概率论习题参考解答Word文件下载.docx
《概率论习题参考解答Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论习题参考解答Word文件下载.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
3
4/7
2/7
1/7
5.一批产品20个,其中有5个次品,从这批产品中随意抽取4个,求这4个中的次品数ξ的分布律.
基本事件总数为
有利于事件{ξ=i}（i=0,1,2,3,4）的基本事件数为
则
4
0.2817
0.4696
0.2167
0.031
0.001
6.一批产品包括10件正品,3件次品,有放回地抽取,每次一件,直到取得正品为止,假定每件产品被取到的机会相同,求抽取次数ξ的概率函数.
每次抽到正品的概率相同,均为p=10/13=0.7692,则每次抽到次品的概率q=1-p=0.2308则ξ服从相应的几何分布,即有
7.上题中如果每次取出一件产品后,总以一件正品放回去,直到取得正品为止,求抽取次数ξ的分布律.
这样抽取次数就是有限的,因为总共只有3件次品,即使前面三次都抽到次品,第四次抽时次品已经全部代换为正品,因此必然抽到正品,这样ξ的取值为1,2,3,4.
不难算出,
ξ的分布律如下表所示:
0.7692
0.1953
0.0328
0.0027
8.自动生产线在调整之后出现废品的概率为p,当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数ξ的概率函数.
事件ξ=i说明生产了i次正品后第i+1次出现废品,这是i+1个独立事件的交（1次发生i次不发生,因此有
P（ξ=i）=p（1-p）i,（i=0,1,2,…）
9.已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值,相应概率依次为
确定常数c并计算P{ξ<
1|ξ≠0}.
根据概率函数的性质有
即
得
设事件A为ξ<
1,B为ξ≠0,（注:
如果熟练也可以不这样设）则
10.写出第4题及第9题中各随机变量的分布函数.
第4题:
第9题:
当x<
-1时:
F（x）=P（ξ≤x）=0
当-1≤x<
0时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）=
当0≤x<
1时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）+P（ξ=0）=
当1≤x<
2时:
F（x）=P（ξ≤x）=P（ξ=-1）+P（ξ=0）+P（ξ=1）=
当x≥2时:
F（x）=P（ξ≤x）=1
综上所述,最后得:
11.已知ξ~
求ξ的分布函数F（x）,画出F（x）的图形.
当x<
F（x）=0;
当x≥1时:
F（x）=1
综上所述,最后得
图形为
12.已知ξ~
求P{ξ≤0.5};
P（ξ=0.5）;
F（x）.
因ξ为连续型随机变量,因此取任何点的概率均为零,所以P{ξ=0.5}=0,
求F（x）:
0时,F（x）=0
1时,
当x≥1时,F（x）=1
13.某型号电子管,其寿命（以小时计）为一随机变量,概率密度
某一个电子设备内配有3个这样的电子管,求电子管使用150小时都不需要更换的概率.
先求一个电子管使用150小时以上的概率P（ξ≥150）为:
则3个这样的电子管构成贝努里独立试验概型,试验三次发生三次的概率为
14.设连续型随机变量ξ的分布函数为:
求系数A;
P（0.3<
ξ<
0.7）;
概率密度φ（x）.
因ξ是连续型随机变量,因此F（x）也必是连续曲线,则其在第二段（0,1）区间的曲线必能和第三段（1,+∞）的曲线接上,则必有
A×
12=1,即A=1.则分布函数为
P（0.3<
0.7）=F（0.7）-F（0.3）=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4
概率密度φ（x）为
15.服从柯西分布的随机变量ξ的分布函数是F（x）=A+Barctgx,求常数A,B;
P{|ξ|<
1}以及概率密度φ（x）.
由F（-∞）=0,
得A+Barctg（-∞）=
（1）
再由F（+∞）=1,
（2）
综和
（1）,
（2）两式解得
16.服从拉普拉斯分布的随机变量ξ的概率密度
求系数A及分布函数F（x）.
这实际上是一个分段函数,φ（x）可重新写为
根据性质
又因φ（x）为偶函数,因此有
则有A=1/2
因此
.
求分布函数F（x）.
0时,有
当x≥0时,有
17.已知
计算P{ξ≤0.2|0.1<
ξ≤0.5}
设事件A={ξ≤0.2},B={0.1<
ξ≤0.5},则要计算的是条件概率P（A|B）,而
而事件AB={ξ≤0.2}∩{0.1<
ξ≤0.5}={0.1<
ξ≤0.2}
因此有
最后得
18.已知
确定常数c.
首先证明普阿松广义积分
因为函数
并不存在原函数,因此需要一技巧.令
作极坐标代换,令
则积分区间为全平面,即θ从0积到2π,r从0积到+∞,且
因此有
所以I=π.
现确定常数c,由性质
19.已知
求常数c及P{a-1<
ξ≤a+1}.
由性质
解得
则
20.二元离散型随机变量（ξ,η）有如下表所示的联合概率分布:
η
ξ
5
6
0.202
0.174
0.113
0.062
0.049
0.023
0.004
0.099
0.064
0.040
0.020
0.006
0.025
0.018
0.013
0.008
0.002
0.011
求边缘概率分布,ξ与η是否独立?
按下表计算ξ与η的边缘分布:
pi
（1）
0.627
0.260
0.095
pj
（2）
0.273
0.208
0.128
0.100
0.060
0.029
得ξ的边缘分布如下表所示:
以及η的边缘分布如下表所示:
η
0.1
0.06
当i=1及j=0时,
因
因此ξ与η相互间不独立.
21.假设电子显示牌上有3个灯泡在第一排,5个灯泡在第二排.令ξ,η分别表示在某一规定时间内第一排和第二排烧坏的灯泡数.若ξ与η的联合分布如下表所示:
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
0.02
0.04
0.08
试计算在规定时间内下列事件的概率:
（1）第一排烧坏的灯泡数不超过一个;
（2）第一排与第二排烧坏的灯泡数相等;
（3）第一排烧坏的灯泡数不超过第二排烧坏的灯泡数.
假设事件A为第一排烧坏的灯泡数不超过一个,B为第一排与第二排烧坏的灯泡数相等,C为第一排烧坏的灯光数不超过第二排烧坏的灯泡数.
则事件A发生的概率为上表中头两排概率之和
事件B发生的概率为上表中从0行0列开始的斜对角线之和
事件C发生的概率为上表中斜对角线上右的各个数相加（包括斜对角线上的数）,但为减少运算量,也可以考虑其逆事件
的概率,然后用1减去它.而
的概率为上表中斜对角线的左下角的所有概率之和（不包括斜对角线）:
22.袋中装有标上号码1,2,2的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求（ξ,η）的分布律（袋中各球被取机会相同）.
因为有两个2一个1,因此第一次取到2号的概率为P（ξ=2）=2/3,第一次取到1号的概率为P（ξ=1）=1/3.第一次取到2号后还剩下一个2号一个1号,则在此条件下第二次取到1号的概率P（η=1|ξ=2）=P（η=2|ξ=2）=1/2.而第一次取到1号后还剩下两个2号,因此这时P（η=1|ξ=1）=0,P（η=2|ξ=1）=1.
综上所述并用乘法法则可得
（ξ,η）的分布律如下表所示:
23.（ξ,η）只取下列数组中的值：
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.列出（ξ,η）的概率分布表,写出关于η的边缘分布.
从上面数组可知ξ只取-1,0,2这三个值,而η只取0,
1这三个值,因此总共可构成九个数对,其中只有四个数对的概率不为零.概率分布表及η的边缘分布计算如下
-1
1/12
1/6
5/12
7/12
即η的边缘分布率如下表所示
24.袋中装有标上号码1,2,2,3的4个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球,以ξ,η分别记为第一,二次取到球上的号码数,求（ξ,η）的分布律（袋中各球被取机会相同）.
第一次取到号码1,2,3的概率为
P{ξ=1}=P（ξ=3）=1/4
P{ξ=2}=1/2
在第一次取到号码i条件下,第二次取到号码j的概率各为
P{η=1|ξ=1}=P{η=3|ξ=3}=0
P{η=2|ξ=1}=P{η=2|ξ=3}=2/3
P{η=3|ξ=1}=P{η=1|ξ=3}=1/3
P{η=1|ξ=2}=P{η=3|ξ=2}=1/3
P{η=2|ξ=2}=1/3
p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0
p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=1/6
p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=1/12
p21=P{ξ=2,η=1}=P{ξ=2}P{η=1|ξ=2}=1/6
p22=P{ξ=2,η=2}=P{ξ=2}P{η=2|ξ=2}=1/6
p23=P{ξ=2,η=3}=P{ξ=2}P{η=3|ξ=2}=1/6
p31=P{ξ=3,η=1}=P{ξ=3}P{η=1|ξ=3}=1/12
p32=P{ξ=3,η=2}=P{ξ=3}P{η=2|ξ=3}=1/6
p33=P{ξ=3,η=3}=P{ξ=3}P{η=3|ξ=3}=0
即联合概率分布表如下表所示
25.ξ表示随机地在1-4的4个整数中取出的一个整数，η表示在1-ξ中随机地取出的一个整数值，求（ξ,η）的联合概率分布.
因ξ取四个数中的任何一个概率相等,因此有
P{ξ=i}=1/4,（i=1,2,3,4）
而在ξ=i的条件下,（i=1,2,3,4）,η取1到i的概率也相同,为1/i,即
P{η=j|ξ=i}=1/i,（i=1,2,3,4;
j=1-i）
pij=P{ξ=i,η=j}=P{ξ=i}P{η=j|ξ=i}=1/（4i）,（i=1,2,3,4;
j=1-i）,
联合概率分布如下表所示:
1/4
1/8
1/16
26.已知（ξ,η）~
试确定常数c并求η的边缘概率密度.
根据性质
有
解得
因此,
求η的边缘概率密度:
当
时:
上式后一等式利用了三角函数公式
而计算三角函数
的值,又是在已知
的前提下,利用半角公式
当y取区间
之外的值时,
.
因此最后得:
27.已知ξ服从参数p=0.6的0-1分布,在ξ=0及ξ=1条件下,关于η的条件分布分别如下二表所示:
P{η|ξ=0}
1/2
P{η|ξ=1}
求二元随机变量（ξ,η）的联合概率分布,以及在η≠1时关于ξ的条件分布.
根据题意已知
P{ξ=0}=1-p=1-0.6=0.4,P{ξ=1}=p=0.6
则根据乘法法则有:
p01=P{ξ=0,η=1}=P{ξ=0}P{η=1|ξ=0}=0.4×
（1/4）=0.1
p02=P{ξ=0,η=2}=P{ξ=0}P{η=2|ξ=0}=0.4×
（1/2）=0.2
p03=P{ξ=0,η=3}=P{ξ=0}P{η=3|ξ=0}=0.4×
p11=P{ξ=1,η=1}=P{ξ=1}P{η=1|ξ=1}=0.6×
（1/2）=0.3
p12=P{ξ=1,η=2}=P{ξ=1}P{η=2|ξ=1}=0.6×
（1/6）=0.1
p13=P{ξ=1,η=3}=P{ξ=1}P{η=3|ξ=1}=0.6×
（1/3）=0.2
列出联合分布律如下表所示:
0.2
0.3
由表中可以算出
P{η≠1}=1-P{η=1}=1-（p01+p11）=1-0.4=0.6
P{ξ=0,η≠1}=p02+p03=0.2+0.1=0.3
P{ξ=1,η≠1}=p12+p13=0.1+0.2=0.3
则在η≠1时关于ξ的条件分布律如下表所示:
P{ξ|η≠0}
0.5
28.第22题中的两个随机变量ξ与η是否独立？
当ξ=1时η的条件分布是什么？
第22题中的分布律已经计算出如下表所示:
从表中看出是明显不独立的,因为
P{ξ=1}=1/3,P{η=1}=1/3
而
P{ξ=1,η=1}=0≠P{ξ=1}P{η=1}
在ξ=1条件下,因
因此在此条件下η服从单点分布或退化分布,只取值为2,取值为2的条件概率为1.
29．ξ与η相互独立,其概率分布如下二表所示
-2
-1/2
求（ξ,η）的联合分布,P（ξ+η=1）,P（ξ+η≠0）.
因ξ与η相互独立,因此有pij=pi
（1）pj
（2）,算得联合分布律如下表所示
1/24
1/48
根据此联合分布律可算出
30.测量一矩形土地的长与宽,测量结果得到如下表所示的分布律（长与宽相互独立）,求周长ζ的分布.
长度ξ
29
30
31
宽度η
19
20
21
0.4
因ζ=2ξ+2η,可知ζ的取值为96,98,100,102,104,又因ξ与η独立,因此有
P{ζ=96}==P{ξ=29}P{η=19}=0.3×
0.3=0.09
P{ζ=98}=P{ξ=29}P{η=20}+P{ξ=30}P{η=19}=0.3×
0.4+0.5×
0.3=0.27
P{ζ=100}=P{ξ=29}P{η=21}+P{ξ=30}P{η=20}+P{ξ=31}}P{η=19}=
=0.3×
0.3+0.5×
0.4+0.2×
0.3=0.35
P{ζ=102}=P{ξ=30}P{η=21}+P{ξ=31}P{η=20}=0.3×
0.5+0.2×
0.4=0.23
P{ζ=104}=P{ξ=31}P{η=21}=0.2×
0.3=0.06
因此ζ的分布律如下表所示:
周长ζ
96
98
100
102
104
0.27
0.35
0.23
31.测量一圆形物件的半径R,其分布如下表所示,求圆周长ξ与圆面积η的分布.
R
10
11
12
13
因周长ξ=2πR,面积η=πR2,因此当半径R取值10,11,12,13时,ξ的取值为62.83,69.12,75.4,81.68,η的取值为314.16,380.13,452.39,530.93,相应的分布律如下二表所示
62.83
69.12
75.4
81.68
314.16
380.13
452.39
530.93
32.一个商店每星期四进货,以备星期五,六,日3天销售,根据多周统计,这3天销售件数
ξ1,ξ2,ξ3彼此独立,且有如下表所示分布:
ξ1
0.7
ξ2
14
15
0.6
ξ3
17
18
0.8
问三天销售总量
这个随机变量可以取哪些值?
如果进货45件,不够卖的概率是多少?
如果进货40件,够卖的概率是多少?
因η的取值为ξ1,ξ2,ξ3三个随机变量可能取值之和,因此可能的取值为从10+13+17=40到12+15+19=46之间的每一个整数值,即40,41,42,43,44,45,46.
因此,如进货15件,不够卖的概率在η取值为46时出现,即
P{η=46}=P{ξ1=12}P{ξ2=15}P{ξ3=19}=0.1×
0.1×
0.1=0.001
如进货40件,够卖的概率发生在η取值为40时出现,即
P{η=40}=P{ξ1=10}P{ξ2=13}P{ξ3=17}=0.2×
0.3×
0.1=0.006
33.求出第22题中ξ+η的分布律.
因第22题已经算出的ξ与η的联合分布律如下表:
则P{ξ+η=2}=P{ξ=1,η=1}=0
P{ξ+η=3}=P{ξ=1,η=2}+P{ξ=2,η=1}=2/3
P{ξ+η=4}=P{ξ=2,η=2}=1/3
即ξ+η的分布律如下表所示:
ξ+η
34.求出第23题中ξ-η的分布律
因（ξ,η）只取下列数组中的值：
且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.
因此ξ-η也只取0-0=0,-1-1=-2,-1-1/3=-4/3,2-0=2这四个值,相应的概率也还是依次为1/6,1/3,1/12,5/12.即分布律如下表所示
ξ-η
-4/3
35.已知P{ξ=k}=a/k,P{η=-k}=b/k2（k=1,2,3）,ξ与η独立,确定a,b的值;
求出（ξ,η）的联合概率分布以及ξ+η的概率分布.
由概率分布的性质有
解得
解得
因此有P
升级会员 