届湘赣十四校高三联考第二次考试数学理试题解析版.docx

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届湘赣十四校高三联考第二次考试数学理试题解析版届湘赣十四校高三联考第二次考试数学理试题解析版2019届湘赣十四校高三联考第二次考试数学（理）试题一、单选题1已知全集，集合，则（）ABCD【答案】D【解析】解二次不等式化简集合B，求出其补集，进而可得.【详解】因为，所以，所以.故选：

D【点睛】本题考查集合交并补运算，考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第四象限C第二象限D第三象限【答案】B【解析】利用复数代数形式的运算法则化简复数z，根据复数的几何意义得到结果.【详解】因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限.故选：

D【点睛】本题考查复数代数形式的运算，考查复数的几何意义，属于基础题.3下列说法正确的是（）A“，”是一个假命题B“若，则”是真命题C“或为真命题”是“且为真命题”的充分不必要条件D已知随机变量，若，则【答案】A【解析】利用特值法，向量垂直的定义，充分必要性的概念及正态分布知识判断正误.【详解】A选项，当时，故命题是假命题，A正确；B选项，当时，与不垂直；C选项，或为真命题说明和至少有一个为真命题，“且为真命题”说明和皆为真命题，“或为真命题”是“且为真命题”的必要不充分条件；D选项，根据正态密度曲线对称性可知：

.故选：

A【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到全称命题、平面向量垂直、充要条件、正态分布等知识，属于基础题.4已知是等差数列的前项和，若，则（）A40B14C36D80【答案】A【解析】利用等差数列的通项公式可得公差d，从而得到前5项和.【详解】设等差数列的公差为，.故选：

A【点睛】本题考查了等差数列的通项公式性质及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5已知，则多项式的展开式中的系数为（）A-56B-15C15D56【答案】C【解析】先利用定积分计算出n的值，并写出展开式的通项，求出相应的参数的值，代入即可求出所求项的系数【详解】，所以，故，所以，即，所以系数为.故选：

C【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，同时也考查了定积分的计算，考查公式的理解与应用，属于中等题6已知焦点在轴上的双曲线的离心率为，则的值为（）A-2BCD2【答案】A【解析】把双曲线方程化为标准形式，由离心率建立关于m的方程，从而得到m值.【详解】双曲线的标准方程为，故，所以.故选：

A【点睛】本题考查双曲线的标准方程及几何性质，考查离心率的计算，属于基础题.7如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该几何体的表面积为（）ABCD【答案】D【解析】由三视图知该几何体是三棱锥，且三棱锥的四个面中有两组全等的三角形，由此求出三棱锥的表面积【详解】由三视图还原几何体为如图所示的三棱锥，取的中点，连接，在中，.在中，.在中，.在中，.在中，.三棱锥的表面积为.故选：

D【点睛】本题考查了几何体三视图的应用问题，考查多面体的表面积的计算，由三视图还原出几何体是解题的关键8如图，在等腰三角形中，已知，阴影部分是以为直径的圆与以为直径的圆的公共部分，若在内部任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）ABCD【答案】C【解析】分别求出阴影的面积与三角形ABC的面积，作商即可得到结果.【详解】如图所示，取的中点，的中点，连接，设，在中，在扇形中，.故选：

C【点睛】本题考查几何概型中的面积概型，考查扇形面积公式，解题关键合理计算出阴影的面积.9已知等比数列的前项和（为常数），则数列的前项和为（）ABCD【答案】A【解析】由题意得到等比数列的通项，数列也是等比数列，结合等比数列前n项和公式得到结果.【详解】，当时，所以，即.所以，前项和.故选：

A【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10已知，若，则的最小值为（）A1B2CD【答案】B【解析】设，所以，所以，构建新函数，研究单调性与最值即可.【详解】设，所以，所以，令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.故选：

B【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题11过抛物线的焦点的直线交该抛物线于，两点，为坐标原点.若，则的面积为（）ABCD【答案】C【解析】由可得，设直线AB为，联立方程解出A，B的坐标，即可得到的面积.【详解】方法一：

易知直线的斜率存在，设为，由得.，又，或，从而.方法二：

由得，所以，或，从而.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查设而不求法，考查三角形面积的求法，考查计算能力与转化能力.二、填空题12若两个单位向量，的夹角为，则_【答案】【解析】利用平面向量运算法则及定义即可得到结果.【详解】.【点睛】本题考查平面向量的定义，平面向量运算法则，考查计算能力，属于基础题.13设实数，满足，则的最小值是_【答案】-2【解析】先画出满足约束条件的平面区域，然后分析的几何意义，进而得出最小值【详解】由约束条件作出可行域如图所示，设的坐标为，由图可得的坐标为时，取最小值，此时，所以的最小值为-2.故答案为：

-2【点睛】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案14已知有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为_.（请用数字作答）【答案】60【解析】利用“插空法“，先把没有人坐的4把椅子排好，形成5个间隔，然后插入有人坐的3把椅子即可得到答案【详解】第一步先把没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，共种，即60种坐法.故答案为：

60【点睛】本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排空座位，再插入是关键15已知函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，若为的一条对称轴，则_【答案】【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和平移变换求出结果【详解】设，则，则，即，又是的一条对称轴，即.故答案为：

【点睛】本题考查的知识要点：

三角函数关系式的恒等变换，函数图象的平移变换问题的应用，正弦型函数的对称性三、解答题16已知正方体中，为的中点，为正方形内的一个动点（含边界），且，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】设的中点为，则是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内），建立平面直角坐标系，把问题转化为，结合圆的几何性质得到结果.【详解】设的中点为，连接、，则在中，.是以为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形内）.以为原点建系如图所示，则，设的坐标为，则，.设点的坐标为，则.故选：

B【点睛】本题考查平面向量模长的最值问题，考查空间问题平面化的思想，考查利用代数方法处理平面问题的策略，属于中档题.17在三角形中，已知内角，所对的边分别为，.

（1）求边的长；

（2）若为直线上的一点，且，求.【答案】

（1）

（2）【解析】

（1）由，可得，又，从而可得，即，同时可知，故可得边的长；

（2）由，分两类情况，结合平面向量数量积的运算即可得到结果.【详解】

（1）方法一：

，.又，所以与平方相加得，即，或.又，为锐角，.，所以为等腰直角三角形，.方法二：

，为锐角，.，（也可以直接由得，即）.由正弦定理与余弦定理得：

，又，即.

（2）解法一：

（i）当时，；（ii）当时，.解法二：

（i）当时，在中，；（ii）当时，在中，.【点睛】本题主要考查了正余弦定理，考查了三角恒等变换、平面向量的混合运算，考查计算能力与转化能力，属于中档题.18在四棱锥中，底面为直角梯形，.

（1）若，求证：

平面；

（2）若平面平面，求二面角的余弦值.【答案】

（1）见证明；

（2）【解析】

（1）要证平面，即证，；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建系如图所示，求出两个半平面的法向量，代入公式即可得到结果.【详解】

（1）在中，在中，即，.又，.（也可以在中用余弦定理先求出，再用勾股定理说明），又，平面.

（2）在平面内，过作的垂线，平面平面，平面平面，平面，两两垂直，以为原点，为轴，为轴，为轴建系如图所示，则、，设平面的法向量，则，取.设平面的法向量为，则，取.，又由图可得二面角为锐角，二面角的余弦值为.【点睛】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：

（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；

（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19我国2019年新年贺岁大片流浪地球自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为流浪地球好看的概率为，女性观众认为流浪地球好看的概率为.某机构就流浪地球是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.

（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；

（2）设表示这4名观众中认为流浪地球好看的人数，求的分布列与数学期望.【答案】

（1）

（2）见解析【解析】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.

（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,从而可得结果；

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望.【详解】设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，则，.

（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则,.

（2）的可能取值为0，1，2，3，4，=，,，,，的分布列为01234.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是:

“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布XB（n，p），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）np）求得.20已知椭圆：

的离心率为，左焦点为，点是椭圆上位于轴上方的一个动点，当直线的斜率为1时，.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆的另外一个交点为，点关于轴的对称点为，求面积的最大值.【答案】

（1）

（2）【解析】

（1）由题意可得，从而得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为联立方程利用韦达定理表示面积，结合均值不等式即可得到最值.【详解】

（1）方法一：

，又，.当直线的斜率为1时，直线通过椭圆的上顶点，.又，椭圆的方程为.方法二：

设椭圆的右焦点为，在中，即.又，.联立有，又，.椭圆的方程为.方法三：

，又，.椭圆的方程可化为，即.又直线的方程为.联立有，即，或.直线的斜率为1且在轴上方，的坐标为.，又，.椭圆的方程为.

（2）在轴上方，直线的斜率不为0，设直线的方程为.，三点能构成三角形，直线不垂直于轴，设的坐标为，的坐标为，则的坐标为.联立，有，即，.方法一：

，当且仅当即时取等号.面积的最大值为.方法二：

直线的方程为，令，则，直线过定点，设定点为，则，当且仅当即时取等号.面积的最大值为.【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：

（1）几何法：

若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

（2）代数法：