1718版 必修5 第3章 32 第1课时 一元二次不等式及其解法Word文档格式.docx
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.因为a>
0，所以不等式ax2＋1>
0恒成立，即原不等式的解集为R.
（3）×
.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有
，故该说法错误．
【答案】
（1）×
（2）×
（3）×
教材整理2 一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系
阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．
三个“二次”的关系：
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
解不等式f（x）＞0或f（x）＜0的步骤
求方程f（x）＝0的解
有两个不等的实数解x1，x2
有两个相等的实数解x1＝x2
没有实数解
画函数y＝f（x）的示意图
得等的集不式解
f（x）＞0
{x|x＜x1_或x＞x2}
R
f（x）＜0
{x|x1＜x＜x2}
∅
1．不等式x2≤1的解集为________．
【解析】 令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．
【答案】 {x|－1≤x≤1}
2．不等式2x≤x2＋1的解集为________．
【解析】 2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔（x－1）2≥0，
∴x∈R.
【答案】 R
3．设集合M＝{x|x2－x<
0}，N＝{x|x2<
4}，则M与N的关系为________．
【解析】 因为M＝{x|x2－x<
0}＝{x|0<
x<
1}，
N＝{x|x2<
4}＝{x|－2<
2}，
所以MN.
【答案】 MN
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）的部分对应值如下表：
x
－3
－2
－1
1
2
3
4
y
6
－4
－6
则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．
【解析】 可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象（略）求解．
【答案】 {x|x＜－2或x＞3}
[小组合作型]
解一元二次不等式
求下列一元二次不等式的解集．
（1）x2－5x>
6；
（2）4x2－4x＋1≤0；
（3）－x2＋7x>
6.
【精彩点拨】
【自主解答】
（1）由x2－5x>
6，得
x2－5x－6>
0.
∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，
∴原不等式的解集为
{x|x<
－1或x>
6}．
（2）4x2－4x＋1≤0，即（2x－1）2≤0，
方程（2x－1）2＝0的根为x＝
，
∴4x2－4x＋1≤0的解集为
.
（3）由－x2＋7x>
6，得x2－7x＋6<
0，
而x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，
∴不等式x2－7x＋6<
0的解集为
{x|1<
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
（2）判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
（3）求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
（4）画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图．
（5）写解集．根据图象写出不等式的解集．
[再练一题]
1．解下列不等式：
（1）2x2－x＋6>
0；
（2）（5－x）（x＋1）≥0.
【解】
（1）∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×
2×
6<
∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，
与x轴无交点，
∴原不等式的解集为R.
（2）原不等式可化为（x－5）（x＋1）≤0，
∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
解含参数的一元二次不等式
解关于x的不等式x2－ax－2a2<
0（a∈R）．
【自主解答】 原不等式转化为（x－2a）（x＋a）<
对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.
（1）当a>
0时，x1>
x2，
不等式的解集为{x|－a<
2a}；
（2）当a＝0时，原不等式化为x2<
0，无解；
（3）当a<
0时，x1<
不等式的解集为
{x|2a<
－a}．
综上所述，原不等式的解集为：
a>
0时，{x|－a<
a＝0时，x∈∅；
a<
0时，{x|2a<
解含参数的一元二次不等式的一般步骤
注：
对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．
2．解关于x的不等式：
ax2－2≥2x－ax（a<
0）.
【解】 原不等式移项得ax2＋（a－2）x－2≥0，
化简为（x＋1）（ax－2）≥0.
∵a<
0，∴（x＋1）
≤0.
当－2<
0时，
≤x≤－1；
当a＝－2时，x＝－1；
当a<
－2时，－1≤x≤
综上所述，
0时，解集为
；
当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；
－2时，解集为
[探究共研型]
一元二次不等式、二次方程、
二次函数的关系
探究1 利用函数y＝x2－2x－3的图象说明当y>
0、y<
0、y＝0时x的取值集合分别是什么？
这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？
【提示】 y＝x2－2x－3的图象如图所示．
函数y＝x2－2x－3的值满足y>
0时自变量x组成的集合，亦即二次函数y＝x2－2x－3的图象在x轴上方时点的横坐标x的集合{x|x<
3}；
同理，满足y<
0时x的取值集合为{x|－1<
3}，满足y＝0时x的取值集合，亦即y＝x2－2x－3图象与x轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：
方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和不等式ax2＋bx＋c>
0（a>
0）或ax2＋bx＋c<
0）是函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y＝0时，函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）就转化为方程，当y>
0或y<
0时，就转化为一元二次不等式．
探究2 方程x2－2x－3＝0与不等式x2－2x－3>
0的解集分别是什么？
观察结果你发现什么问题？
这又说明什么？
【提示】 方程x2－2x－3＝0的解集为{－1,3}．
不等式x2－2x－3>
0的解集为{x|x<
3}，观察发现不等式x2－2x－3>
0解集的端点值恰好是方程x2－2x－3＝0的根．这说明：
一元二次不等式ax2＋bx＋c>
0）和ax2＋bx＋c<
0）的解集分别为{x|x<
x1或x>
x2}，{x|x1<
x2}（x1<
x2），则
即不等式的解集的端点值是相应方程的根．
若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是
，求不等式cx2＋bx＋a<
0的解集．
【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．
【自主解答】 法一：
由ax2＋bx＋c≥0的解集是
，知a＜0,又
×
2＝
＜0，则c＞0.
又－
，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∴－
＝
∴
＝－
又
∴b＝－
a，c＝－
a，
∴不等式变为
x2＋
x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0.
又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
所求不等式的解集为
法二：
由已知得a＜0且
＋2＝－
，知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，
则x1＋x2＝－
，x1·
x2＝
其中
－
＋
∴x1＝－3，x2＝
∴不等式cx2＋bx＋a＜0（c＞0）的解集为
已知以a，b，c为参数的不等式（如ax2＋bx＋c＞0）的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：
（1）根据解集来判断二次项系数的符号；
（2）根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
（3）约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解．
3．已知不等式ax2＋bx＋c>
0的解集为{x|2<
3}，求不等式cx2－bx＋a>
【解】 由题意知
即
代入不等式cx2－bx＋a>
得6ax2＋5ax＋a>
0（a<
0），
即6x2＋5x＋1<
解得－
<
所以所求不等式的解集为
1．不等式6x2＋x－2≤0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【解析】 因为6x2＋x－2≤0⇔（2x－1）·
（3x＋2）≤0，所以原不等式的解集为
【答案】 A
2．设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则（∁RS）∪T＝（ ）
A．（－2,1] B．（－∞，－4]
C．（－∞，1]D．[1，＋∞）
【解析】 T＝{x|－4≤x≤1}，根据补集定义，∁RS＝{x|x≤－2}，所以（∁RS）∪T＝{x|x≤1}，选C.
【答案】 C
3．二次函数y＝x2－4x＋3在y<
0时x的取值范围是________.
【解析】 由y<
0，得x2－4x＋3<
∴1<
3.
【答案】 （1,3）
4．若不等式ax2＋bx＋2>
0的解集为{x|－1<
2}，则实数a＝________，实数b＝________.
【解析】 由题意可知－1,2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．
由根与系数的关系得
解得a＝－1，b＝1.
【答案】 －1 1
5．解下列不等式：
（1）x（7－x）≥12；
（2）x2>
2（x－1）．
【解】
（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，
所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．
（2）原不等式可以化为x2－2x＋2>
因为判别式Δ＝4－8＝－4<
0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，
所以原不等式的解集为R.
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