高中数学总结Word文档下载推荐.docx

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则是的充分非必要条件；

则是的必要非充分条件；

则是的充要条件；

则是的既非充分又非必要条件；

7.对映射的概念了解吗？

映射f：

A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？

（一对一，多对一，允许B中有元素无原象。

注意映射个数的求法。

如集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从A到B的映射个数有nm个。

如：

若，；

问：

到的映射有个，到的映射有个；

到的函数有个，若，则到的一一映射有个。

函数的图象与直线交点的个数为个。

8.函数的三要素是什么？

如何比较两个函数是否相同？

（定义域、对应法则、值域）

相同函数的判断方法：

①表达式相同；

②定义域一致（两点必须同时具备）

9.求函数的定义域有哪些常见类型？

函数定义域求法：

?

分式中的分母不为零；

偶次方根下的数（或式）大于或等于零；

指数式的底数大于零且不等于一；

对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

正切函数

余切函数

反三角函数的定义域

函数y＝arcsinx的定义域是[－1,1]　，值域是，函数y＝arccosx的定义域是[－1,1]，值域是[0,π]，函数y＝arctgx的定义域是R，值域是.，函数y＝arcctgx的定义域是R，值域是（0,π）.

当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。

10.如何求复合函数的定义域？

义域是_____________。

复合函数定义域的求法：

已知的定义域为，求的定义域，可由解出x的范围，即为的定义域。

例若函数的定义域为，则的定义域为。

分析：

由函数的定义域为可知：

；

所以中有。

解：

依题意知：

解之，得

∴　的定义域为

11、函数值域的求法

1、直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例求函数y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面

下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂

4、反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例求函数y=值域。

5、函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

例求函数y=，，的值域。

6、函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容

例求函数y=（2≤x≤10）的值域

7、换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角

函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发

挥作用。

例求函数y=x+的值域。

8数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这

类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例：

已知点P（x.y）在圆x2+y2=1上，

例求函数y=+的值域。

原函数可化简得：

y=∣x-2∣+∣x+8∣

上式可以看成数轴上点P（x）到定点A

（2），B（-8）间的距离之和。

由上图可知：

当点P在线段AB上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，

y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10

故所求函数的值域为：

[10，+∞）

例求函数y=+的值域

原函数可变形为：

y=+

上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2，-1）的距离之和，

由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y=∣AB∣==，

故所求函数的值域为[，+∞）。

例求函数y=-的值域

将函数变形为：

y=-

上式可看成定点A（3，2）到点P（x，0）的距离与定点B（-2，1）到点P（x，0）的距离之差。

即：

y=∣AP∣-∣BP∣

由图可知：

（1）当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P1，则构成△ABP1，根据三角形两边之差小于第三边，

有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣==

-＜y＜

（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。

综上所述，可知函数的值域为：

（-，-）。

注：

求两距离之和时，要将函数式变形，使A，B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使两点A，B在x轴的同侧。

9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

多种方法综合运用

总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

12.求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？

切记：

做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂

13.反函数存在的条件是什么？

（一一对应函数）

求反函数的步骤掌握了吗？

（①反解x；

②互换x、y；

③注明定义域）

在更多时候，反函数的求法只是在选择题中出现，这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了大方便。

请看这个例题：

（2004.全国理）函数的反函数是（B）

A．y=x2－2x+2（x<

1）B．y=x2－2x+2（x≥1）

C．y=x2－2x（x<

1）D．y=x2－2x（x≥1）

当然，心情好的同学，可以自己慢慢的计算，我想，一番心血之后，如果不出现计算问题的话，答案还是可以做出来的。

可惜，这个不合我胃口，因为我一向懒散惯了，不习惯计算。

下面请看一下我的思路：

原函数定义域为x〉=1，那反函数值域也为y>

=1.排除选项C,D.现在看值域。

原函数至于为y>

=1,则反函数定义域为x>

=1,答案为B.

我题目已经做完了，好像没有动笔（除非你拿来写*书）。

思路能不能明白呢？

14.反函数的性质有哪些？

反函数性质：

1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的x对应原函数中的y）

2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y对应原函数中的x）

3、反函数的图像和原函数关于直线=x对称（难怪点（x,y）和点（y，x）关于直线y=x对称

①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；

②保存了原来函数的单调性、奇函数性；

由反函数的性质，可以快速的解出很多比较麻烦的题目，如

（04.上海春季高考）已知函数，则方程的解__________.1

对于这一类题目，其实方法特别简单，呵呵。

已知反函数的y,不就是原函数的x吗？

那代进去阿，答案是不是已经出来了呢？

（也可能是告诉你反函数的x值，那方法也一样，呵呵。

自己想想，不懂再问我

15.如何用定义证明函数的单调性？

（取值、作差、判正负）

判断函数单调性的方法有三种：

（1）定义法：

根据定义，设任意得x1,x2，找出f（x1）,f（x2）之间的大小关系

可以变形为求的正负号或者与1的关系

（2）参照图象：

①若函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间具有相同的单调性；

（特例：

奇函数）

②若函数f（x）的图象关于直线x＝a对称，则函数f（x）在关于点（a，0）的对称区间里具有相反的单调性。

（特例：

偶函数）

（3）利用单调函数的性质：

①函数f（x）与f（x）＋c（c是常数）是同向变化的

②函数f（x）与cf（x）（c是常数），当c＞0时，它们是同向变化的；

当c＜0时，它们是反向变化的。

③如果函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）＋f2（x）和它们同向变化；

（函数相加）

④如果正值函数f1（x），f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们同向变化；

如果负值函数f1

（2）与f2（x）同向变化，则函数f1（x）f2（x）和它们反向变化；

（函数相乘）

⑤函数f（x）与在f（x）的同号区间里反向变化。

⑥若函数u＝φ（x），x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β）,φ（α）]同向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递增的；

若函数u＝φ（x）,x[α，β]与函数y＝F（u），u∈[φ（α），φ（β）]或u∈[φ（β），φ（α）]反向变化，则在[α，β]上复合函数y＝F[φ（x）]是递减的。

（同增异减）

⑦若函数y＝f（x）是严格单调的，则其反函数x＝f－1（y）也是严格单调的，而且，它们的增减性相同。

f（g）g（x）f[g（x）]f（x）+g（x）f（x）*g（x）都是正数

增增增增增

增减减//

减增减//

减减增减减

∴……）

16.如何利用导数判断函数的单调性？

值是（）

A.0B.1C.2D.3

∴a的最大值为3）

17.函数f（x）具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？

（f（x）定义域关于原点对称）

注意如下结论：

（1）在公共定义域内：

两个奇函数的乘积是偶函数；

两个偶函数的乘积是偶函数；

一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

判断函数奇偶性的方法

一、定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.

.

二、奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

三、复合函数奇偶性

f（g）g（x）f[g（x）]f（x）+g（x）f（x）*g（x）

奇奇奇奇偶

奇偶偶非奇非偶奇

偶奇偶非奇非偶奇

偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函数的定义吗？

函数，T是一个周期。

我们在做题的时候，经常会遇到这样的情况：

告诉你f（x）+f（x+t）=0,我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t.推导：

，

同时可能也会遇到这种样子：

f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）.其实这都是说同样一个意思：

函数f（x）关于直线对称，对称轴可以由括号内的2个数字相加再除以2得到。

比如，f（x）=f（2a-x）,或者说f（a-x）=f（a+x）就都表示函数关于直线x=a对称。

如：

19.你掌握常用的图象变换了吗？

联想点（x,y）,（-x,y）

联想点（x,y）,（x,-y）

联想点（x,y）,（-x,-y）

联想点（x,y）,（y,x）

联想点（x,y）,（2a-x,y）

联想点（x,y）,（2a-x,0）

（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。

对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。

你要判断函数y-b=f（x+a）怎么由y=f（x）得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,画出点的坐标。

看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。

注意如下“翻折”变换：

19.你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？

（k为斜率，b为直线与y轴的交点）

的双曲线。

应用：

①“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系——二次方程

②求闭区间［m，n］上的最值。

③求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

④一元二次方程根的分布问题。

由图象记性质！

（注意底数的限定！

利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？

（均值不等式一定要注意等号成立的条件）

20.你在基本运算上常出现错误吗？

21.如何解抽象函数问题？

（赋值法、结构变换法）

（对于这种抽象函数的题目，其实简单得都可以直接用死记了

1、代y=x，

2、令x=0或1来求出f（0）或f

（1）

3、求奇偶性，令y=—x；

求单调性：

令x+y=x1

几类常见的抽象函数

1.正比例函数型的抽象函数

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±

y）＝f（x）±

f（y）

2.幂函数型的抽象函数

f（x）＝xa----------------f（xy）＝f（x）f（y）；

f（）＝

3.指数函数型的抽象函数

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；

f（x－y）＝

4.对数函数型的抽象函数

f（x）＝logax（a>

0且a≠1）-----f（x?

y）＝f（x）＋f（y）；

f（）＝f（x）－f（y）

5.三角函数型的抽象函数

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝

f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>

0时，f（x）>

0，f（－1）＝－2求f（x）在区间[－2,1]上的值域.

先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；

再根据区间求其值域.

例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>

2，f（3）＝5，求不等式f（a2－2a－2）<

3的解.

先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；

再求出f

（1）＝3；

最后脱去函数符号.

例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；

（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.

（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（?

x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.

例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：

存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；

对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：

（1）f（0）；

（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.

（1）令x=y＝0；

（2）令y＝x≠0.

例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：

①f（x）>

0,x∈N；

②f（a＋b）＝f（a）f（b），a、b∈N；

③f

（2）＝4.同时成立？

若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.

先猜出f（x）＝2x；

再用数学归纳法证明.

例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x?

y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：

（1）f

（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.

（1）利用3＝1×

3；

（2）利用函数的单调性和已知关系式.

例7设函数y＝f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）?

g（b）是否正确，试说明理由.

设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，

进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝f（ab）＝f[g（m）g（n）]….

例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：

①x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；

②f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；

③当0＜x＜2a时，f（x）＜0.

试问：

（1）f（x）的奇偶性如何？

说明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？

说明理由.

分析：

（1）利用f[－（x1－x2）]＝－f[（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；

（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数.

对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.

例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），

（1）求证：

f

（1）＝f（－1）＝0；

（2）求证：

f（x）为偶函数；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.

函数模型为：

f（x）＝loga|x|（a＞0）

（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；

（2）令y＝－1；

（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）.

例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）?

f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：

（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；

（2）f（x）在x∈R上是减函数.

（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；

（3）受指数函数单调性的启发：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，

进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.

练习题：

1.已知：

f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x、y都成立，则（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不对

2.若对任意实数x、y总有f（xy）＝f（x）＋f（y），则下列各式中错误的是（）

（A）f

（1）＝0（B）f（）＝f（x）

（C）f（）＝f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函数f（x）对一切实数x、y满足：

f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，则当x＞0时，f（x）的取值范围是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函数f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，则f（x）为（）

（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数

（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数

5.已知不恒为零的函数f（x）对任意实数x、y满足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，则函数f（x）是（）

参考答案：

1．A

2．B

3．C

4．A

5．B

23.你记得弧度的定义吗？

能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式和扇形面积公式吗？

（和三角形的面积公式很相似，可以比较记忆.要知道圆锥展开图面积的求法）