高三数学 35对数函数与指数函数的导数第二课时大纲人教版选修Word下载.docx
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（5x）′=5a5xlna.
（三）精选例题
［例1］求函数y=e-2xsin3x的导数.
［学生分析］先用积的求导法则，（uv）′=u′v+uv′,再用复合函数的求导法则求导，y′x=y′u·
u′x.
［学生板演］解：
y′=（e-2x）′sin3x+e-2x·
（sin3x）′
=e-2x（-2x）′sin3x+e-2xcos3x（3x）′
=-2e-2xsin3x+3e-2xcos3x
=e-2x（3cos3x-2sin3x）.
［例2］求y=的导数.
［学生分析］先用商的求导法则,（）′=，再用复合函数的求导法则求导,y′x=y′u·
u′x.
y′=（）′
=
.
［例3］求y=xsinx的导数.
［学生板演］两边取对数，
lny=lnxsinx=sinx·
lnx,
两边对x求导,
=cosx·
lnx+sinx·
.
∴y′=（cosxlnx+）y
=（cosxlnx+）·
xsinx.
［师］这是我们上节课学习的解这类题的方法.我们今天学习了指数函数的求导公式.而任何一个函数y=f（x）都可以用指数函数的形式y=a表示出来，为了方便起见，我们取a=e.
∴y=elnf（x）.这道题转化成指数函数的形式怎么做呢？
由所给函数知x＞0,
∵y=xsinx=e=esinx·
∴y′=（esinx·
lnx）′=esinx·
lnx·
（sinx·
lnx）′
=esinx·
lnx（cosx·
lnx+）
=xsinx（cosx·
lnx+）.
［师］当用第二种方法求导的时候，要说明一下x＞0，∵xsinx是幂函数的形式，∴x＞0，否则xn（x＜0时）没有导数.而xsinx＞0，∴在用第一种方法求导时，等于默认了y＞0.
［师生共同总结］形如［u（x）］v（x）的幂指函数，可以用两种方法求导：
其一，是两边取对数后再对x求导；
其二，是把它化成指数函数与其他函数复合.
［例4］求y=32xlg（1-cos2x）的导数.
解法一：
y=32xlg（1-cos2x）
=9xlg（1-cos2x）,
y′=9x·
ln9·
lg（1-cos2x）+9x·
·
（1-cos2x）′=9x·
sin2x·
2.
=9x·
lg（1-cos2x）+2·
9x·
lge·
2ln3·
cotx
=2·
9x［ln3·
lg（1-cos2x）+lge·
cotx］.
解法二：
y′=（32x）′lg（1-cos2x）+32x·
［lg（1-cos2x）］′
=32x·
ln3·
2lg（1-cos2x）+32x·
2
32xln3·
32xlge·
32x［ln3·
cotx］.
［例5］求y=f（ex）ef（x）的导数，其中f（x）为可导函数.
y′=［f（ex）］′ef（x）+f（ex）·
［ef（x）］′
=f′（ex）·
exef（x）+f（ex）·
ef（x）·
f′（x）
=ef（x）［f′（ex）ex+f（ex）·
f′（x）］.
［例6］求y=2x的导数.
（请两位同学用两种不同的方法做）
两边取对数，得lny=ln2+lnx.
两边对x求导,·
y′=（）′lnx+（lnx）′=xlnx+·
=xlnx+x=x（lnx+2）.
∴y′=x（lnx+2）·
2xx
=x（lnx+2）.
y=2x=e=e.
y′=e·
（lnx）′
=e（xlnx+·
）
=2x·
x（lnx+2）
=x（lnx+2）.
［师］比较这两种方法，是不是难易程度差不多，都只要对lnx求导就可以了,所以碰到这类题目，两种方法可以任选其一.
Ⅲ.课堂练习
求下列函数的导数.
1.y=x2ex.
y′=（x2ex）′=2xex+x2ex=（2+x）xex.
2.y=e3x.
y′=（e3x）′=e3x·
3=3e3x.
3.y=x3+3x.
y′=3x2+3x·
ln3.
4.y=xne-x.
y′=nxn-1e-x+xne-x·
（-1）
=（n-x）xn-1e-x.
5.y=exsinx.
y′=exsinx+excosx
=ex（sinx+cosx）.
6.y=exlnx.
y′=exlnx+ex·
=ex（lnx+）.
7.y=a2x+1.
y′=a2x+1lna·
2=2a2x+1·
lna.
8.y=2（e+e）.
y′=2（e·
-e）=e-e.
9.若f（x）=e,则f′（x）等于…（C）
A.（x2+1）e B.（x2+1）e
C.2xeD.2xe2x
（e）′=e·
2x=2xe.
10.若f（x）=ecosx,求f′（x）.
f′（x）=（ecosx）′=ecosx·
（cosx）′=-sinx·
ecosx.
11.求y=xe1-cosx的导数.
y′=（xe1-cosx）′=e1-cosx+xe1-cosx·
（1-cosx）′
=e1-cosx+xe1-cosx·
sinx
=（1+xsinx）e1-cosx.
12.求y=e+ax的导数.
y′=（e+ax）′=e·
2x+a
=2xe+a.
Ⅳ.课时小结
这节课主要学习了指数函数的两个求导公式（ex）′=ex，（ax）′=axlna，以及它们的应用.还有形如［u（x）］v（x）的函数求导有两种方法：
其一，两边取对数，再两边对x求导；
其二是把它化成指数函数与其他函数复合，再进行求导.
Ⅴ.课后作业
课本P125习题3.5 2,3
（1）（3）.
板书设计
3.5.2 对数函数与指数函数的导数
（二）——指数函数的导数
1.
（1）（ex）′=ex;
（2）（ax）′=axlna.s
课本例题
例3.求y=e2xcos3x的导数.
例4.求y=a5x的导数.
精选例题
例1.求y=e-2xsin3x的导数.
例2.求y=的导数.
例3.求y=xsinx的导数.
方法一：
取对数
方法二：
化成指数函数
例4.求y=32xlg（1-cos2x）的导数.两种方法.
例5.求y=f（ex）ef（x）的导数，其中f（x）为可导函数.
例6.求y=2x的导数.两种方法.
课堂练习
1.y=x2ex. 2.y=e3x.
3.y=x3+3x.4.y=xne-x.
5.y=exsinx.6.y=exlnx.
7.y=e2x+1.8.y=2（e+e）.
9.若f（x）=e,则f′（x）等于.
11.求y=xe1-cosx的导数.
课时小结
课后作业
2019-2020年高三数学3.6函数的单调性第一课时备课资料大纲人教版选修
课时安排
1课时
从容说课
本节教学安排，应是在学生已有的单调性的概念基础上进一步建构完善认知结构，使学生充分认识学习导数的作用.可以从如下三个方面进行教学：
（1）从函数图象出发给出了用导数的符号判别函数增减性的方法.先从y=x2,y=x3，y=x4等常见的函数入手，让学生进行归纳概括出一般的问题.
（2）学生在高一学习函数时，已经知道了增函数、减函数和单调函数的意义，用导数判断或证明函数在给定区间的单调性要简捷得多.在教学时，要从学生的已有知识出发，并且要引导学生对新旧方法进行比较，例如，可以让学生用导数法重新证明《数学》第一册（上）的例题“证明函数f（x）=在（0，+∞）上是减函数”.通过比较，可以提高学生对导数与微分的学习意义的认识.
（3）本小节的内容是与后面两小节有着直接联系的.特别地，关于本小节习题的演练，带有一定的过渡性，较为系统、全面的解题方法将在后续各小节中逐步介绍.要让学生总结概括利用导数确定函数的增减区间的具体步骤，这样为以后的学习打下了基础.
还应向学生交待，以往是证明函数在某个区间是单调的，但他们不知道这些区间是如何划分的，这时可以补充例题：
求y=ax+（ab＞0）的单调区间.
第十二课时
3.6 函数的单调性
1.函数单调性的概念.
2.增函数的概念与判别方法.
3.减函数的概念与判别方法.
4.常数函数的概念与判别方法.
1.根据增函数的定义，求函数的单调递增区间或进行证明.
2.根据减函数的定义，求函数的单调递减区间或进行证明.
1.培养学生数形结合的数学思想.
2.使学生认识到新知识的学习，会为我们解决实际问题带来方便，激发学生的学习兴趣和求知欲望.
增函数与减函数的新定义,新的判别方法的应用.
增减函数的定义的理解，如何利用导数去判别函数的增减性.从函数图象出发给出增减函数的定义以及用导数的符号判别函数单调性的方法.关键是先求导，解不等式得单调区间，或者证明导数与0的大小关系来判别单调性.
建构主义式
通过让学生观察图象，根据曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数f（x）的导数，来判断斜率的正负，从而得到f′（x）的正负与增减函数的关系，让学生自己重新定义增减函数.
［师］我们在高一时已经学习了增、减函数，它们是如何定义的？
［生］对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）,那么函数f（x）就是区间I上的增函数.
对于任意的两个数x1,x2∈I,且当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）,那么函数f（x）就是区间I上的减函数.
［师］那我们如何来判断一个函数是增函数还是减函数呢？
［生］可以根据定义，在区间内任取两个数x1,x2,先假设x1＜x2，然后比较f（x1）与f（x2）的大小.f（x1）＜f（x2）,则是增函数；
f（x1）＞f（x2）,则是减函数.
［师］回答得很好.什么叫函数的单调性？
［生］1.如果函数f（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说f（x）在这个区间上具有单调性.（板书）
［师］这节课我们来重新研究一下函数的单调性.
（一）函数的单调性
［师］我们一起来观察一下这个函数图象.
y=f（x）=x2-4x+3.
图3-14
［师］曲线的切线与导数有什么关系？
［生］曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数f（x）的导数.
［师］y=f（x）=x2-4x+3在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？
［生］y=f（x）=x2-4x+3在（2,+∞）内为增函数，在（-∞,2）内是减函数.
［师］在（2,+∞）内，切线的斜率和f（x）的导数有什么特征呢？
［生］在（2,+∞）内，切线的斜率为正，f′（x）＞0.
［师］在（-∞,2）内呢？
［生］在（-∞,2）内，切线的斜率为负，f′（x）＜0.
（根据学生的回答，填写下列表格）
y=f（x）=x2-4x+3
切线的斜率
f′（x）
（2,+∞）
增函数
正
＞0
（-∞,2）
减函数
负
＜0
［师］我们能否根据函数的导数的正负与函数的增减性的关系来重新定义增减函数呢？
（学生回答，老师板书）
2.设函数y=f（x）在某个区间内可导，
（1）如果f′（x）＞0,则f（x）为增函数；
（2）如果f′（x）＜0,则f（x）为减函数.
［师］现在我们判断函数的增减性的方法是什么？
［生］也是根据定义，先对函数进行求导，再判断f′（x）在某个区间上是大于0还是小于0.大于0，是增函数;
小于0，是减函数.
［师］如果f′（x）=0，f（x）是什么函数？
［生］∵C′=0（C是常数）,∴f′（x）=0.
则f（x）=C（C是常数）.∴f（x）是常数函数.
［板书］3.如果在某个区间内恒有f′（x）=0,则f（x）为常数函数.
［师］我们要判断一个函数是否是常数函数，只要看它的导数是否恒等于0.
（二）课本例题
［例1］确定函数f（x）=x2-2x+4在哪个区间内是增函数,哪个区间内是减函数.
图3-15
f′（x）=（x2-2x+4）′=2x-2.
令2x-2＞0,
解得x＞1.
∴当x∈（1,+∞）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数.
令2x-2＜0,解得x＜1.
∴当x∈（-∞,1）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数.
（总结）求函数单调区间的步骤：
①求函数f（x）的导数f′（x）;
②令f′（x）＞0，解不等式，得x的范围，就是递增区间;
③令f′（x）＜0，解不等式，得x的范围，就是递减区间.
［例2］确定函数f（x）=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
f′（x）=（2x3-6x2+7）′=6x2-12x.
令6x2-12x＞0,解得x＞2或x＜0.
∴当x∈（-∞,0）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数;
当x∈（2,+∞）时，f′（x）＞0,f（x）是增函数.
令6x2-12x＜0,解得0＜x＜2.
∴当x∈（0,2）时，f′（x）＜0,f（x）是减函数.
图3-16
（三）精选例题
［例1］证明函数f（x）=在（0,+∞）上是减函数.
证法一：
（用以前学的方法证）任取两个数x1,x2∈（0,+∞）,且x1＜x2,
f（x1）-f（x2）=.
∵x1＞0,x2＞0,
∴x1x2＞0.
∵x1＜x2,
∴x2-x1＞0.
∴＞0.
∴f（x1）-f（x2）＞0,即f（x1）＞f（x2）.
∴f（x）=在（0,+∞）上是减函数.
证法二：
f′（x）=（）′=（-1）·
x-2=-，
x＞0,
∴x2＞0.∴-＜0.
∴f′（x）＜0.
［师］比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些,如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
［例2］（xx年全国Ⅰ,理19）已知a∈R,求函数f（x）=x2eax的单调区间.
函数f（x）的导数f′（x）=2xeax+ax2eax=（2x+ax2）eax,
（1）当a=0时,f（x）=x2,若x＜0,则f′（x）＜0,若x＞0,则f′（x）＞0.
∴当a=0时,函数f（x）在区间（-∞,0）内为减函数,在区间（0,+∞）内为增函数.
（2）当a＞0时,令f′（x）=0,∴（ax2+2x）eax=0.
∵eax＞0,∴ax2+2x=0.
∴x1=-,x2=0.
若x＜-,则f′（x）＞0;
若-＜x＜0,则f′（x）＜0;
若x＞0,则f′（x）＞0.
∴函数f（x）在区间（-∞,-）内为增函数,在区间（-,0）内为减函数,在区间（0,+∞）内为增函数.
（3）当a＜0时,令f′（x）=0,
∴（ax2+2x）eax=0.
∴x1=0,x2=-＞0.
若x＜0,∵a＜0,
∴ax2+2x＜0,则f′（x）＜0;
若0＜x＜-2[ ]a,则ax2+2x＞0,
∴f′（x）＞0;
若x＞-,ax2+2x＜0,则f′（x）＜0.
∴函数f（x）在区间（-∞,0）内为减函数,在区间（0,-）内为增函数,在区间（-,+∞）内为减函数.
解题回顾:
本题通过求单调区间,考查学生求导运算的法则,考查导数的性质,f′（x）＞0即可求增区间,f′（x）＜0即可求减区间;
通过解不等式考查了学生的运算能力及分类讨论的数学思想.本题中注意对参数a的分类.特别是a＜0时,ax2+2x的符号与a＞0的情况相反,不少考生都以为相同了.考查综合运用数学知识解决问题的能力.
［例3］（xx年全国Ⅱ,21）若函数f（x）=x3-ax2+（a-1）x+1在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞）上为增函数,试求实数a的取值范围.
f′（x）=x2-ax+（a-1）=（x-1）［x-（a-1）］,令f′（x）=0,得
x1=1,x2=a-1.
①当a=2时,x1=x2=1,若x＜1,则f′（x）＞0;
若x＞1,则f′（x）＞0.
又f（x）在x=1处是连续的,
∴f（x）在R上是增函数,故a=2时不合题意.
②当a-1＜1,即a＜2时,列出下表:
x
（-∞,a-1）
a-1
（a-1,1）
1
（1,+∞）
+
-
f（x）
单调递增
极大
单调递减
极小
又f（x）在区间（1,4）内为减函数,在区间（6,+∞）上为增函数,∴当a＜2时不合题意,故舍去.
③当a-1＞1,即a＞2时,得出下表:
（-∞,1）
（1,a-1）
（a-1,+∞）
依题意知
∴5≤a≤7.
综上得5≤a≤7.
［例4］当x＞0时，证明不等式1+2x＜e2x.
分析：
假设令f（x）=e2x-1-2x.
∵f（0）=e0-1-0=0,
如果能够证明f（x）在（0,+∞）上是增函数，那么f（x）＞0,则不等式就可以证明.
证明：
令f（x）=e2x-1-2x.
∴f′（x）=2e2x-2=2（e2x-1）.
∵x＞0,∴e2x＞e0=1.
∴2（e2x-1）＞0,
即f′（x）＞0.
∴f（x）=e2x-1-2x在（0,+∞）上是增函数.
∵f（0）=e0-1-0=0,
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即e2x-1-2x＞0.
∴1+2x＜e2x.
［师］所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.
1.已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.
y′=（x+）′=1-1·
x-2
=,
令＞0,
解得x＞1或x＜-1.
∴y=x+的单调增区间是（-∞,-1）和（1,+∞）.
令＜0,解得-1＜x＜0或0＜x＜1.
∴y=x+的单调减区间是（-1,0）和（0,1）.
2.若x＞0时，f′（x）＞g′（x）,当f（x）和g（x）满足条件f（0）=g（0）时，一定有f（x）＞g（x）（当x＞0时）.
［师生共析］要证f（x）＞g（x）,当x＞0时,
可以令F（x）=f（x）-g（x）.
∵当x＞0时，f（x）、g（x）都可导,
∴F（x）可导.
∴F′（x）=f′（x）-g′（x）＞0.
∴F（x）在（0,+∞）上是增函数.
当x＞0时,F（x）＞F（0）.如果F（0）=0，
那么f（x）＞g（x）.
∴f（0）-g（0）=0,即f（0）=g（0）.
3.求证:
（x-1）＞x-1,其中x∈（1,+∞）.
令f（x）=（x-1）-x+1，
f′（x）=［（x-1）-x+1］′
=-x=（1-）.
∵x＞1,∴＜1.
∴（1-）＞0,
∴f（x）在（1,+∞）上是增函数.
∴当x＞1时，f（x）＞f
（1）=（1-1）-1+1=0,
即（x-1）＞x-1.
（学生总结）这节课主要学习了增减函数的新定义:
f（x）在某区间内可导,f′（x）＞0时是增函数，f′（x）＜0时是减函数（可以根据f′（x）＞0或f′（x）＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式）以及如果在某个区间上恒有f′（x）=0，那么f（x）在这个区间上是常数函数.
（一）课本P128习题3.6 1、2.
（二）1.预习内容：
课本P128～129函数的极值.
2.预习提纲：
（1）极大值的定义，判别方法.
（2）极小值的定义，判别方法.
（3）求可导函数f（x）的极值的步骤.
3.6 函数的单调性
1.函数单调性的定义.
2.增减函数的定义.
3.如果某区间内恒有f′（x）=0,则f（x）为常数函数.
例1.确定f（x）=x2-2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
总结解题步骤
例2.确定f（x）=2x3-6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.
精选例题
例1.证明函数f（x）=在（0,+∞）上是减函数.（两种方法）
例2.
例3.
例4.当x＞0时，证明不等式1+2x＜e2x.
1.求y=x+的单调区间.
2.若x＞0时，f′（x）＞g′（x）,当f（x）与g（x）满足条件__________时，一定有f（x）＞g
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