高中数学《任意角的三角函数 基本关系式》教案 苏教版必修4Word下载.docx

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③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：

，，等。

2．例题分析：

例1

（1）已知，并且是第二象限角，求．

（2）已知，求．

解：

（1）∵，∴

，

又∵是第二象限角，∴，即有，从而

，．

（2）∵，∴

又∵，∴在第二或三象限角。

当在第二象限时，即有，从而，；

当在第四象限时，即有，从而，．

总结：

已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。

在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。

有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。

解题时产生遗漏的主要原因是：

①没有确定好或不去确定角的终边位置；

②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

例2已知为非零实数，用表示．

∵，，

∴

，即有，

又∵为非零实数，∴为象限角。

当在第一、四象限时，即有，从而

当在第二、三象限时，即有，从而

．

例3已知（），求

∵，即，又∵，

，即，，

又∵，∴为象限角。

当在第一、四象限时，即有，；

当在第二、三象限时，即有，．

3．总结解题的一般步骤：

①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；

②根据同角三角函数的关系式求值。

五、课堂练习：

六、小结：

1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；

2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；

3．在以上的题型中：

先确定角的终边位置，再根据关系式求值。

如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；

若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。

七、作业：

1.2.2同角三角函数的基本关系式

（2）

同角三角函数的基本关系

（2）

1.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；

2.了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。

三、教学重、难点：

如何运用公式对三角式进行化简和证明。

1．同角三角函数的基本关系式。

（练习）已知，求．

例1化简．

原式

例2化简．

例3已知

，试确定使等式成立的角的集合。

∵

=

==．

又∵

∴，即得或．

所以，角的集合为：

或

例4化简

原式=

化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：

（1）所含三角函数的种类最少；

（2）能求值（指准确值）尽量求值；

（3）不含特殊角的三角函数值。

例5求证：

证法一：

由题义知，所以．

∴左边=

右边．

∴原式成立．

证法二：

∴．

证法三：

例6．求证：

证明：

左边

右边

所以，原式成立。

证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：

（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；

（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；

（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。

例7已知

，求．

由

等式两边平方：

∴（*），即

可看作方程的两个根，解得．

又∵，∴．又由（*）式知

因此，．

五、小结：

1．运用同角三角函数关系式化简、证明。

2．常用的变形措施有：

大角化小，切割化弦等。

六、作业：

2019-2020年高中数学《任意角的三角函数诱导公式》教案苏教版必修4

三角函数的诱导公式

（1）

1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；

2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；

3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。

1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；

2．应用诱导公式二、三的推导。

1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；

2．诱导公式一及其用途：

问：

由公式一把任意角转化为内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？

我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。

1．引入：

对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：

所以，我们只需研究

的同名三角函数的关系即研究了的关系了。

2．诱导公式二：

提问：

（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？

（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标。

（3）任意角与呢？

通过图演示，可以得到：

任意与的终边都是关于原点中心对称的。

则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：

，；

从而，我们得到诱导公式二：

；

①公式二中的指任意角；

②若是弧度制，即有，；

③公式特点：

函数名不变，符号看象限；

④可以导出正切：

（此公式要使等式两边同时有意义）

3．诱导公式三：

（1）的终边与的终边位置关系如何？

从而得出应先研究；

（2）任何角与的终边位置关系如何？

对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，

即得：

诱导公式三：

②在角度制和弧度制下，公式都成立；

函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；

4．例题分析：

例1求下列三角函数值：

（1）；

（2）．

分析：

先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函

数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角

的三角函数的值。

（1）

（诱导公式一）

（诱导公式二）

（2）（诱导公式三）

方法小结：

用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：

①化负角的三角函数为正角的三角函数；

②化为内的三角函数；

③化为锐角的三角函数。

可概括为：

“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。

例2化简

1．简述数学的化归思想；

2．两个诱导公式的推导和记忆；

3．公式二可以将范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；

4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。

1.2.3三角函数的诱导公式

（2）

三角函数的诱导公式

（2）

1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；

2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；

3．加深理解化归思想。

五组诱导公式的记忆、理解、运用。

1．复习诱导公式一、二、三；

2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。

1．公式推导：

我们继续推导公式：

即的同名三角函数的关系。

（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。

（2）启发学生讨论：

能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。

[推导过程]

[结论]诱导公式四：

诱导公式五：

2．五组诱导公式：

五组公式可概括如下：

的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。

（1）要化的角的形式为（为常整数）；

（2）记忆方法：

“函数名不变，符号看象限”；

（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。

其化简方向仍为：

“负化正，大化小，化到锐角为终了”。

3．例题分析：

（2）．

（2）

例2化简：

（1）原式

（2）原式

1．五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”；

2．求任意角的三角函数值的一般步骤；

3．熟练运用公式化简、求值。

1.2.3三角函数的诱导公式（3）

三角函数的诱导公式（3）

1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；

2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；

3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。

1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；

2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。

1．复习五组诱导公式（包括正切）；

2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；

3．求任意角的三角函数的一般步骤。

4．练习：

（1）化简：

课本32页的练习第4题；

（2）求值：

①

．（答案）

②

（3）证明：

结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。

例1已知：

，求

的值。

∵，

∴原式

第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。

变式训练：

已知：

，求的值。

解答：

，原式

同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用。

例2已知，且是第四象限角，求

由已知得：

，∴原式．

关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论。

将例2中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？

原式，

∵为负值，∴是第三、四象限角。

当是第三象限角时，．∴原式．

当是第四象限角时，即为上例。

抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。

例3化简

①当时，

②当时，

关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。

1．熟练运用公式化简、求值、证明；

2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。

补充：

1．化简；

2．化简

且；