上海沪教版教材高中数学知识点总结.docx
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上海沪教版教材高中数学知识点总结
一、集合与常用逻辑
1.集合概念元素:
互异性、无序性
2.集合运算全集U:
如U=R
交集:
AB{xxA且xB}
逆命题:
若q则p
逆否命题:
若q则p否命题逆命题
一、集合与常用逻辑
二、不等式
三、函数概念与性质
四、基本初等函数
五、函数图像与方程
六、三角函数
七、数列
八、平面向量
九、复数与推理证明十、直线与圆十一、曲线方程十二、矩阵、行列式、算法初步十三、立体几何十四、计数原理十五、概率与统计
补集:
CUA{xxU且xA}
3.集合关系空集A
子集AB:
任意xAxB
注:
数形结合---文氏图、数轴
4.四种命题
原命题:
若p则q
否命题:
若p则q
原命题逆否命题
5.充分必要条件
p是q的充分条件:
Pqp是q的必要条件:
Pqp是q的充要条件:
p?
q6.复合命题的真值
1q真(假)?
“q”假(真)
2p、q同真?
“p∧q”真
3p、q都假?
“p∨q”假
7.全称命题、存在性命题的否定
M,p(x)否定为:
M,p(X)
M,p(x)否定为:
M,p(X)
并集:
AB{x
xA或xB}
二、不等式
1.一元二次不等式解法
若a0,ax2bxc0有两实根,(),则ax2bxc0解集(,)ax2bxc0解集(,)(,)注:
若a0,转化为a0情况
2.其它不等式解法—转化
xaaxax2a2
xaxa或xax2a2
f(x)
0f(x)g(x)0
g(x)
af(x)ag(x)f(x)g(x)(a1)
f(x)0
logaf(x)logag(x)(0a1)
aaf(x)g(x)
3.基本不等式
1a2b22ab
2若a,bR,则abab
2
注:
用均值不等式ab2ab、ab(ab)2
2
求最值条件是“一正二定三相等”
三、函数概念与性质
1.奇偶性
f(x)偶函数f(x)f(x)f(x)图象关于y轴对称
f(x)奇函数f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称
注:
①f(x)有奇偶性定义域关于原点对称
②f(x)奇函数,在x=0有定义f(0)=0
3“奇+奇=奇”(公共定义域内)
2.单调性
f(x)增函数:
x1或x1>x2f(x1)>f(x2)
或f(x1)f(x2)0
x1x2
f(x)减函数:
?
注:
①判断单调性必须考虑定义域
②f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增”
③奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反
3.周期性
T是f(x)周期f(xT)f(x)恒成立(常数T0)
4.二次函数
解析式:
f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-x1)(x-x2)
对称轴:
b
x
2a
顶点:
b4acb2(2a,)
4a
单调性:
a>0,(
2ba]递减,[2ba,)递增
4acb2
b
当x,f(x)min
2a4a
f(x)=ax2+bx+c是偶函数b=0
闭区间上最值:
logablognbn1
aalogba
注:
性质loga10logaa1alogaNN
常用对数lgNlog10N,lg2lg51
自然对数lnNlogeN,lne13.指数与对数函数y=ax与y=logax
logaN
奇偶性:
配方法、图象法、讨论法--注意对称轴与区间的位置关系
注:
一次函数
f(x)=ax+b奇函数b=0
四、基本初等函数
1.指数式
2.对数式
nn1mmn
1(a0)anamaa
logaNbabN(a>0,a≠1)
logaMNlogaMlogaN
M
logalogaMlogaN
N
logaMnnlogaMlogmblgblogab
logmalga
a0
定义域、值域、过定点、单调性?
注:
y=ax与y=logax图象关于y=x对称(互为反函数)
1
4.幂函数yx2,yx3,yx2,yx1
yx在第一象限图象如下:
五、函数图像与方程
1.描点法
函数化简→定义域→讨论性质(奇偶、单调)取特殊点如零点、最值点等
2.图象变换
平移:
“左加右减,上正下负”
yf(x)yf(xh)
伸缩:
yf(x)每一点的横坐标变为原来的倍yf(1x)
对称:
“对称谁,谁不变,对称原点都要变”
yf(x)x轴yf(x)
yf(x)y轴yf(x)
yf(x)原点yf(x)
直线xa
注:
yf(x)yf(2ax)
翻折:
yf(x)y|f(x)|保留x轴上方部分,并将下方部分沿x轴翻折到上方
y
y=f(x)
y
y=|f(x)|
ao
bcx
ao
b
cx
yf(x)yf(|x|)保留y轴右边部分,并将右边部分沿y轴翻折到左边
y
y=f(x)
y
y=f(|x|)
ao
bcx
ao
bc
3.零点定理
若f(a)f(b)0,则yf(x)在(a,b)内有零点
(条件:
f(x)在[a,b]上图象连续不间断)
注:
①f(x)零点:
f(x)0的实根
②在[a,b]上连续的单调函数f(x),
f(a)f(b)
0
则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点
③二分法判断函数零点---f(a)f(b)0?
六、三角函数
1.概念第二象限角(2k,2k)(kZ)
2.
弧长
l
r
扇形面积S
1lr
2
3.
定义
sin
y
xcos
tany
r
r
x
其中P(x,y)是终边上一点,POr
4.
符号
“一正全、二
正弦、三正切、
四余弦”
5.
诱导公式:
“
奇变偶不变,符号看象限”
如Sin
(2)sin,cos(/2)sin
6.特殊角的三角函数值
0
6
4
3
2
3
2
sin
0
1
2
2
2
3
2
1
0
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
0
tg
0
3
3
1
3
/
0
/
22a
asinbcosa2b2sin()(tan)
b
7.基本公式
sin
tancos和差sinsincoscossin
同角sin2cos21
coscoscossinsin
tantan
tan
1tantan
倍角
sin22sincos
2222
cos2cossin2cos112sin
tan2
2tan
2
1tan2
降幂
21cos2
cosα=
2
sin
21cos2α=
sinx
cosx
tanx
值域
[-1,1]
[-1,1]
无
奇偶
奇函数
偶函数
奇函数
周期
2π
2π
π
对称轴
xk/2
xk
无
中心
k,0
/2k,0
k/2,0
叠加
sincos2sin()
注:
kZ
3sincos2sin()
基本关系
sin(A+B)=sinC
cos(A+B)=-cosC
定义:
an1q(q0)an
ABC
tan(A+B)=-tanCsincos
22
1
an
面积公式:
S△=absinC
2
注:
ABC中,A+B+C=?
ABsinAsinB
a2>b2+c2?
∠A>
2
4、数列求和常用方法
公式法、裂项法、
错位相减法、倒序相加法
七、数列
1、等差数列
定义:
an1and
通项:
ana1(n1)d
求和:
Snn(a1an)na11n(n1)d
22
ac
中项:
b(a,b,c成等差)
2
性质:
若mnpq,则amanapaq
八、平面向量
1.向量加减三角形法则,平行四边形法则
ABBCAC首尾相接,OBOC=CB共始点中点公式:
ABAC2ADD是BC中点
abcos
2.向量数量积ab==x1x2y1y2
注:
①a,b夹角:
00≤θ≤1800
②a,b同向:
abab
3.基本定理a1e12e2(e1,e2不共线--基底)
模:
za2b2zzz
复平面:
复数z对应的点(a,b)
2.复数运算
除法:
平行:
a//babx1y2x2y1(b0)
垂直:
abab0x1x2y1y20
夹角:
cosab
|a||b|
注:
①0∥a②abcabc(结合律)不成立
③abacbc(消去律)不成立加减:
(a+bi)±(c+di)=?
乘法:
(a+bi)(c+di)=?
abi=(abi)(cdi)
cdi(cdi)(cdi)
乘方:
i21,ini4krir
3.合情推理
类比:
特殊推出特殊
归纳:
特殊推出一般
演绎:
一般导出特殊(大前题→小前题→结论)4.直接与间接证明
综合法:
由因导果
比较法:
作差—变形—判断—结论
反证法:
反设—推理—矛盾—结论分析法:
执果索因
由
(1)
(2)知这命题对所有正整数n都成立注:
用数学归纳法证题时,两步缺一不可,归纳假设必须使用
九、复数与推理证明
1.复数概念
复数:
zabi(a,bR),实部a、虚部b
分类:
实数(b0),虚数(b0),复数集C
注:
z是纯虚数a0,b0
相等:
实、虚部分别相等
共轭:
zabi
分析法书写格式:
要证A为真,只要证B为真,即证⋯⋯,这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真注:
常用分析法探索证明途径,综合法写证明过程5.数学归纳法:
(1)验证当n=1时命题成立,
(2)假设当n=k(kN*,k1)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立
十、直线与圆
1、倾斜角范围0,
斜率kt