数学选修22人教A讲义第三章 数系的扩充与复数的引入311Word文档下载推荐.docx

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3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．（　√　）

类型一　复数的概念

例1　

（1）给出下列几个命题：

①若z∈C，则z2≥0；

②2i－1虚部是2i；

③2i的实部是0；

④若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

⑤实数集的补集是虚数集．

其中真命题的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

（2）已知复数z＝a2－（2－b）i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是________．

考点　复数的概念

题点　复数的概念及分类

答案　

（1）C　

（2）±

，5

解析　

（1）令z＝i∈C，则i2＝－1<

0，故①不正确．

②中2i－1的虚部应是2，故②不正确．

④当a＝0时，ai＝0为实数，故④不正确，

∴只有③，⑤正确．

（2）由题意知

∴a＝±

，b＝5.

反思与感悟　

（1）复数的代数形式：

若z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.

（2）不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．

（3）举反例：

判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

跟踪训练1　下列命题：

①若a∈R，则（a＋1）i是纯虚数；

②若（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±

2；

③实数集是复数集的真子集．

其中正确说法的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　对于复数a＋bi（a，b∈R），当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则（a＋1）i不是纯虚数，故①错误．对于②，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时（x2－4）＋（x2＋3x＋2）i＝0，不是纯虚数，故②错误．显然，③正确．故选B.

类型二　复数的分类

例2　求当实数m为何值时，z＝

＋（m2＋5m＋6）i分别是

（1）虚数；

（2）纯虚数．

题点　由复数的分类求未知数

解　

（1）复数z是虚数的充要条件是

⇔m≠－3且m≠－2.

∴当m≠－3且m≠－2时，复数z是虚数．

（2）复数z是纯虚数的充要条件是

⇔

⇔m＝3.

∴当m＝3时，复数z是纯虚数．

引申探究

1．若本例条件不变，m为何值时，z为实数．

解　由已知得，复数z的实部为

，

虚部为m2＋5m＋6.

复数z是实数的充要条件是

⇔m＝－2.

∴当m＝－2时，复数z是实数．

2．已知i是虚数单位，m∈R，复数z＝

＋（m2－2m－15）i，则当m＝________时，z为纯虚数．

答案　3或－2

解析　由题意知

解得m＝3或－2.

反思与感悟　利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．

跟踪训练2　当实数m为何值时，复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是

（1）纯虚数；

（2）实数．

考点　复数的分类

解　

（1）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是纯虚数，

则

解得m＝4.

（2）复数lg（m2－2m－7）＋（m2＋5m＋6）i是实数，

解得m＝－2或m＝－3.

类型三　复数相等

例3　

（1）已知x0是关于x的方程x2－（2i－1）x＋3m－i＝0（m∈R）的实根，则m的值是________．

考点　复数相等

题点　由复数相等求参数

答案　

解析　由题意，得x

－（2i－1）x0＋3m－i＝0，

即（x

＋x0＋3m）＋（－2x0－1）i＝0，

由此得

⇒m＝

.

（2）已知A＝{1,2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．

解　由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），

所以

即

所以a＝－1.

反思与感悟　

（1）在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不成立．

（2）利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．

跟踪训练3　复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.

答案　5

解析　因为m∈R，z1＝z2，

所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.

由复数相等的充要条件得

解得m＝5.

1．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi等于（　　）

A．－2＋iB．2＋i

C．1－2iD．1＋2i

解析　由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.

2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（　　）

A．－1B．2

C．1D．－1或2

答案　D

解析　因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，

所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.

3．下列几个命题：

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；

③1－ai（a∈R）是一个复数；

④虚数的平方不小于0；

⑤－1的平方根只有一个，即为－i；

⑥i是方程x4－1＝0的一个根；

⑦

i是一个无理数．

A．3B．4C．5D．6

解析　命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．

4．已知复数z＝a2＋（2a＋3）i（a∈R）的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________________．

答案　（－∞，－1）∪（3，＋∞）

解析　由已知可得a2>

2a＋3，即a2－2a－3>

0，

解得a>

3或a<

－1，

因此，实数a的取值范围是{a|a>

－1}．

5．若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>

1，则实数x的值是________．

答案　－2

得x＝－2.

1．对于复数z＝a＋bi（a，b∈R），可以限制a，b的值得到复数z的不同情况．

2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.

一、选择题

1．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析　因为a，b∈R，当“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数，也可能b＝0，即a＋bi＝0∈R”．

而当“复数a＋bi是纯虚数”，则“a＝0”一定成立．

所以a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要不充分条件．

2．以－

＋2i的虚部为实部，以

i＋2i2的实部为虚部的新复数是（　　）

A．2－2iB．－

＋

i

C．2＋iD.

题点　求复数的实部和虚部

答案　A

解析　设所求新复数z＝a＋bi（a，b∈R），

由题意知复数－

＋2i的虚部为2，复数

i＋2i2＝

i＋2×

（－1）＝－2＋

i的实部为－2，则所求的z＝2－2i.故选A.

3．若（x＋y）i＝x－1（x，y∈R），则2x＋y的值为（　　）

A.

B．2C．0D．1

解析　由复数相等的充要条件知，

解得

∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.

4．下列命题中：

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；

②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；

③若（z1－z2）2＋（z2－z3）2＝0，则z1＝z2＝z3.

正确命题的个数是（　　）

解析　①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错；

②③错，故选A.

5．若sin2θ－1＋i（

cosθ＋1）是纯虚数，则θ的值为（　　）

A．2kπ－

（k∈Z）B．2kπ＋

（k∈Z）

C．2kπ±

（k∈Z）D.

π＋

解析　由题意，得

（k∈Z），∴θ＝2kπ＋

，k∈Z.

6．若复数z＝

i是纯虚数（i为虚数单位），则tan

的值为（　　）

A．7B．－

C．－7D．－7或－

答案　C

解析　∵复数z＝

i是纯虚数，

∴cosθ－

＝0，sinθ－

≠0，

∴sinθ＝－

，∴tanθ＝－

则tan

＝

＝－7.

7．已知关于x的方程x2＋（m＋2i）x＋2＋2i＝0（m∈R）有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于（　　）

A．3＋iB．3－i

C．－3－iD．－3＋i

解析　由题意知n2＋（m＋2i）n＋2＋2i＝0，

∴z＝3－i，故选B.

二、填空题

8．设m∈R，m2＋m－2＋（m2－1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.

解析　由

即m＝－2.

9．已知z1＝（m2＋m＋1）＋（m2＋m－4）i，m∈R，z2＝3－2i.则m＝1是z1＝z2的______条件．

答案　充分不必要

解析　当z1＝z2时，必有m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，显然m＝1是z1＝z2的充分不必要条件．

10．已知复数z＝m2（1＋i）－m（m＋i）（m∈R），若z是实数，则m的值为________．

答案　0或1

解析　z＝m2＋m2i－m2－mi＝（m2－m）i，

所以m2－m＝0，所以m＝0或1.

11．复数z＝（a2－2a－3）＋（|a－2|－1）i不是纯虚数，则实数a的取值范围是________________．

答案　（－∞，－1）∪（－1，＋∞）

解析　若复数z＝（a2－2a－3）＋（|a－2|－1）i是纯虚数，则a2－2a－3＝0，|a－2|－1≠0，解得a＝－1，∴当a≠－1时，复数z＝（a2－2a－3）＋（|a－2|－1）i不是纯虚数．

12．已知log

（m＋n）－（m2－3m）i≥－1，且n∈N*，则m＋n＝________.

答案　1或2

解析　由题意得

由②，得m＝0或m＝3.

当m＝0时，由

（m＋n）≥－1，得0<

n≤2，

∴n＝1或n＝2.

当m＝3时，由

n＋3≤2，

∴－3<

n≤－1，即n无自然数解．

∴m，n的值分别为m＝0，n＝1或m＝0，n＝2.

故m＋n的值为1或2.

三、解答题

13．实数m为何值时，复数z＝

＋（m2＋2m－3）i分别是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

解　

（1）要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且

有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

（2）要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且

有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

（3）要使z是纯虚数，m需满足

＝0，m－1≠0，

且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.

四、探究与拓展

14．定义运算

＝ad－bc，如果（x＋y）＋（x＋3）i＝

，求实数x，y的值．

解　由定义运算

＝ad－bc，

得

＝3x＋2y＋yi，

故有（x＋y）＋（x＋3）i＝3x＋2y＋yi.

因为x，y为实数，所以

得x＝－1，y＝2.

15．已知集合M＝{（a＋3）＋（b2－1）i,8}，集合N＝{3i，（a2－1）＋（b＋2）i}满足M∩N⊆M，且M∩N≠∅，求整数a，b的值．

解　由题意，得（a＋3）＋（b2－1）i＝3i，①

或8＝（a2－1）＋（b＋2）i，②

或（a＋3）＋（b2－1）i＝（a2－1）＋（b＋2）i.③

由①，得a＝－3，b＝±

2，

由②，得a＝±

3，b＝－2，

③中，a，b无整数解，不符合题意．

综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.