《数学模型》实验指导书通识版Word格式.docx
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b=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X）
[b,bint,r,rint,stats]=regress（y,X,alpha）
说明：
b=regress（y,X）返回X处y的最小二乘拟合值。
该函数求解线性模型：
y=Xβ+ε
β是p1的参数向量；
ε是服从标准正态分布的随机干扰的n1的向量；
y为n1的向量；
X为np矩阵。
bint返回β的95%的置信区间。
r中为形状残差，rint中返回每一个残差的95%置信区间。
Stats向量包含R2统计量、回归的F值和p值。
例1：
设y的值为给定的x的线性函数加服从标准正态分布的随机干扰值得到。
即y=10+x+ε；
求线性拟合方程系数。
程序：
x=[ones（10,1）（1:
10）’]
y=x*[10;
1]+normrnd（0,0.1,10,1）
[b,bint]=regress（y,x,0.05）
结果：
x=
11
12
13
14
15
16
17
18
19
110
y=
10.9567
11.8334
13.0125
14.0288
14.8854
16.1191
17.1189
17.9962
19.0327
20.0175
b=
9.9213
1.0143
bint=
9.788910.0537
0.99301.0357
即回归方程为：
y=9.9213+1.0143x
1.2
多项式曲线拟合函数：
polyfit（）
p=polyfit（x,y,n）
[p,s]=polyfit（x,y,n）
x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。
矩阵s用于生成预测值的误差估计。
（见下一函数polyval）
例2：
由离散数据
x
.1
.2
.3
.4
.5
.6
.7
.8
.9
y
1.4
1.6
1.9
1.5
拟合出多项式。
x=0:
.1:
1;
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
p=polyfit（x,y,n）
xi=linspace（0,1,100）;
z=polyval（p,xi）;
%多项式求值
plot（x,y,’o’,xi,z,’k:
’,x,y,’b’）
legend（‘原始数据’,’3阶曲线’）
p=
16.7832-25.745910.9802-0.0035
多项式为：
16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.0035
曲线拟合图形：
也可由函数给出数据。
例3：
x=1:
20,y=x+3*sin（x）
x=1:
20;
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,6）
xi=1inspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;
%多项式求值函数
plot（x,y,’o’,xi,z,’k:
legend（‘原始数据’,’6阶曲线’）
0.0000-0.00210.0505-0.59713.6472-9.729511.3304
再用10阶多项式拟合
程序：
y=x+3*sin（x）;
p=polyfit（x,y,10）
xi=linspace（1,20,100）;
z=polyval（p,xi）;
plot（x,y,'
o'
xi,z,'
k:
'
x,y,'
b'
）
legend（'
原始数据'
'
10阶多项式'
Columns1through7
0.0000-0.00000.0004-0.01140.1814-1.806511.2360
Columns8through11
-42.086188.5907-92.815540.2671
可用不同阶的多项式来拟合数据，但也不是阶数越高拟合的越好。
1.3多项式曲线求值函数：
polyval（）
y=polyval（p,x）
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）
y=polyval（p,x）为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y
DELTA。
它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。
则Y
DELTA将至少包含50%的预测值。
1.4多项式曲线拟合的评价和置信区间函数：
polyconf（）
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s）使用polyfit函数的选项输出s给出Y的95%置信区间Y
1-alpha为置信度。
例4：
给出上面例1的预测值及置信度为90%的置信区间。
x=0:
y=[.3.511.41.61.9.6.4.81.52]
n=3;
[p,s]=polyfit（x,y,n）
alpha=0.05;
[Y,DELTA]=polyconf（p,x,s,alpha）
结果：
p=
16.7832-25.745910.9802-0.0035
s=
R:
[4x4double]
df:
7
normr:
1.1406
Y=
-0.00350.85381.29701.42661.34341.14800.9413
0.82380.89631.25942.0140
DELTA=
1.36391.15631.15631.15891.13521.12021.1352
1.15891.15631.15631.3639
1.5.
稳健回归函数：
robust（）
稳健回归是指此回归方法相对于其他回归方法而言，受异常值的影响较小。
b=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y）
[b,stats]=robustfit（x,y,’wfun’,tune,’const’）
b返回系数估计向量；
stats返回各种参数估计；
’wfun’指定一个加权函数；
tune为调协常数；
’const’的值为’on’（默认值）时添加一个常数项；
为’off’时忽略常数项。
例5：
演示一个异常数据点如何影响最小二乘拟合值与稳健拟合。
首先利用函数y=10-2x加上一些随机干扰的项生成数据集，然后改变一个y的值形成异常值。
调用不同的拟合函数，通过图形观查影响程度。
x=（1:
10）’;
y=10-2*x+randn（10,1）;
y（10）=0;
bls=regress（y,[ones（10,1）x]）%线性拟合
brob=robustfit（x,y）%稳健拟合
scatter（x,y）
holdon
plot（x,bls
（1）+bls
（2）*x,’:
’）
plot（x,brob
（1）+brob
（2）*x,’r‘）
结果：
bls=
8.4452
-1.4784
brob=
10.2934
-2.0006
分析：
稳健拟合（实线）对数据的拟合程度好些，忽略了异常值。
最小二乘拟合（点线）则受到异常值的影响，向异常值偏移。
1.6自定义函数拟合
对于给定的数据，根据经验拟合为带有待定常数的自定义函数。
所用函数：
nlinfit（）
[beta,r,J]=nlinfit（X,y,’fun’,betao）
beta返回函数’fun’中的待定常数；
r表示残差；
J表示雅可比矩阵。
X,y为数据；
‘fun’自定义函数；
beta0待定常数初值。
例6：
在化工生产中获得的氯气的级分y随生产时间x下降，假定在x≥8时，y与x之间有如下形式的非线性模型：
现收集了44组数据，利用该数据通过拟合确定非线性模型中的待定常数。
xyxyxy
80.49160.43280.41
80.49180.46280.40
100.48180.45300.40
100.47200.42300.40
100.48200.42300.38
100.47200.43320.41
120.46200.41320.40
120.46220.41340.40
120.45220.40360.41
120.43240.42360.36
140.45240.40380.40
140.43240.40380.40
140.43260.41400.36
160.44260.40420.39
160.43260.41
首先定义非线性函数的m文件：
model.m
functionyy=model（beta0,x）
a=beta0
（1）;
b=beta0
（2）;
yy=a+（0.49-a）*exp（-b*（x-8））;
x=[8.008.0010.0010.0010.0010.0012.0012.0012.0014.0014.0014.00...
16.0016.0016.0018.0018.0020.0020.0020.0020.0022.0022.0024.00...
24.0024.0026.0026.0026.0028.0028.0030.0030.0030.0032.0032.00...
34.0036.0036.0038.0038.0040.0042.00]'
;
y=[0.490.490.480.470.480.470.460.460.450.430.450.430.430.440.43...
0.430.460.420.420.430.410.410.400.420.400.400.410.400.410.41...
0.400.400.400.380.410.400.400.410.380.400.400.390.39]'
beta0=[0.300.02];
betafit=nlinfit（x,y,'
model'
beta0）
betafit=
0.3896
0.1011
即：
a=0.3896，b=0.1011拟合函数为：
。
2插值问题
在应用领域中，由有限个已知数据点，构造一个解析表达式，由此计算数据点之间的函数值，称之为插值。
2.1一元插值
一元插值是对一元数据点（xi,yi）进行插值。
线性插值：
由已知数据点连成一条折线，认为相临两个数据点之间的函数值就在这两点之间的连线上。
一般来说，数据点数越多，线性插值就越精确。
yi=interp1（x,y,xi,’linear’）%线性插值
zi=interp1（x,y,xi,’spline’）%三次样条插值
wi=interp1（x,y,xi,’cubic’）%三次多项式插值
yi、zi、wi为对应xi的不同类型的插值。
x、y为已知数据点。
已知数据：
求当xi=0.25时的yi的值。
x=0:
y=[.3.511.41.61.6.4.81.52];
yi0=interp1（x,y,0.025,'
linear'
xi=0:
.02:
yi=interp1（x,y,xi,'
）;
zi=interp1（x,y,xi,'
spline'
wi=interp1（x,y,xi,'
cubic'
xi,yi,'
r+'
xi,zi,'
g*'
xi,wi,'
k.-'
原始点'
线性点'
三次样条'
三次多项式'
yi0=0.3500
要得到给定的几个点的对应函数值，可用：
xi=[0.25000.35000.4500]
yi=1.20881.58021.3454
2.2二元插值
二元插值与一元插值的基本思想一致，对原始数据点（x,y,z）构造见世面函数求出插值点数据（xi,yi,zi）。
单调节点插值函数，即x,y向量是单调的。
调用格式1：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’linear’）
‘liner’是双线性插值（缺省）
调用格式2：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’nearest’）
’nearest’是最近邻域插值
调用格式3：
zi=interp2（x,y,z,xi,yi,’spline’）
‘spline’是三次样条插值
这里x和y是两个独立的向量，它们必须是单调的。
z是矩阵，是由x和y确定的点上的值。
z和x,y之间的关系是z（i,:
）=f（x,y（i））z（:
j）=f（x（j）,y）即：
当x变化时，z的第i行与y的第i个元素相关，当y变化时z的第j列与x的第j个元素相关。
如果没有对x,y赋值，则默认x=1:
n,y=1:
m。
n和m分别是矩阵z的行数和列数。
已知某处山区地形选点测量坐标数据为：
x=00.511.522.533.544.55
y=00.511.522.533.544.555.56
海拔高度数据为：
z=8990878592919693908782
9296989995918986848284
9698959290888584838185
8081828995969392898686
8285879899969788858283
8285899495939291868488
8892939495898786838192
9296979896939584828184
8585818280808185909395
8486819899989796958487
8081858283848790958688
8082818485868382818082
8788899899979698949287
其地貌图为：
对数据插值加密形成地貌图。
.5:
5;
y=0:
6;
z=[8990878592919693908782
8788899899979698949287];
mesh（x,y,z）%绘原始数据图
xi=linspace（0,5,50）;
%加密横坐标数据到50个
yi=linspace（0,6,80）;
%加密纵坐标数据到60个
[xii,yii]=meshgrid（xi,yi）;
%生成网格数据
zii=interp2（x,y,z,xii,yii,'
%插值
mesh（xii,yii,zii）%加密后的地貌图
holdon%保持图形
[xx,yy]=meshgrid（x,y）;
plot3（xx,yy,z+0.1,’ob’）%原始数据用‘O’绘出
2.3二元非等距插值
zi=griddata（x,y,z,xi,yi,’指定插值方法’）
插值方法有：
linear%线性插值（默认）
bilinear%双线性插值
cubic%三次插值
bicubic%双三次插值
nearest%最近邻域插值
例：
用随机数据生成地貌图再进行插值
x=rand（100,1）*4-2;
y=rand（100,1）*4-2;
z=x.*exp（-x.^2-y.^2）;
ti=-2:
.25:
2;
[xi,yi]=meshgrid（ti,ti）;
%加密数据
zi=griddata（x,y,z,xi,yi）;
%线性插值
mesh（xi,yi,zi）
plot3（x,y,z,'
该例中使用的数据是随机形成的，故函数griddata可以处理无规则的数据。
实验三数学规划与Lingo程序设计
奶制品的生产与销售
一、实验问题
一加工厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲设备上用12小时生产成3公斤A1，或者在乙设备上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1,A2全部可以销售出去。
每公斤A1可获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天可以有50桶牛奶，每天正式工人总劳动时间为480小时，且甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有上限。
为增加工厂的获利，工厂开发了奶制品的深加工技术：
用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1，也可将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2；
每公斤B1能获利44元，每公斤B2能获利32元．试为该厂制订一个生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：
1）若投资30元可以增加供应1桶牛奶，投资3元可以增加1小时劳动时间，应否作这些投资?
若每天投资150元，可赚回多少?
2）每公斤高级奶制品B1，B2的获利经常有10％的波动，对制订的生产销售计划有无影响?
若每公斤B1的获利下降10％，计划应该变化吗?
二、实验目的：
1）学会lingo软件的基本使用方法。
2）加强学生对数学规划的认识和理解；
培养学生建模的能力。
三、LINGO预备知识
1.LINGO入门
当你在windows下运行LINGO系统,窗口外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。
在主窗口内的标题为LINGOModel–LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。
例1.1如何在LINGO中求解如下的LP问题：
在模型窗口中输入如下代码：
model:
max=72*x1+64*x2;
[milk]x1+x2<
50;
[time]12*x1+8*x2<
480;
[cpct]3*x1<
100;
end
注意：
模型输入lingo软件时，乘号‘*’不能省略，每句结束时必须加‘；
’。
默认所有变量为非负，大于号和大于等于、小于号和小于等于等价。
最后以‘end’结束。
2基本运算符及函数
2.1.算术运算符
算术运算符是针对数值进行操作的。
LINGO提供了5种二元运算符：
＾乘方
﹡乘
／除
﹢加
﹣减
LINGO唯一的一元算术运算符是取反函数“﹣”。
这些运算符的优先级由高到底为：
高﹣（取反）
＾
﹡／
低﹢﹣
运算符的运算次序为从左到右按优先级高低来执行。
运算的次序可以用圆括号“（）”来改变。
2.2变量界定函数
变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共4种：
@bin（x）限制x为0或1
@bnd（L,x,U）限制L≤x≤U
@f
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