Matlab学习系列16 数值计算线代篇Word格式文档下载.docx
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symsx;
A=[3211;
322-x^21;
5132;
7-x^2132];
D=det（A）
f=factor（D）%对行列式D进行因式分解
X=solve（D）%求方程“D＝0”的解
D=-3*（x^2-1）*（x^2-2）
f=-3*（x-1）*（x+1）*（x^2-2）
X=-1
1
2^（1/2）
-2^（1/2）
二、向量组的线性相关性
例3向量组
求它的秩和一个最大线性无关组，并用来表示其它向量。
A=[2-135;
4-313;
3-234;
4-11517;
7-6-70]'
;
%formatrat;
%使用分数表示
rref（A）
ans=10021
010-35
0014-5
00000
可见，向量组的秩是3，
是一个最大线性无关组；
并且
，
注：
也可以用[R,s]=rref（A）;
length（s）得到秩。
三、线性方程组的通解
null（A,‘r’）——返回齐次线性方程组Ax=0的基础解系，选项’r’返回有理数解，否则按分数显示；
x0=inv（A）*b——若A-1存在，直接可以得到Ax=b的一个特解x0,否则只能按求解理论求解；
subs（A,k,n）,将矩阵或式A中的k用n代替。
例4求下列方程组的通解：
A=[2,4,-1,4,16;
-3,-6,2,-6,-23;
3,6,-4,6,19;
1,2,5,2,19];
b=[-2;
7;
-23;
43];
[R,s]=rref（[A,b]）
[m,n]=size（A）;
x0=zeros（n,1）;
%将特解x0初始化为零向量
r=length（s）;
%矩阵A的秩赋给变量r
x0（s,:
）=R（1:
r,end）%矩阵R的最后一列按基准元素的位置得到特解x0
x=null（A,'
r'
）%得到对应齐次方程组Ax＝0的基础解系
R=120293
001028
000000
000000
s=13
x0=3
0
8
x=-2-2-9
100
00-2
010
001
例5已知齐次线性方程组
问当k取何值时方程组有非零解？
在有非零解的情况下，求出其基础解系。
symsk;
A=[1-2*k,3,3,3;
3,2-k,3,3;
3,3,2-k,3;
3,3,3,11-k];
D=det（A）
K=solve（D）%解方程“D＝0”即要求的k值
fori=1:
4
Ak=double（subs（A,k,K（i）））;
%用K（i）替换矩阵A中的k,得到的是符号矩阵，
%再用double函数转化为数值矩阵
x=null（Ak,'
）
D=2*k^4-31*k^3+30*k^2+161*k+98
K=-1
-1
7/2
14
x=-1-1
10
01
00
x=-1-1
x=-0.5
-1
x=0.2
0.4
四、基变换
设Rn中的两组基向量U和V（都是n×
n矩阵），若向量w在以U为基的坐标系内的坐标为wu（n×
1数组），在以V为基的坐标系内的坐标为wv（n×
1数组），则在基准坐标系内的坐标应分别为U*wu和V*wv，这两者应该相等，即
U*wu=V*wv
所谓基坐标的变换，就是已知wu，求出wv.将上式两边均左乘V-1，得到
wv=V-1*U*wu
故坐标变换矩阵为P=V-1*U.
例6已知R4中的两组基向量为
，
求从U到V的坐标变换矩阵P.
U=[11-1-1;
2-12-1;
-1110;
0111];
V=[20-21;
1113;
0211;
1222];
P=inv（V）*U%从U到V的基变换矩阵
wu=[1234]'
wv=P*wu
%已知某向量在U坐标系下坐标为wu，求它在V坐标系下的坐标
P=01-11
-1100
0001
1-11-1
wv=3
1
4
-2
五、特征值与特征向量
变换可以用矩阵表示。
矩阵A的特征向量是指，经过矩阵A（左乘）变换后不发生方向改变的那些向量；
特征值是指在经过这些变换后特征向量的伸缩的倍数。
对于实对称矩阵来说，不同特征值对应的特征向量必定正交。
矩阵（变换）A的所有特征向量组成了该矩阵（变换）的一组基，可以理解为坐标系的坐标轴，可以把这个坐标系扭曲、拉伸、旋转，称为基变换。
例如，在主成分分析中，通过在拉伸最大的方向设置基，忽略一些小的量，可以极大的压缩数据而减小失真。
矩阵（变换）的所有特征向量作为空间的基之所以重要，是因为在这些方向上矩阵（变换）可以拉伸向量而不必扭曲和选择它，使得计算大为简单。
2.Matlab实现
orth（A）——返回矩阵A的列向量组构成空间的标准正交基；
P=poly（A）——返回矩阵A的特征多项式，P是行向量，元素为多项式系数；
roots（P）——求多项式P的零点；
r=eig（A）——r为列向量，元素为矩阵A的特征值；
[V,D]=eig（A）——矩阵D为A的特征值（从小到大排列）所构成的对角矩阵，V的列向量为A的特征向量，与D中特征值一一对应（VTAV=D，VT=V-1），D也是矩阵A的相似对角化矩阵；
[V,D]=schur（A）——矩阵D为对称矩阵A的特征值所构成的对角阵，V的列为A的单位特征向量，与D中特征值一一对应；
例7求下列矩阵的特征值和特征向量：
formatshortg
213;
112];
%特征多项式法
%P=poly（A）;
%lamda1=roots（P）
lamda2=eig（A）
[V,D]=eig（A）
inv（V）*A*V
lamda2=5.0000
-1.0000
-0.0000
V=0.63960.7071-0.5774
0.6396-0.7071-0.5774
0.4264-0.00000.5774
D=5.000000
0-1.00000
00-0.0000
ans=5.0000-0.00000
-0.0000-1.0000-0.0000
-0.00000.00000
例8（人口迁徙模型）设某大城市的总人口是固定的。
人口的分布则因居民在市区和郊区之间迁徙而变化。
每年有6%的市区居民搬到郊区去住，而有2%的郊区居民搬到市区。
假如开始时有30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问：
（1）10年后市区和郊区的居民人口比例是多少？
30年、50年后又如何？
（2）无限增加时间，该比例最终是否会趋于稳定？
问题分析：
该问题可以用矩阵乘法来描述。
（1）把人口变量用市区xc和郊区xs两个分量表示，一年以后，市区人口为xc1=（1-0.06）xc0+0.02xs0，郊区人口xs1=0.06xc0+（1-0.02）xs0，用矩阵乘法来表示：
从初始到k年，此关系保持不变，故
对于
（2）,借助矩阵A的特征值和特征向量，因为A作用在其特征向量上只改变值大小（为其特征值的倍数）而不改变方向。
为此先求出A的特征值λ1,λ2及特征向量v1,v2;
将x0用特征向量v1,v2作为坐标系表示出来（即做以[v1,v2]为基坐标的基变换），
x0=αv1+βv2
从而，
令k趋于∞，判断xk是否存在极限。
x0=[0.3;
0.7];
A=[0.940.02;
0.060.98];
x1=A*x0
x10=A^10*x0
x50=A^50*x0
V（:
1）=V（:
1）./V（2,1）;
2）=V（:
2）./V（1,2）%对V做初等变换化简
k=inv（V）*x0%求x0用特征向量作为坐标系的表示
%x0在原坐标系I中的表示为x0,
%则基坐标变换到在坐标系V的表示为x=P*x0=inv（V）*I*x0
symsn;
xn=k
（1）*D（1,1）^n*V（:
1）+k
（2）*D（2,2）^n*V（:
2）;
%xn=-0.05*（0.92）^n*v1+0.25*1^n*v2
limit（xn,n,inf）
x1=0.2960
0.7040
x10=0.2717
0.7283
x50=0.2508
0.7492
V=-0.7071-0.3162
0.7071-0.9487
D=0.92000
01.0000
V=-1.00001.0000
1.00003.0000
k=-0.0500
0.2500
ans=1/4
3/4
最终得到：
无限增加时间k，市区和郊区人口之比将趋向一组常数0.25/0.75.
六、二次型
例9用正交变换法将下列二次型化为标准型（保持几何形状不变）：
A=[1-20;
-22-2;
0,-2,3];
%输入二次型的矩阵A
[V,D]=eig（A）
%或用[V,D]=schur（A）,结果相同;
V为正交变换矩阵，即Y=VX
symsy1y2y3;
f=[y1,y2,y3]*D*[y1;
y2;
y3]
V=-0.6667-0.66670.3333
-0.66670.3333-0.6667
-0.33330.66670.6667
D=-1.000000
02.00000
005.0000
f=-y1^2+2*y2^2+5*y3^2
XTAX=YTVTAVY=YTDY
七、用矩阵做图形变换
图形变换是指对图形进行平移、旋转、缩放、投影（透视）等变换，其实质是改变图形的各个顶点的坐标。
图形变换可以通过对表示图形坐标的矩阵进行运算来实现，称为矩阵变换法：
注：
也可以用变换矩阵左乘实现，上式两边转置即可，即：
BTAT=CT.
下面只介绍二维图形的矩阵变换，代码示例是类似的省略之。
1.基本变换
（1）缩放变换
若a=d则为等比例缩放；
若a=1，则x方向不变；
若a=0,则图形压缩为y轴上的线段。
例10已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行缩放变换。
ABC=[44;
13;
31];
%三角形的三个顶点
E=[ABC（1,1）,ABC（1,2）];
%为了让图形封闭，在末尾补上起始点
ABC=[ABC;
E]
subplot（1,2,1）
plot（ABC（:
1）,ABC（:
2）,'
%将各个顶点连线，绘制三角形
axis（[0,5,0,5]）;
%放缩变换
a=0.6;
d=1.2;
T=[a0;
0d];
%变换矩阵
ABC1=ABC*T;
%对原顶点做变换得到新的顶点
subplot（1,2,2）
plot（ABC1（:
1）,ABC1（:
g'
%绘制变换后的三角形
（2）对称变换
①关于原点的对称变换
②关于x轴的对称变换
关于y轴的对称变换
③关于直线y=x的对称变换
关于直线y=-x的对称变换
（3）错切变换（延x轴或y轴一个方向移动，另一个方向不变）
①延x轴方向错切
变换后，平行于x轴的直线变换后仍平行于x轴；
平行于y轴的直线变换后，y=0的点不动（不动点），y≠0的点沿x方向平移了cy，形成与y轴夹角为θ的直线，且tgθ＝cy/y＝c.
②延y轴方向错切
（4）绕坐标原点的旋转变换
变换矩阵为
逆时针方向旋转时角度θ取正值；
顺时针方向旋转时角度θ取负值。
2.平移变换
2×
2变换矩阵是不能实现平移变换的，为此需要扩展一维。
补上一维的常数，称为齐次坐标表示法；
若常数=1，称为标准齐次坐标表示法。
若坐标变换结果是非标准化齐次坐标表示，应将其化为标准齐次坐标表示，方法是所有项都除以齐次项：
例11已知三角形的三个顶点坐标，绘制三角形并进行平移变换。
ABC=[34;
%平移变换
ABC1=[ABC,ones（length（ABC）,1）];
%加上一列1扩维,变成标准齐次坐标表示
l=1;
m=0.5;
T=[100;
010;
lm1];
%平移变换矩阵
ABC2=ABC1*T;
%做平移变换
plot（ABC2（:
1）,ABC2（:
三维变换矩阵还具备更多的功能，总结如下：
3.组合变换
一些复杂的变换都可以分解为若干基本变换的组合，二维组合变换矩阵T＝T1×
T2×
…×
Tm，其中Ti是基本变换矩阵，具有不可交换性。
例如，
（1）绕坐标原点以外的任意一点P（x0,y0）旋转θ角的旋转变换
可分解为：
①平移变换——将旋转中心P平移到坐标原点；
②旋转变换——绕坐标原点旋转θ角；
③平移变换——使旋转中心P回到原来的位置
于是，组合变换矩阵为：
T=T1*T2*T3.
（2）关于任意直线的对称变换
设直线方程为：
Ax+By+C＝0（A≠0,B≠0），直线在x轴上的截距为-C/A，在y轴上的截距为-C/B,直线与x轴的夹角α=arctg（-A/B）.
①平移变换——沿x轴方向平移C/A，使直线通过坐标原点；
②旋转变换——绕坐标原点旋转-α角，使直线与x轴重合；
③关于x轴做对称变换；
④旋转变换——绕坐标原点旋转α角；
⑤平移变换——沿x方向平移-C/A，使直线回到原位置
于是组合变换矩阵为：
T=T1*T2*T3*T4*T5.
（1）可见前面的二维变换矩阵都可以统一地在三维矩阵中实现；
（2）以上介绍的二维图形的矩阵变换，类似地可以推广到三维空间图形的矩阵变换。
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