估计
4
表示的符号
非正即负，不要用正负（±）号表示
为正值，当由方差求得时取其正平方根
5
合成的方法
为各误差分量的代数和
当各分量彼此独立时为方和根，必要时加入协方差
6
结果的修正
已知系统误差的估计值时，可以对测量结果进行修正，得到已修正的测量结果
不能用不确定度对结果进行修正，在已修正结果的不确定度中应考虑修正不完善引入的分量
7
结果的说明
属于给定的测量结果，只有相同的结果才有相同的误差
合理赋予被测量的任一个值，均具有相同
的分散性
8
实验标准[偏]差
来源于给定的测量结果，不表示被测量估计值的随机误差
来源于合理赋予的被测量之值，表示同一观测列中任一个估计值的标准不确定度
9
自由度
不存在
可作为不确定度评定是否可靠的指标
10
置信概率
不存在
当了解分布时，可按置信概率给出置信区间
6、测量不确定度评定实例—力学测量
1、测量过程数学模型的建立
在常用的材料拉伸试验中，一般采用圆形截面试棒，利用拉力试验机或万能试验机，以受控的速率施加拉向力并测量拉断试棒所需的最大作用力（负荷）。
抗拉强度σ等于试验过程中的最大作用力F与试棒原有截面积A之比
（2.68）
式中σ——抗拉强度，N/mm2；
A——截面积，mm2；
F——拉力，N；
T——试验温度；
——应变率。
即在试验过中，温度及应变（或负荷）速率必须保持在一定限度内。
式（2.68）就是在特定的温度及应变（或负荷）率下，抗拉强度测量过程的数学模型。
抗拉强度测量不确定度的构成要素或分量包括：
截面积测量不确定度分量uA，拉力测量不确定度分量uF，温度效应修正的不确定度分量uT，应变率效应修正的不确定度分量uε。
2截面积标准不确定度
设圆棒试样的标称（名义）直径d=10.00mm。
所用的直径计量仪器已经计量部门校准，校准证书上提供的不确定度为0.003mm，置信水平为95%,则其包含因子Kp=1.96，故直径计量仪器的标准不确定度为
=0.003mm/1.96=0.0015mm
直径测量仪器又是借助标准量块这高一等级的计量标准进行校准的，该校准源的不确定度为0.0001mm，故与被校准不确定度相比可忽略不计。
测量试样直径时引入的不确定度，可由
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