计算方法实验报告Word格式文档下载.docx
《计算方法实验报告Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算方法实验报告Word格式文档下载.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
Xk+1=Xk—f（Xk）/f‘（Xk）.
3、实验用例
（1）在区间[0,1]上用二分发求方程
+10x-2=0近似根，要求误差不超过0.0005.
（2）取初值X0=0，用迭代公式Xk+1=（2-
）/10,（k=0,1,2,...）求方程
+10x-2=0的近似根。
误差不超过0.0005.
（3）取初值X0=0，用牛顿迭代法求方程
+10x-2=0的近视根。
要求误差不超过0.0005.
四、实验程序
二分法MATLAB程序：
functionx=agui_bisect（fname,a,b,e）
%fname为函数名，a，b为端点，e为精确度
fa=feval（fname,a）;
fb=feval（fname,b）;
iffa*fb>
0error（'
'
）;
end
k=0
x=（a+b）/2
while（b-a）>
（2*e）
fx=feval（fname,x）;
iffa*fx<
b=x;
fb=fx;
else
a=x;
fa=fx;
end
k=k+1
x=（a+b）/2
End
实验截图：
MATLAB迭代法程序：
functionx=agui_main（fname,x0,e）
%fname为函数名dfname的函数fname的导数，x0为迭代初值
%e为精度，N为最大迭代次数（默认为100）
N=100;
x=x0;
%把x0赋给x，再算x+2*e赋给x0
x0=x+2*e;
k=0;
whileabs（x0-x）>
e&
k<
N%循环条件的控制：
x0-x的绝对值大于某一精度，和迭代次数小于N
k=k+1%显示迭代的第几次
x0=x;
x=（2-exp（x0））/10;
%迭代公式
disp（x）%显示x
ifk==Nwarning（'
已达到最大迭代次数'
%如果K=N则输出已达到最大迭代次数
牛顿迭代法MATLAB程序：
functionx=agui_newton（fname,dfname,x0,e）
N=100
N
x0=x;
x=x0-feval（fname,x0）/feval（dfname,x0）;
disp（x）
已达最大迭代次数'
5、实验结果和总结
由上面的对二分法、迭代法、牛顿法三种方法的三次实验结果，我们可以得出这样的结论：
二分法要循环k=11次，迭代法要迭代k=5次，牛顿法要迭代k=2次才能达到精度为0.0005的要求，而且方程
+10x-2=0的精确解经计算为0.0905250,计算量从大到小依次是:
二分法,迭代法,牛顿法。
解方程组的直接法
1、实验目的
用高斯消去法解线性方程组Ax=b,式中A为n阶列向量。
并分析选主元的重要性。
二、实验方法
（1）顺序消去法
通过变换，将系数矩阵转换成等价的上三角阵，经过回代，求出方程组的解。
（2）列主元消去法
在第i步时，首先，将
（j<
i）化为零。
在第i列余下的
（j
i）中选择绝对值最大的元素作为主元素，且把它所在的行和第i行交换。
然后利用回代公式
进行回代，求出方程的解。
解下列方程组
=
4、试验程序
顺序高斯消去法MATLAB程序：
functionx=gauss（a,b）
n=length（b）;
fork=1:
n-1
ifa（k,k）==0
fprintf（'
Error:
the%dthpivotelementequaltozero!
\n'
k）;
return;
end
index=[k+1:
n];
m=-a（index,k）/a（k,k）;
a（index,index）=a（index,index）+m*a（k,index）;
b（index）=b（index）+m*b（k）;
x=zeros（n,1）;
x（n）=b（n）/a（n,n）;
fori=n-1:
-1:
1
x（i）=（b（i）-a（i,[i+1:
n]）*x（[i+1:
n]））/a（i,i）;
结果截图：
列主元消去法MATLAB程序：
functionx=agui_gauss（a,b）
n=length（b）;
a=[a,b];
fork=1:
（n-1）
[ar,r]=max（abs（a（k:
n,k）））;
r=r+k-1;
ifr>
k
t=a（k,:
a（k,:
）=a（r,:
a（r,:
）=t;
a（（k+1）:
n,（k+1）:
（n+1））=a（（k+1）:
（n+1））-a（（k+1）:
n,k）/a（k,k）*a（k,（k+1）:
（n+1））;
%Lik=Aik/Akk
n,k）=zeros（n-k,1）;
a
x=zeros（n,1）;
x（n）=a（n,n+1）/a（n,n）;
fork=n-1:
1
x（k,:
）=（a（k,n+1）-a（k,（k+1）:
n）*x（（k+1）:
n））/a（k,k）;
5、实验结果和总结
当用顺序消去法和列主元消去法求解方程组时，列主消去法比较简单，它保留了化简的第二步，然后一步步的消去，最后再一个个的回代，求出线性方程组的解，顺序消去法过程的乘除法将会产生大量的舍入误差，往往使结果很不可靠，而此题目中列主元消去法能得出精确解，而顺序消去法只能求出近似解，两者所求结果的误差是比较小的，甚至是没有区别的。
解线性方程组的迭代法
用雅克比和高斯塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b，式中A为非奇异实矩阵。
在给定迭代初值的情况下，进行迭代，直到满足精度要求。
2、实验方法
（1）雅克比迭代法
设系数矩阵A为非奇异矩阵，且
（i=1，2，...，n），从第i个方程中解出
得其等价形式：
，取初始向量
，可建立I相应的迭代公式：
（2）高斯—塞德尔迭代法
每计算出一个新的分量便立即用它取代对应的旧分量进行迭代，可能收敛更快，据此思想可构造高斯—塞德尔迭代法，其迭代公式为：
三、实验用例
求使
的近似解及相应的迭代次数。
初值选为常向量b。
4、实验程序
雅克比迭代法MATLAB程序：
functionx=agui_jacobi（a,b）
%a为系数矩阵，b为右端向量，X0为初始向量（默认为零向量）
%e为精度，N为最大迭代次数，x为返回解向量
e=1e-6;
x0=zeros（n,1）;
d=diag（diag（a））;
l=-tril（a,-1）;
u=-triu（a,1）;
whilenorm（x0-x,inf）>
k=k+1;
x=inv（d）*（l+u）*x+inv（d）*b;
k
disp（x'
）
已达最大次数'
结果截图：
......
高斯-塞德尔迭代法MATLAB代码：
functionx=agui_GS（a,b）
a1=tril（a）;
a2=inv（a1）;
x=-a2*（a-a1）*x0+a2*b;
formatlong
...
做这两个实验时，由于对课本知识不是很了解所以对程序的内容也不是很熟悉，调试出错了也不容易找到错误原因，在老师的帮助下，我读懂了程序并且找出了其中的错误。
通过实验验证了高斯-塞德尔迭代比雅克比迭代速度快且效果明显。
在计算时要根据实际情况来判断采用哪种方法。
插值问题
用拉格朗日插值和牛顿插值的方法，在已知函数在点
，
，...，
的函数值
的情况下，求插值节点x的函数值y，，即求f（x）.并比较结果，说明为什么相等。
二、试验方法
（1）拉格朗日插值
根据
；
构造插值多项式
将插值点x代入上式，就可以得到函数f（x）在点x处的函数近视值。
（2）牛顿插值
牛顿插值公式中各项的系数就是函数f（（x）的各阶均差（差商）
，因此，在构造牛顿公式时，常常先把均差列成一个表，此表成为均差表。
从函数表
x
0.4
0.55
0.8
0.9
1
F（x）
0.41075
0.57815
0.88811
1.02652
1.17520
出发，计算f（0.5），f（0.7）及f（0.85）的近似值。
拉格朗日插值MATLAB程序：
functionf=agui_lagrange（x0,y0,x）
n=length（x0）;
m=length（x）;
formatlong
s=0.0;
n
p=1.0;
forj=1:
ifj~=k
p=p*（x-x0（j））/（x0（k）-x0（j））;
end
s=p*y0（k）+s;
f=s;
牛顿插值MATLAB程序：
functionf=agui_newton（x0,y0,x）
m=length（x）;
N=0.0;
p=p*（x-x0（k））;
T=0.0;
fori=1:
q=1.0;
ifj~=i
q=q*（x0（i）-x0（j））;
T=y0（i）/q+T;
N=T*p/（x-x0（k））+N;
f=N;
五、实验结果总结
1、由实验结果可以看出两种方法的计算结果一致
2、当插值多项式从n-1次增加到n次时，拉格朗日型插值必须从新计算所有的基本插值多项式；
对于牛顿插值多项式，只需要表格在计算一个n阶差，然后加上一项就可以了。
升级会员 