定积分的概念和性质Concept文档格式.docx
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仪0必1,I.x1,x21JH,l-xn4,xn],
各个小区间的长度依次为二咅=%-乂0，二屜=灭2-為，…，^Xn^Xn-xn/。
在每个小区
间IXx］上任取一点£
作函数f（匕）与小区间长度也x的乘积f（©
件
（i=1,2,|i|,n）,并作出和
记P=max{&
「&
2,川，也xn}，如果不论对［a,b］怎样分法，也不论在小区间tx^xj
上点©
怎样取法，只要当Pt0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数fx在区间l.a,b1上的定积分（简称积分），记作:
fxdx，即
afxdx=l=IPm^fi
其中fx叫做被积函数，fxdx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，
b叫做积分上限，|a,b］叫做积分区间。
Letfxbeafunctionthatisdefinedontheclosedintervalla,b].Considerapartition
poftheintervalb,b」intonsubinterval（notnecessarilyofequallength）bymeansof
points=x0:
xn」xn=b
fxcorrespondingtothepartition
Iff（勺岁xexists,
Integral）offxfromatob,isgivenby
fxdx=ipmo]
nn
d>
0suchthat瓦f（£
yiXj-LforallRiemannsums瓦f（©
yiXjforf（x）
i=1i=1
on［a,b］forwhichthenormPoftheassociatedpartitionislessthand.
b
Inthesymbolifxdx,aiscalledthelowerlimitofintegral,btheupperlimitofintegral,andla,bJtheintegralinterval.
定理1可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设fx在区间la,bI上连续，则fx在la,b］上可积。
Theorem1IfafunctionfxiscontinuousontheclosedintervalIa,b1,itisintegrableonIa,bI.
定理2可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设fx在区间la,b］上有界，且只有有限个间断点，则fx在区间la,b］上可积。
itiscontinuousthereexcept
Theorem2Iffxisboundedonla,b丨andifatafinitenumberofpoints,thenfxisintegrableon〔a,b.L
3.定积分的性质（PropertiesofDefiniteIntegrals）两个特殊的定积分
a
（1）如果fx在x=a点有意义，则.fxdx=0；
（2）如果fx在l.a,b1上可积，则fxdx二-fxdx。
■b'
a
TwoSpecialDefiniteIntegrals
（1）Iffxisdefinedatx=a.Then.fxdx=0.
（2）Iffxisintegrableon!
a,bLThenfxdx=fxdx.
b'
定积分的线性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）
设函数fx和gx在la,b1上都可积，k是常数，则kfx和fx+gx都可积,
并且
bb
（1）kfxdx=kfxdx;
aa
bbb
||fx亠gxdx=fxdx+gxdx;
andconsequently,
gxareintegrableon[a,blandkisaconstant.Then
（1）
akfxdx=kafxdx;
||fx^gxdx=fxdx+gxdx；
andconsequently,
afX-gXdx=afXdx-agxdx.
性质3定积分对于积分区间的可加性（IntervalAdditivePropertyofDefinite
Integrals）
设fx在区间上可积，且a,b和c都是区间内的点，则不论a,b和c的相对位置
cbc
如何，都有.fxdx=.fxdx+.fxdx。
a'
a'
bv
Property3Iffxisintegrableonthethreeclosedintervalsdeterminedbya，
b，andc,then
afXdx=afXdx+bfxdx
nomatterwhattheorderofa，b，禾廿c.
性质4如果在区间！
a,b1上fx•三1，贝U1dx=dx=b-a。
“％=a
Property4Iffx_1foreveryxin〔a,bl,then
1dx=dx=b-a.
性质5如果在区间l.a,b1上fx_0,则fxdx丄0ab。
Property5IffXisintegrableandnonnegativeontheclosedinterval
la,bl,then
fxdx-0a<
b.
推论1。
2定积分的可比性（ComparisonPropertyforDefiniteIntegrals）
如果在区间l.a,b1上,fx岂gx，贝U
afxdxEagxdx，
Lf（x）dx兰[|f（x0x。
用通俗明了的话说，就是定积分保持不等号。
Corollary1,2Iffxand
gX）isintegrableontheclosedintervalfa,b】,and
fx_gxforallxinl.a,bl.Then
and
[f（x）dx兰jjf（xjdx。
IninformalbutdescriptiveIanguage,wesaythatthedefiniteintegralpreserves
inequalities.
性质6积分的有界性（BoundednessPropertyforDefiniteIntegrals）
如果fx在la,b］上连续，且对任意的
l.a,b1，都有m乞fx<
M，则
mb-a]Ifxdx辽M
Property
6Iffxiscontinuousonl.a,b1
andm_fx-Mforallxin
l.a,bl.Then
mb-ajIfxdx乞Mb-a。
性质7
积分中值定理（MeanValueTheoremforDefiniteIntegrals）
如果函数fx在闭区间la,b1上连续，则在积分区间〔a,b1上至少存在一点•，使下式
成立
afxdx=fb-a，
1bf=Lafxdxb_aa
称为函数fx在区间la,b1上的平均值。
Property7Iffxiscontinuouson〔a,b〕,thereisatleastonenumberbetween
aandbsuchthat
Lf（x）dx=f仁）（b-a）,
afXdX
iscalledtheaveragevalueoffxon[a,b].
5.2微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）
一.积分上限的函数及其导数（AccumulationFunctionandItsDerivative）
定理1微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）
X
如果函数fX在区间la,b吐连续，则积分上限函数Xftdt在la,b]上可导，并
'
av
且它的导数是
dff（tdt
x=—=fxa乞x乞b.
Theorem1Letfxbecontinuousontheclosedinterval〔a,blandletxbea（variable）
pointina,b.ThenX=!
ftdtisdifferentiableon
•av
x
dJf（tdt
la,bl,and—a=fxaExEb.
dx
定理2原函数存在定理（TheExisteneeTheoremofAntiderivative）
如果函数fx在区间l.a,b1上连续，则函数'
x=Xftdt就是fx在l.a,b1上的一个原函数•
11■avv
Theorem2Iffxiscontinuousontheclosedinterval〔a,b「thenXis
11■a
anantiderivativeoffxonla,bI.
二.牛顿-莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula）
定理3微积分第一基本定理（firstFundamentalTheoremofCalculus）
如果函数Fx是连续函数fx在区间la,b1上的一个原函数，
则
fxdx=Fb-Fa
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式•
Theorem3LetfXbecontinuous（heneeintegrable）on〔a,bl,andletFXbeanyantiderivativeoffXonLa,b）.Then
afxdx=Fb-Fa
whichiscalledtheNewton-LeibnizFormula
5.3定积分的换元法和分部积分法（integrationbySubstitutionandDefiniteIntgralsby
Parts）
1.定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）
2.定理定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）
假设函数fx在区间la,b］上连续，函数x二t满足条件
⑴讣］：
a,"
b;
⑵t在L：
J：
］（或「：
，：
I）上具有连续导数，且其值域R厂la,bl,则有
b■:
afXdX=ft'
tdt,
上面的公式叫做定积分的换元公式
TheoremLetthaveacontinuousderivativeon上，-l（or〔-厂I）,andletfx
becontinuousonla,bI.If:
=a,：
=bandtherangeofxisasubsetof
l.a,bl.Then
afxdx=：
ft'
tdtwhichiscalledthesubstitutionrulefordefiniteintegrals.
二.定积分的分部积分法（DefiniteIntegrationbyParts）
根据不定积分的分部积分法，有
二uxvxu'
xvxdx
_b
-||uxvxa
-fv（x）u'
（xJdx
简写为
b・bb
uv'
dx=〔uv，vu'
aaa
udv=IuvI-vdu.
aa-
Accordingtotheindefiniteintegrationbyparts,
fu（xy（x加[jux）vYx）dx]
=[u（x）v（x）-Ju'
（x）v（x）dx]
=ux）v（x）]
-avxu'
xdx
Forsimplicity,
or
dx=Iuv1
-[vu'
udv=Iuv]-
vdu.
5.4反常积分（ImproperIntegrals）
.无穷限的反常积分（ImproperIntegralswithInfiniteLimitsofintegration）
t
fx在区间]a,-"
:
•上连续，取ta,如果极限」im_fxdx存在且
定义1设函数
为有限值，则此极限为函数
fx在无穷区间a,v上的反常积分，记作'
fxdx,即
t
afxdx=tlimafXdx.
这时也称反常积分fxdx收敛；
如果上述极限不存在，函数fx在无穷区间a,上的
La-
反常积分就没有意义，习惯上称为反常积分"
fxdx发散.
La
.t
Letfxbecontinuouson||a,：
andta.Ifthelimitpm一.fxdx
existsand
havefinitevalue,thevalueistheimproperintegraloffxon2,亠i,which
isdenoted
-be
byfxdx,thatis,
fxdx=limfxdx,
at「：
.a
WesaythatthecorrespondingimproperintegralconvergesOtherwise,theintegral
diverge.
issiadto
——b_一
设函数f（xj在区间（-°
o,b]上连续，取tcb，如果极限lim[f（xpx存在且为有限值,
则此极限为函数fx在无穷区间-：
，b1上的反常积分，记作bfxdx，即
fxdx=tlimtfxdx，
这时也称反常积分
fxdx收敛；
如果上述极限不存在，就称反常积分
—OQ
fxdx发散。
——b
Letfxbecontinuousonandt:
b.Ifthelimitlimtfxdx
existsandhave
finitevalue,thevalueistheimproperintegraloffxon一匚亠b|,which
isdenotedby
fxdx,thatis,
—oO
Wesaysaidto
thatthe
」xdx=tlimtfxdx，
correspondingimproperintegralconverges.Otherwise,
theintegralis
定义
设函数fx在区间上连续，如果反常积分
0:
_:
.fxdx和0fxdx都
收敛，则
称上述反常积分之和为函数fx在无穷区间
上的反常积分，记作
「xdx，即
0:
;
fXdx=Jxdx+0fxdx
0t
=limfxdx+lim
t.tt,0
fxdx
这时也称反常积分…fxdx收敛；
否则就称反常积分
Letfxbecontinuouson:
[―匚匕：
」fboth
fxdxandfxdxconverge,
■0
■bo
thenIfxdxissaidtoconvergeandhave
value
_;
-fxdx=Jxdx+0fxdx
专mtfxdx+tlim.0fxdx.
、无界函数的反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrands）
定义无界函数反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrand）
bt
f（x）dx=limf（x）dx
atb-a
如果等式右边的极限存在且为有限值，此时称反常积分收敛，否则称反常积分发散.
DeintionLetf（x）becontinuousonthehalf-openintervalla,bandsuppose
thatlim|f（x）.Then
tf
f（x）dxlimf（x）dx
at'
Providedthatthislimitexistsandisfinite,inwhichcasewesaythattheintegralconverge.Otherwise,wesaythattheintegraldiverges.
无界函数的反常积分（ImproperIntegralsofInfiniteIntegrands）
设函数f（x）在半开半闭区间a,b1上连续，且严.“（X）|=：
f（x）dx=limf（x）dx,
at■a
DeintionLetf（x）becontinuousonthehalf-openintervala,blandsupposethat
lim」（x）=°
°
.Then
tT
af（x）dx=limf（x）dx
aJaa
Providedthatthislimitexistsandisfinite,inwhichcasewesaythattheintegral
converge.Otherwise,wesaythattheintegraldiverges.
积分函数在内点极限为g的反常积分（IntegrandsThatareInfiniteatanInteriorPoint）
设函数在f（x）在la,b】上除点c（avc<
b）外连续，且limf（x）|=°
，则定义
X—Jc
bcb
af（x）dx=af（x）dxcf（x）dx
tb
=limf（x）dxlimf（x）dx
t「c―归Jc：
-t
如果等式右边的两个反常积分都收敛，否则称反常积分
f（x）dx发散.
Letf（x）becontinuousonla,b.1exceptatanunberc,wherea：
c.b,and
二：
.Thenwedefine
supposethatlimf（x）
XT
f（x）dx=if（x）dx亠if（x）dx
a^a力
t_C_at_c
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