版高考数学理高分计划一轮狂刷练第2章函数导数及其应用Word文档格式.docx

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C．y＝ax2＋bD．y＝a＋

答案　B

解析　由x＝0时，y＝1，排除D；

由f（－1.0）≠f（1.0），排除C；

由函数值增长速度不同，排除A.故选B.

2．（2017·

云南联考）某工厂6年来生产某种产品的情况是：

前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t（年）的函数关系可用图象表示的是（　　）

答案　A

解析　由于开始的三年产量的增长速度越来越快，故总产量迅速增长，图中符合这个规律的只有选项A；

后三年产量保持不变，总产量直线上升，故选A.

3．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是（　　）

A．2.4元B．3元C．2.8元D．3.2元

解析　设每本定价x元（x≥2），销售总收入是y元，则y＝

·

x＝104·

x（9－2x）≥9×

104.

∴2x2－9x＋9≤0⇒

≤x≤3，故选B.

4．（2017·

南昌期末）某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站（　　）

A．5km处B．4km处C．3km处D．2km处

解析　设仓库与车站距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，于是y1＝

，y2＝k2x，

∴

解得k1＝20，k2＝

.

设总费用为y，则y＝

＋

≥2

＝8.

当且仅当

＝

，即x＝5时取等号．故选A.

5．（2015·

北京高考）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（　　）

A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D．某城市机动车最高限速80千米/小时．相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

答案　D

解析　对于A选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L，故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米，所以A错误；

对于B选项，由图可知甲车消耗汽油最少；

对于C选项，甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L，故行驶1小时的路程为80千米，消耗8L汽油，所以C错误；

对于D选项，当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更省油，所以D正确．故选D.

6．（2017·

北京朝阳测试）将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent．假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m分钟甲桶中的水只有

，则m的值为（　　）

A．7B．8C．9D．10

解析　根据题意知

＝e5n，令

a＝aent，即

＝ent，

因为

＝e5n，故

＝e15n，比较知t＝15，m＝15－5＝10.故选D.

7．（2016·

天津模拟）国家规定某行业征税如下：

年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按（p＋2）%征税，有一公司的实际缴税比例为（p＋0.25）%，则该公司的年收入是（　　）

A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元

解析　设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得

y＝

依题有

＝（p＋0.25）%，解得x＝320.故选D.

8．（2017·

北京朝阳区模拟）假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示．

横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以上信息，若使回报最多，下列说法错误的是（　　）

A．投资3天以内（含3天），采用方案一

B．投资4天，不采用方案三

C．投资6天，采用方案一

D．投资12天，采用方案二

解析　由图可知，投资3天以内（含3天），方案一的回报最高，A正确；

投资4天，方案一的回报约为40×

4＝160（元），方案二的回报约为10＋20＋30＋40＝100（元），都高于方案三的回报，B正确；

投资6天，方案一的回报约为40×

6＝240（元），方案二的回报约为10＋20＋30＋40＋50＋60＝210（元），都高于方案三的回报，C正确；

投资12天，明显方案三的回报最高，所以此时采用方案三，D错误．故选D.

9．（2017·

福建质检）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是（　　）

A．8B．9C．10D．11

答案　C

解析　设死亡生物体内原有的碳14含量为1，则经过n（n∈N*）个“半衰期”后的含量为

n，由

n<

得n≥10.所以，若探测不到碳14含量，则至少经过了10个“半衰期”．故选C.

10．（2017·

北京朝阳区模拟）某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；

当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（　　）

A．3000元B．3300元C．3500元D．4000元

解析　由题意，设利润为y元，租金定为3000＋50x元（0≤x≤70，x∈N）．

则y＝（3000＋50x）（70－x）－100（70－x）＝（2900＋50x）·

（70－x）＝50（58＋x）（70－x）≤50

2，

当且仅当58＋x＝70－x，即x＝6时，等号成立，故每月租金定为3000＋300＝3300（元）时，公司获得最大利润，故选B.

二、填空题

11．（2017·

金版创新）“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a

（a为常数），广告效应为D＝a

－A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．（用常数a表示）

答案　

a2

解析　令t＝

（t≥0），则A＝t2，

∴D＝at－t2＝－

2＋

a2.

∴当t＝

a，即A＝

a2时，D取得最大值．

12．一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），若经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

答案　16

解析　当t＝0时，y＝a；

当t＝8时，y＝ae－8b＝

a，

∴e－8b＝

，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝

a.

e－bt＝

＝（e－8b）3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.

13．（2014·

北京高考改编）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：

分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），右图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________．

答案　3.75分钟

解析　由已知得

解得

∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－

，

＝3.75时p最大，即最佳加工时间为3.75分钟．

14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；

药物释放完毕后，y与t的函数关系式y＝

t－a（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为________；

（2）据测定，当空气中每立方米的含药量不大于0.25毫克时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．

答案　

（1）y＝

（2）0.6

解析　

（1）设y＝kt，由图象知y＝kt过点（0.1,1），

则1＝k×

0.1，k＝10，∴y＝10t（0≤t≤0.1）．

由y＝

t－a过点（0.1,1），得1＝

0.1－a，解得a＝0.1，∴y＝

t－0.1（t>

0.1）．

（2）由

t－0.1≤0.25＝

，得t≥0.6.

故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．

三、解答题

15．（2017·

济宁期末）已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量增加收益．据估算，若今年的实际销售单价为x元/件（1≤x≤2），则新增的年销量P＝4（2－x）2（万件）．

（1）写出今年商户甲的收益f（x）（单位：

万元）与x的函数关系式；

（2）商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，是否能获得比往年更大的收益（即比往年收益更多）？

请说明理由．

解　

（1）由题意可得：

f（x）＝[1＋4（2－x）2]（x－1），1≤x≤2.

（2）甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，可得收益为1万元．

f′（x）＝8（x－2）（x－1）＋1＋4（2－x）2＝12x2－40x＋33＝（2x－3）（6x－11），

可得当x∈

时，函数f（x）单调递增；

当x∈

时，函数f（x）单调递减；

时，函数f（x）单调递增．

∴x＝

时，函数f（x）取得极大值，f

＝1；

又f

（2）＝1.

∴当x＝

或x＝2时，函数f（x）取得最大值1（万元）．

因此商户甲今年采取降低单价提高销量的营销策略，不能获得比往年更大的收益．

16．（2017·

北京模拟）已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且乙厂在2月份的利润是8万元．若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份x之间的函数关系式分别符合下列函数模型：

f（x）＝a1x2－4x＋6，g（x）＝a2·

3x＋b2（a1，a2，b2∈R）．

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；

（3）在同一直角坐标系下画出函数f（x）与g（x）的草图，并根据草图比较今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润的大小情况．

解　

（1）依题意：

由f

（1）＝6，解得a1＝4，

所以f（x）＝4x2－4x＋6.

由

得

解得a2＝

，b2＝5，

所以g（x）＝

×

3x＋5＝3x－1＋5.

（2）由

（1）知甲厂在今年5月份的利润为f（5）＝86万元，乙厂在今年5月份的利润为g（5）＝86万元，故有f（5）＝g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等．

（3）作函数图象如下：

从图中可以看出今年1～10月份甲、乙两个工厂的利润：

当x＝1或x＝5时，有f（x）＝g（x）；

当x＝2,3,4时，有f（x）>

g（x）；

当x＝6,7,8,9,10时，有f（x）<

g（x）．