层次分析法概述Word下载.docx

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Wn/W2...

Wn/Wn

若以矩阵A来表示各物体的这种相互重量尖系，即

则A称为判断矩阵。

若取重量向量W=（Wi,W2,|l（,Wn）T?

则有

!

w/W

W-,/W2

III

Wl/Wn-

A=

—*

W2/W2

HI

W2/Wn

1

■■h

b

/

lwng

Wn/W2

w/w

nn

AW=nW

于是w是判断矩阵A的特征向量，n是A的一个特征值。

基本原理如果有一组物体，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵；

然后通过求解判断矩阵的最大特征值入max和它所对应的特征向量，就可以得出这一组物体的相对重量°

在复杂的决策问题研究中，对于一些无法度量的因素，只要引入合理的度量标度，通过构造判断矩阵，就可以用这种方法来度量各因素之间的相对重要，性，从而为有尖决策提供依据。

四、层次分析法的基本步骤

层次分析法为相互矢联、相互制约的众多因素构成的复杂而往往缺少定量数据的系统的决策和排序提供了一种新的简洁而实用的建模方法。

运用层次分析法，大体上可按下面五个步骤进行：

1•递阶层次结构的建立与特点

应用层次分析法分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一

个有层次的结构模型，在这个模型下，复杂问题被分解为多元素的组成部分，这些元素又按其属性及尖系形成若干层次，上一层次的元素作为准则对下一层次有尖元素起支配作用。

这些层次可以分为三类：

（1）最高层：

只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果；

（2）中间层：

包括了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需要考虑的准则、子准则；

（3）最底层：

包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等。

上述层次之间的支配尖系不一定是完全的，即可以存在这样的元素：

它并不

支配下一层次的所有元素，而仅支配其中部分元素，这种自上而下的支配尖系所形成的层次结构我们称为递阶层次结构。

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度以及需要分析的详尽程度有矢。

一般地，层次数不受限制，每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个，

这是因为支配的元素过多会给两两比较带来困难。

一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的，因而层次结构必须建立在决策者对所面临的问题有全面深入认识基础上，如果在层次划分和确定层次元素间的支配尖系上举棋不定，那么最好

重新分析问题，弄清元素间相互尖系，以确保建立一个合理的层次结构。

递阶层次结构是层次分析法中最简单也是最实用的层次结构形式。

当一个复杂问题仅仅用递阶层次结构难以表示，这时就要用更复杂的形式，如内部依存的递阶层结构、反馈层次结构等，它们都是递阶层次结构的扩展形式。

2.构造两两比较的判断矩阵

在建立递阶层次结构以后，上下层元素间的隶属矢系就被确定了。

假定以上层次的元素C为准则，所支配的下一层次的元素为Ui,U2,,Un，目的是要按它们对于准则C的相对重要性赋于Ui,U2,川，比相应的权重，当Ui,U2.iLl|比对于C的重要性可以直接定量表示时（如利润多少、消耗材料量等），它们相应的权重量可以直接确定，但对于大多数社会经济问题，特别是比较复杂的问题，元素的权重

不容易直接获得，这时就需要通过适当的方法导出它们的权重，层次分析法所用

的导出权重的方法就是两两比较的方法。

在这一步骤中，决策者要反复地回答问题，针对准则C，两个元素Ui和Uj那一个更重要，重要程度如何？

并按1・9的比例标度对重要性程度赋值，下表列出了标度的含

义，这样对于准则C，n个被比较元素通过两两比较构成一个判断矩阵

'

aiii113in

A=:

\:

WniHIHnnJ

其中印就是元素Ui与Uj相对于准则C的重要性比例标度。

1—9比例标度的含义：

1表示两个元素相比，具有相同的重要性

3表示两个元素相比，前者比后者稍重要

5表示两个元素相比，前者比后者明显重要

7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2,4,6,8表示上述相邻判断的中间值

若元素［1!

与元素Uj的重要性之比为®

，那么元素比与元素in重要性之比为印的倒数o显然，判断矩阵具有如下性质：

（1）ajAO:

（2）aji；

（3）aii=»

o

这样的判断矩阵A称为正互反矩阵o由于判断矩阵A所具有的性质，我们对于一个n个元素构成的判断矩阵只需给出其上（或下）三角的n（n・1）/2个判断即可。

若判断矩阵A的元素具有传递性，即满足等式：

砂汆二ak时，则A称为一致，性矩阵。

尖于判断矩阵，有些问题需要进一步说明：

为什么要用两两比较？

为什么要用1-9比例标度？

为什么要限制被比较个数不超过9个以及n（n-1）/2个比较是否必要？

分析社会经济系统不难看出，许多被测对象只具有相对性质，因而难以用一个绝对标度进行衡量，诸如安全、幸福等概念很难有一个绝对标准，只能在比较中进行估计。

这提示我们，在社会、经济以及一些类似问题的某些属性的测度中可以考虑采用一种相对标度。

层次分析法所提出的两两比较判断矩阵正是一种既能适应各种属性测度又能充分利用专家经验和判断矩阵的一种相对标度，它的应

用可以使系统从无结构向结构化和有序状态转化，因而不能不认为是系统分析中的一大突破。

在判断矩阵建立上，层次分析采用了1—9比例标度，这是由于这种比例标度，适合人们进行判断时的心理习惯。

首先我们认为参与比较的对象对于它们所从属的性质或准则有较为接近的强度，否则比较判断的定量化就没有意义了，因而比例标度范围不必过大。

如果出现强度在数量级上相差过于悬殊的情形，可以将数量级小的那些对象合并，或将数量级大的对象分解，使强度保持在接近的数量级上，再实施两两比较。

其次根据心理学的研究成果，人们在进行比较判断时，通常用相等、较强（弱）・明显强（弱）、很强（弱）、绝对强（弱）这类语言来表达两个因素的某种属性的比较。

如果再分仔细些，可以在相邻两级中再插入一级，这样正好是9级，因而用9个数字表达是合适的，而且，这种判断具有互反性。

那么能否取1—9之间的非整数作为比例标度呢？

一般说来没有必要，这是因为对于一个难以定量的对象提供一个过于精确的标度显然是事倍功半的；

另外，有笑研究结果表明，使用更细的标度所得的结果与1—9标度的结果一样。

当然，如果事物的属性强度十分接近时，也可采用其它标度。

最后，应该指出，一般地作n（n-1）/2次两两比较是必要的。

有人认为把所有元素和某个元素比较，即只做n-1个比较就可以了，但这种作法存在着明显的弊病：

任何一个判断的失误均可导致不合理的排序，而个别判断的失误对于难以

定量的系统往往是难以避免的，进行多次比较可以提供更多的信息，通过各种不同角度的反复比较，从而导致一个合理的排序。

3.权向量和一致性指标

通过两两成对比较得到的判断矩阵A不一定满足矩阵的一致性条件，于是找到一个数量标准来衡量矩阵A的不一致程度显得很必要o

设W=（Wi,W2,||（,Wn）T是n阶判断矩阵A的排序权重向量，当A为一致性矩阵时，

显然有:

W1/WiW1/HIW1/Wn

W2/W1W?

/W2川W2/Wn

ar■■

七■

An/WiWn/W2111Wn/Wn；

这表明W=（Wi,W2,|||,Wn）T为A的特征向量，且特征根为

致的判断矩阵来说排序向量W就是A的特征向量。

反过来，如果A是一致的正

互反阵5则有以下性质:

an=1,ay=aj,a,Gjk=aik,ain

/-j、、

Qu

A二引nx?

（a11ai2川因此

I♦

Gn丿

f

an

.4

4

7

（耳1耳2

=

d

1||

n=

=n

*

-4

*•4

-J

ia1n/

Gn

i

Gni

®

n

所以这表明w二（印；

，諾,|||,塞）丁为A的特征向量，并且由于A是相对向量W尖于目标Z的判断矩阵，则W为诸对象的一个排序。

另外，一致的正互反矩阵A还具有下述性质：

（1）A的转置At也是一致的；

（2）A的每一行均为任意

指定的一行的正数倍数，从而R（A）=1

（3）A的最大特征根，maxn，其余特征根全为0；

（4）若A的Wax对应的特征向量W=W,,W2,HI,WnT»

则aij=Wi/Wj

由上述性质可知，当W是一致阵时,n说X二n，将讼X对应的特征向量归■化后记为W=Wi,w2）HI,Wn，其中7Wi=1，W称为权向量，它表示了在目

i=±

标Z中的权重。

尖于正互反阵A，根据矩阵论的Perron-Frobenius定理，有如下结论：

定理设A是n阶正互反方阵，尬是A的模最大的特征根，则

（1）讼x必为正的特征根，且其对应的特征向量是正向量；

（2）A的任何其它特征根几恒有：

卩』£

入噺；

（3）尬冈为A的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一

的。

据此，如果判断矩阵不具有一致性，则祸n，并且这时的特征向量W就不能真实地反映＜yi,y2」i（,yn｝在目标Z中所占比重。

衡量不一致程度的数量指标叫做一致f生指标，定义为

Q|^-max-门

n-1

由于，实际上Cl相当于n-1个特征根（最大的除外）的平均值。

显然，对于一致性正互反矩阵来说，CI=0。

但是，仅依CI值作为判断矩阵A是否具有满意一致性的标准是不够的，因为人们对客观事物的复杂性和认识的多样性，以及可能产生的片面性跟问题的因素多少、规模大小有尖，即随着门值（1—9）的增大，误差增大，为此，引进了平均随机一致性指标RI:

Mr

对于口=1—门，平均随机一致性指标RI为:

Rl

1011

000.580.901.121.241.321.411.451.491.51

Cl

定义CR为一致性比率，则CR韦，当CR©

）时，则称判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵，使之具有满意的一致性。

4•层次分析法的计算

层次分析法计算的根本问题是如何判断矩阵的最大特征根及其对应的特征向量，下面给出最大特征根与特征向量精确计算和近似计算的方法。

a

（i）将判断矩阵的每一列归一化：

aijj（i,j川，n）。

为3kj

k=1

_n

（ii）

1,2,|1（,n）o

归一化后的矩阵按行相加：

Wj=aaij（i=

（iii）对向量归一化，即Wj二严.则为所求特征向量。

Wj

（iv）计算判断矩阵的最大特征根:

（Aw）i

max

i1nw

上式中（AW）j表示向量的第i个元素

5•层次分析法的总排序

计算同一层次所有因素对于最高层（总目标）相对重要性的排序权值，称

为层次总排序，这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的，若上一层次A包含

k个因素A,A2」I（,A，其层次总排序的权值分别为a-,a2,,ak，下一层次B包含m个因素对于因素Aj的层次单排序的权值分别为djg,|||,bmj（当Bk与Aj无尖时，取bkj为0）,此时B层次的总排序的权值由下表给出：

层次A层

次

Ak

B层次总排序数值

ai

a2

ak

Bi

bii

bi2

bik

k

为aib1j

j-

B2

b2i

b22

b2k

迟aQj

j二

Bm

Bmi

Bm2

Bmk

迟Hjbmjj丄

这一过程是从高层到低层进行的，如果B层次某些因素对于Aj单排序的一

致性指标为Clj，相应地平均随机一致性指标为Rlj，则B层次总排序一致性比

率为

类似地，当CR7.10时，认为判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要调整判断矩阵

的元素取值，使之具有满意的一致性。

五、应用实例

某工厂有一笔企业留成利润，要由厂领导和职代会决定如何利用，可供选择的方案有：

发奖金、扩建福利设施'

引用新设备，为进一步促进企业发展，如何合理利用这笔利润？

第一步对于这个问题采用层次分析法进行分析，所有措施的目的都是为了更好地调动职工生产积极性，提高企业技术水平和改善职工生活，当然最终目的是为了促进企业的发展，因此，建立的递阶层次结构如图所示

第二步构造判断矩阵，并求最大特征根、特征向量、一致性指

标和随机一致性比率。

结果如下：

判断矩阵Z-C:

z

C

C2

G

W

1/5

1/3

0.105

5

3

0.637

0.258

max=3.308,0=0.019,CR=0.033

判断矩阵Ci-P:

P1

F2

R

0.75

0.25

*max—

2,CI=<

D

判断矩阵C2-P

•

■

w

判断矩阵C3-P:

2

0.667

1/2

0.333

.-2,CI.0max—

第三步各方案对总目标Z的层次总排序见下表：

C1

C3

层次P的总排序

P

0.1050.637

0.251

P2

0.167

0.218

P3

0.837

0.581

第四步总排序一致性检验

Cl-0.10500.63700.2580=0,CR=0

因此，三种方案的相对优先排序为：

P3>

R>

P2，利润分配比例为：

弓I进新设备点

53.1%,发奖金点25.1%，用于改善福利事业点21.8%。

六=层次分析法应用的程序

运用AH法进行决策时，需要经历以下4个步骤：

1・建立系统的递阶层次结构；

2.构造两两比较判断矩阵；

（正互反矩阵）

3.针对某一个标准，计算各备选元素的权重；

4.计算当前一层元素尖于总目标的拐E序权重。

5.进行一致f生检验。

七、应用层次分析法的注意事项

如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或要素间的尖系不正确，都会降低AH法的结果质量，甚至导致AH法决策失败。

为保证递阶层次结构的合理性，需把握以下原则：

1・分解简化问题时把握主要因素，不漏不多；

2注意相比较元素之间强度尖系，相差太悬殊的要素不能在同一层次比较。