北京中考数学试题专题分类汇编方程与不等式解答题Word下载.docx

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∴m≤2；

（2）∵m≤2，且m为正整数，

∴m＝1或2，

当m＝1时，方程x2+2x＝0的根x1＝﹣2，x2＝0．不符合题意；

当m＝2时，方程x2+4x+4＝0的根x1＝x2＝﹣2．符合题意；

综上所述，m＝2．

【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：

牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”．

5．（2019•昌平区二模）已知：

关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+1＝0有两个不相等的实数根．

（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

（1）∵一元二次方程有两个不相等实根，

∴△＝16﹣4（m+1）＞0，

12﹣4m＞0，

∴m＜3；

（2）∵当m＝﹣1时，

x（x﹣4）＝0，

∴x1＝0，x2＝4．

【点睛】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

6．（2019•通州区三模）解不等式组

，并写出它的所有非负整数解．

解不等式①得x

；

解不等式②得x≤1；

∴原不等式组的解集为

x≤1，

∴原不等式组的所有非负整数解为0，1．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解的应用，关键是求出不等式组的解集．

7．（2019•昌平区二模）解不等式组：

由①可得：

x＜4；

由②可得：

x≥1；

所以不等式组的解集为：

1≤x＜4．

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：

同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

8．（2019•朝阳区二模）关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根．

（1）求实数m，n需满足的条件；

（2）写出一组满足条件的m，n的值，并求此时方程的根．

（1）∵关于x的方程mx2﹣2mx+m+n＝0有两个实数根，

∴m≠0，

△＝（﹣2m）2﹣4m（m+n）＝﹣4mn≥0，

∴mn≤0．

∴实数m，n需满足的条件为mn≤0且m≠0．

（2）答案不唯一，如：

m＝1，n＝0．

此时方程为x2﹣2x+1＝0．

解得x1＝x2＝1．

9．（2019•朝阳区二模）解不等式组

并写出它的所有整数解．

原不等式组为

解不等式①得，

．

解不等式②得，x＜2．

∴原不等式组的所有整数解为﹣1，0，1．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共解，要遵循以下原则：

同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

10．（2019•东城区二模）关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣1＝0．

（1）求证：

方程总有两个实数根；

（2）若方程有一根大于3，求m的取值范围．

【答案】

（1）证明：

依题意，得△＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，

∵（m﹣2）2≥0，

∴方程总有两个实数根；

（2）x2﹣mx+m﹣1＝0，

（x﹣1）（x﹣m+1）＝0，

∴x1＝1，x2＝m﹣1，

∵方程有一个根大于3，

∴m﹣1＞3，

∴m＞4．

∴m的取值范围是m＞4．

【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＝0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．

11．（2019•顺义区二模）解不等式组

，并写出它的非负整数解．

解不等式①得x＜3，

解不等式②得x≥﹣1，

∴此不等式组的解集是﹣1≤x＜3，

∴此不等式组的非负整数解是0，1，2．

【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；

12．（2019•西城区二模）解方程：

1

去分母得：

x2＝x2+x+x+1，

x

经检验x

是分式方程的解．

【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

13．（2019•海淀区二模）关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1＝0，其中k＜0．

方程有两个不相等的实数根；

（2）当k＝﹣1时，求该方程的根．

（1）依题意可知，△＝（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）＝5﹣4k，

∵k＜0，

∴△＞0．

∴方程有两个不相等的实数根．

（2）当k＝﹣1时，方程为x2+3x＝0．

解得x1＝﹣3，x2＝0．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

14．（2019•海淀区二模）解不等式组：

解不等式①，得x＜3．

解不等式②，得x＜2．

∴原不等式组的解集为x＜2．

【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

15．（2019•平谷区二模）已知关于x的一元二次方程x2+（k+1）x

0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）当k取最小整数时，求此时方程的解．

∵关于x的一元二次方程x2+（k+1）x

0有两个不相等的实数根，

∴△＝（k+1）2﹣4

k2＞0，

∴k

（2）∵k取最小整数，

∴k＝0，

∴原方程可化为x2+x＝0，

∴x1＝0，x2＝﹣1．

16．（2019•平谷区二模）解不等式组：

并求非负整数解．

解不等式①得：

x≤2，

解不等式②得：

x＞﹣1，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，

∴不等式组的非负整数解是0，1，2．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．

17．（2019•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（2）若方程的两个根都是有理数，请选择一个合适的m，并求出此方程的根．

（1）由题意可得b2﹣4ac＝32﹣4（m﹣2）×

（﹣1）＞0，

9+4m﹣8＞0，

解得m

又m﹣2≠0，

∴m≠2

∴m的取值范围：

m

且m≠2；

（2）∵方程的两个根都是有理数，∴

为有理数且不为0，

即

取即

1，m＝0，

∴当m＝0时，原方程化为﹣2x2﹣3x+1＝0，

解得x1＝1，x2＝2．

【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握运用根的判别式是解题的关键．

18．（2019•大兴区一模）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+（m﹣3）＝0．

（2）请你给m赋一个值，并求此时方程的根．

依题意，得△＝（2﹣m）2﹣4×

1×

+（m﹣3）＝（m﹣4）2．

∵（m﹣4）2≥0，

（2）解：

当m＝3时，

解方程x2﹣x＝0．

解得x1＝0，x2＝1．

【点睛】本题考查了根与系数的关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

19．（2019•大兴区一模）解不等式组：

解不等式①，得x≤1，

解不等式②，得x＜3，

∴不等式组的解集为x≤1．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．

20．（2019•怀柔区一模）已知关于x的方程x2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．

（2）如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．

（1）∵方程有两个不相等的实数根．

∴△＝4﹣4（m﹣2）＞0．

（2）∵m＜3且m为正整数，

∴m＝1或2．

当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；

当m＝2时，原方程为x2﹣2x＝0．

∴x（x﹣2）＝0．

∴x1＝0，x2＝2．符合题意．

【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．

21．（2019•丰台区一模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．

（2）若方程两个根的绝对值相等，求此时m的值．

（1）∵△＝（m+3）2﹣4（m+2）＝（m+1）2≥0，

（2）∵

∴x1＝m+2，x2＝1．

∵方程两个根的绝对值相等，

∴m+2＝±

1．

∴m＝﹣3或﹣1．

【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解法，掌握判别式△与0的关系判定方程根的情况是解决本题的关键．

22．（2019•丰台区一模）解不等式组：

由①，得x＜4，

由②，得x≥﹣9，

∴此不等式组的解集是﹣9≤x＜4．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键．

23．（2019•朝阳区一模）解分式方程：

6﹣x＝x﹣2，

x＝4，

经检验x＝4是分式方程的解．

24．（2019•石景山区一模）解不等式组：

解不等式x﹣1＜3（x﹣3），得x＞4．

解不等式

，得x≥5．

∴原不等式组的解集为x≥5．

25．（2019•海淀区一模）关于x的一元二次方程ax2+2ax+c＝0．

（1）若方程有两个相等的实数根，请比较a、c的大小，并说明理由；

（2）若方程有一个根是0，求此时方程的另一个根．

（1）根据题意得，a≠0且△＝4a2﹣4ac＝0，

∴4a（a﹣c）＝0，

∴a＝c；

（2）把x＝0代入原方程得出c＝0，

∴方程为ax2+2ax＝0，

∴ax（x+2）＝0，

∴该方程的另一个根为﹣2．

【点睛】本题考查了根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．

26．（2019•顺义区一模）关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．

（1）△＝16﹣4（m﹣1）＝﹣4m+20，

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴﹣4m+20＞0，

解得m＜5；

（2）符合条件的m的正整数值是1，2，3，4，

当m＝1时，该方程为x2﹣4x＝0，根都是整数；

当m＝2时，该方程为x2﹣4x+1＝0，根不是整数；

当m＝3时，该方程为x2﹣4x+2＝0，根不是整数；

当m＝4时，该方程为x2﹣4x+3＝0，根都是整数；

所以符合条件的m的值为1，4．

【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：

（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；

（2）将m＝1，2，3，4分别代入原方程求出x的值．

27．（2019•东城区一模）解不等式组：

由①得x≤2；

由②得x＞﹣1；

故不等式组的解集为﹣1＜x≤2．

28．（2019•海淀区一模）解不等式组：

由①得x＞1；

由②得x＜2；

故不等式组的解集为1＜x＜2．

29．（2019•西城区一模）解不等式组：

x＜1，

x＞﹣4，

﹣4＜x＜1．

【点睛】此题考查解一元一次不等式组，求不等式组的解集应遵循以下原则：

30．（2019•石景山区一模）关于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．

（2）若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．

依题意，得△＝[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）

＝m2+6m+9﹣4m﹣8

＝m+1）2．

∵（m+1）2≥0，

∴△≥0．

∴方程总有两个实数根．

解方程，得x1＝1，x2＝m+2，

∵方程的两个实数根都是正整数，

∴m+2≥1．

∴m≥﹣1．

∴m的最小值为﹣1．

【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答

（2）时得到方程的两个根是解题的关键．

31．（2019•北京一模）关于x的一元二次方程x2+（m﹣3）x﹣3m＝0．

（2）若方程的两个根都是整数，请写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．

△＝（m﹣3）2﹣4×

（﹣3m），

＝m2﹣6m+9+12m，

＝（m+3）2，

无论m取任何实数，（m+3）2≥0，即△≥0，

∴原方程总有两个实数根．

∵△＝（m+3）2，由求根公式，得

原方程的根为：

x1＝3，x2＝﹣m，

∵方程的两个根都是整数，

∴取m＝1，方程的两根为x1＝3，x2＝﹣1．

【点睛】本题考查了求根公式和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键．

32．（2019•北京一模）解不等式组：

解不等式①，得x＜2，

解不等式②，得x≥﹣，

∴原不等式组的解集为﹣5≤x＜2．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，要遵循以下原则：

33．（2019•保定二模）已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣1）x+k﹣2＝0

（2）若方程有一根为正数，求实数k的取值范围．

（1）△＝（k﹣1）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣2k+1﹣4k+8＝（k﹣3）2

∵（k﹣3）2≥0，

∴方程总有两个实数根．3

∴x1＝﹣1，x2＝2﹣k．

∵方程有一个根为正数，

∴2﹣k＞0，

k＜2．

【点睛】考查了根的判别式．体现了数学转化思想，属于中档题目．

34．（2019•通州区一模）关于x的一元二次方程x2+2x﹣（n﹣1）＝0有两个不相等的实数根．

（1）求n的取值范围；

（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．

（1）根据题意得△＝22﹣4[﹣（n﹣1）]＞0，

解得n＞0；

（2）因为n为取值范围内的最小整数，

所以n＝1，

方程化为x2+2x＝0，

x（x+2）＝0，

x＝0或x+2＝0，

所以x1＝0，x2＝﹣2．

35．（2019•平谷区一模）解不等式组：

由①得x＜3；

由①得x＞1

∴不等式组的解集为1＜x＜3

【点睛】此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：

同大取大；

大小小大去中间；

大大小小无解．

36．（2019•通州区一模）解不等式组：

∵解不等式①得：

x＞2，

x≥5，

∴不等式组的解集为x≥5．

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

37．（2019•房山区一模）解不等式组：

解不等式①得x≤1；

解不等式②得x＞﹣3；

∴不等式组的解集是：

﹣3＜x≤1．

38．（2019•延庆区一模）已知，关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x﹣a＝0．

（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．

∵x2+（a﹣1）x﹣a＝0是关于x的一元二次方程，

∴△＝（a﹣1）2+4a＝a2+2a+1＝（a+1）2≥0，

由求根公式得，x

∴x1＝1，x2＝﹣a，

∵该方程有一个根是负数，

∴﹣a＜0，

∴a＞0．

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的根的判别式，公式法解一元二次方程，熟记一元二次方程的求根公式是解本题的关键．

39．（2019•延庆区一模）解不等式组：

，并写出它的所有整数解．

解不等式①，得x＞﹣2，

解不等式②，得x＜1，

∴不等式组的解集为﹣2＜x＜1，

∴原不等式所有整数解为﹣1，0．

40．（2019•怀柔区二模）解方程：

3．

方程整理得：

3，

去分母，得x﹣1＝3x﹣6，

经检验，原方程的解为x

41．（2019•门头沟区二模）已知：

关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个不相等的实数根．

（2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值．

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m＝0有两个不相等的实数根，

∴△＞0

∴△＝（﹣4）2﹣4×

2m＞0，

解得m＜2；

（2）∵m＜2且m为非负整数，

∴m＝0或m＝1．

当m＝0时，方程为x2﹣4x＝0，解得方程的根为x1＝0，x2＝4，符合题意；

当m＝1时，方程为x2﹣4x+＝0，它的根不是整数，不合题意，舍去．

综上所述，m＝0．

【点睛】考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

42．（2019•怀柔区一模）解不等式组

解不等式①，得x≥﹣2，

∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1，

∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0．

43．（2019•门头沟区一模）已知关于x的方程mx2+（3﹣m）x﹣3＝0（m为实数，m≠0）．

此方程总有两个实数根．

（2）如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值．

（1）△＝（3﹣m）2﹣4m×

（﹣3）

＝m2﹣6m+9+12m

＝m2+6m+9

＝（m+3）2≥0

∴此方程总有两个不相等的实数根．

（2）由求根公式，得

∴x1＝1，

（m≠0）．

∵此方程的两个实数根都为正整数，

∴整数m的值为﹣1或﹣3．

【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键熟练运用根的判别式以及求根公式，本题属于基础题型．

44．（2019•东城区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．

（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，

∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a

（2）由

（1）可知a

∴a的最大整数值为4，

此时方程为x2﹣3x+2＝0，

解得x＝1或x＝2．

【点睛】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．

45．（2019•顺义区二模）已知：

关于x的方程mx2+（m﹣3）x﹣3＝0（m≠0）．

（2）如果m为正整数，且方程的两个根均为整数，求m的值．

【答