高二数学复习教案几种常见解不等式的解法 苏教版Word文档格式.docx

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（3）解由

（1）可知f（x）在［－1，1］上为增函数，且f

（1）=1，

故对x∈［－1，1］，恒有f（x）≤1，

所以要f（x）≤t2－2at+1对所有x∈［－1，1］，a∈［－1，1］恒成立，即要t2－2at+1≥1成立，

故t2－2at≥0，记g（a）=t2－2at，对a∈［－1，1］，g（a）≥0，

只需g（a）在［－1，1］上的最小值大于等于0，g（－1）≥0，g

（1）≥0，

解得，t≤－2或t=0或t≥2

∴t的取值范围是{t|t≤－2或t=0或t≥2}

例2设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围

命题意图考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系

知识依托本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想

错解分析M=是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；

构造关于a的不等式要全面、合理，易出错

技巧与方法该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；

数形结合的思想使题目更加明朗

解M［1，4］有两种情况其一是M=，此时Δ＜0；

其二是M≠，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a的取值范围

设f（x）=x2－2ax+a+2，有Δ=（－2a）2－（4a+2）=4（a2－a－2）

（1）当Δ＜0时，－1＜a＜2，M=［1，4］

（2）当Δ=0时，a=－1或2

当a=－1时M={－1}［1，4］；

当a=2时，m={2}［1，4］

（3）当Δ＞0时，a＜－1或a＞2

设方程f（x）=0的两根x1，x2，且x1＜x2，

那么M=［x1，x2］，M［1，4］1≤x1＜x2≤4

即

，解得2＜a＜，

∴M［1，4］时，a的取值范围是（－1，）

例3解关于x的不等式＞1（a≠1）

解原不等式可化为＞0，

①当a＞1时，原不等式与（x－）（x－2）＞0同解

由于

∴原不等式的解为（－∞，）∪（2，+∞）

②当a＜1时，原不等式与（x－）（x－2）＜0同解

由于,

若a＜0，,解集为（，2）；

若a=0时，，解集为；

若0＜a＜1，,解集为（2，）

综上所述当a＞1时解集为（－∞，）∪（2，+∞）；

当0＜a＜1时，解集为（2，）；

当a=0时，解集为；

当a＜0时，解集为（，2）

学生巩固练习

1设函数f（x）=

，已知f（a）＞1，则a的取值范围是（）

A（－∞，－2）∪（－，+∞）B（－，）

C（－∞，－2）∪（－，1）D（－2，－）∪（1，+∞）

2已知f（x）、g（x）都是奇函数，f（x）＞0的解集是（a2，b），g（x）＞0的解集是（，），则f（x）·

g（x）＞0的解集是__________

3已知关于x的方程sin2x+2cosx+a=0有解，则a的取值范围是_______

4已知适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3

（1）求p的值；

（2）若f（x）=，解关于x的不等式f-－1（x）＞（k∈R+）

5设f（x）=ax2+bx+c，若f

（1）=，问是否存在a、b、c∈R，使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切实数x都成立，证明你的结论

6已知函数f（x）=x2+px+q，对于任意θ∈R，有f（sinθ）≤0，且f（sinθ+2）≥2

（1）求p、q之间的关系式；

（2）求p的取值范围；

（3）如果f（sinθ+2）的最大值是14，求p的值并求此时f（sinθ）的最小值

7解不等式loga（x－）＞1

8设函数f（x）=ax满足条件当x∈（－∞，0）时，f（x）＞1；

当x∈（0，1时，不等式f（3mx－1）＞f（1+mx－x2）＞f（m+2）恒成立，求实数m的取值范围

参考答案

1解析由f（x）及f（a）＞1可得

①或②或

③

解①得a＜－2，解②得－＜a＜1，解③得x∈

∴a的取值范围是（－∞，－2）∪（－，1）

答案C

2解析由已知b＞a2∵f（x），g（x）均为奇函数，

∴f（x）＜0的解集是（－b，－a2），g（x）＜0的解集是（－）

由f（x）·

g（x）＞0可得

∴x∈（a2，）∪（－，－a2）

答案（a2，）∪（－，－a2）

3解析原方程可化为cos2x－2cosx－a－1=0，令t=cosx，得t2－2t－a－1=0，原问题转化为方程t2－2t－a－1=0在［－1，1］上至少有一个实根

令f（t）=t2－2t－a－1，对称轴t=1，

画图象分析可得解得a∈［－2，2］

答案［－2，2］

4解

（1）∵适合不等式|x2－4x+p|+|x－3|≤5的x的最大值为3，

∴x－3≤0，∴|x－3|=3－x

若|x2－4x+p|=－x2+4x－p，则原不等式为x2－3x+p+2≥0，

其解集不可能为{x|x≤3}的子集，∴|x2－4x+p|=x2－4x+p

∴原不等式为x2－4x+p+3－x≤0，即x2－5x+p－2≤0，

令x2－5x+p－2=（x－3）（x－m），可得m=2，p=8

（2）f（x）=，∴f-－1（x）=log8（－1＜x＜1，

∴有log8＞log8，∴log8（1－x）＜log8k，∴1－x＜k，∴x＞1－k

∵－1＜x＜1，k∈R+，∴当0＜k＜2时，原不等式解集为{x|1－k＜x＜1}；

当k≥2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜1

5解由f

（1）=得a+b+c=，令x2+=2x2+2x+x=－1，

由f（x）≤2x2+2x+推得f（－1）≤

由f（x）≥x2+推得f（－1）≥，∴f（－1）=，∴a－b+c=，

故2（a+c）=5，a+c=且b=1，∴f（x）=ax2+x+（－a）

依题意ax2+x+（－a）≥x2+对一切x∈R成立，

∴a≠1且Δ=1－4（a－1）（2－a）≤0，得（2a－3）2≤0，

∴f（x）=x2+x+1

易验证x2+x+1≤2x2+2x+对x∈R都成立

∴存在实数a=，b=1，c=1，

使得不等式x2+≤f（x）≤2x2+2x+对一切x∈R都成立

6解

（1）∵－1≤sinθ≤1，1≤sinθ+2≤3，即当x∈［－1，1］时，f（x）≤0，当x∈［1，3］时，f（x）≥0，∴当x=1时f（x）=0∴1+p+q=0，∴q=－（1+p）

（2）f（x）=x2+px－（1+p），

当sinθ=－1时f（－1）≤0，∴1－p－1－p≤0，∴p≥0

（3）注意到f（x）在［1，3］上递增，∴x=3时f（x）有最大值

即9+3p+q=14，9+3p－1－p=14，∴p=3

此时，f（x）=x2+3x－4，即求x∈［－1，1］时f（x）的最小值

又f（x）=（x+）2－，显然此函数在［－1，1］上递增

∴当x=－1时f（x）有最小值f（－1）=1－3－4=－6

7解

（1）当a＞1时，原不等式等价于不等式组

由此得1－a＞因为1－a＜0，所以x＜0，∴＜x＜0

（2）当0＜a＜1时，原不等式等价于不等式组

由①得x＞1或x＜0，由②得0＜x＜，∴1＜x＜

综上，当a＞1时，不等式的解集是{x|＜x＜0，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜}

8解由已知得0＜a＜1，由f（3mx－1）＞f（1+mx－x2）＞f（m+2），x∈（0，1恒成立

在x∈（0，1恒成立

整理，当x∈（0，1）时，恒成立，

即当x∈（0，1时，

恒成立，

且x=1时，恒成立，

∵在x∈（0，1上为减函数，∴＜－1，

∴m＜恒成立m＜0

又∵，在x∈（0，1上是减函数，∴＜－1

∴m＞恒成立m＞－1

当x∈（0，1）时，

恒成立m∈（－1，0）①

当x=1时，，即是∴m＜0②

∴①、②两式求交集m∈（－1，0）,使x∈（0，1时，

f（3mx－1）＞f（1+mx－x2）＞f（m+2）恒成立，m的取值范围是（－1，0）

课前后备注　

2019-2020年高二数学复习教案导数的运算法则及基本公式应用苏教版

1深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数

表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′（x0）表示一个数值，即f′（x）=，知道导数的等价形式

2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键

3对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误

4复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系

例1求函数的导数

命题意图本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型

知识依托解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数

错解分析本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错

技巧与方法先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导

（2）解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by

v=x,y=sinγγ=ωx

y′=（μ3）′=3μ2·

μ′=3μ2（av－by）′

=3μ2（av′－by′）=3μ2（av′－by′γ′）

=3（ax－bsin2ωx）2（a－bωsin2ωx）

（3）解法一设y=f（μ）,μ=,v=x2+1,则

y′x=y′μμ′v·

v′x=f′（μ）·

v－·

2x

=f′（）·

·

=

解法二y′=［f（）］′=f′（）·

（）′

（x2+1）·

（x2+1）′

（x2+1）·

=f′（）

例2利用导数求和

（1）Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1（x≠0,n∈N*）

（2）Sn=C+2C+3C+…+nC,（n∈N*）

命题意图培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力

知识依托通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维由求导公式（xn）′=nxn－1,可联想到它们是另外一个和式的导数关键要抓住数列通项的形式结构

错解分析本题难点是考生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想

技巧与方法第

（1）题要分x=1和x≠1讨论，等式两边都求导

解

（1）当x=1时

Sn=1+2+3+…+n=n（n+1）;

当x≠1时，

∵x+x2+x3+…+xn=,

两边都是关于x的函数，求导得

（x+x2+x3+…+xn）′=（）′

即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=

（2）∵（1+x）n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,

两边都是关于x的可导函数，求导得

n（1+x）n－1=C+2Cx+3Cx2+…+nCxn－1,

令x=1得，n·

2n－1=C+2C+3C+…+nC,

即Sn=C+2C+…+nC=n·

2n－1

例3已知曲线Cy=x3－3x2+2x,直线l:

y=kx,且l与C切于点（x0,y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标

解由l过原点，知k=（x0≠0）,点（x0,y0）在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,

∴=x02－3x0+2

y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2

又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2

2x02－3x0=0,∴x0=0或x0=

由x≠0,知x0=

∴y0=（）3－3（）2+2·

=－

∴k==－

∴l方程y=－x切点（，－）

1y=esinxcos（sinx），则y′（0）等于（）

A0B1C－1D2

2经过原点且与曲线y=相切的方程是（）

Ax+y=0或+y=0Bx－y=0或+y=0

Cx+y=0或－y=0Dx－y=0或－y=0

3若f′（x0）=2,=_________

4设f（x）=x（x+1）（x+2）…（x+n）,则f′（0）=_________

5已知曲线C1:

y=x2与C2:

y=－（x－2）2,直线l与C1、C2都相切，求直线l的方程

6求函数的导数

（1）y=（x2－2x+3）e2x;

（2）y=

7有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14m时，梯子上端下滑的速度

8求和Sn=12+22x+32x2+…+n2xn－1,（x≠0,n∈N*）

1解析y′=esinx［cosxcos（sinx）－cosxsin（sinx）］,y′（0）=e0（1－0）=1

答案B

2解析设切点为（x0,y0）,则切线的斜率为k=,

另一方面，y′=（）′=,

故y′（x0）=k,即

或x02+18x0+45=0

得x0

（1）=－3,x0

（2）=－15,对应有y0

（1）=3,y0

（2）=,

因此得两个切点A（－3，3）或B（－15,）,

从而得y′（A）==－1及y′（B）=,

由于切线过原点，故得切线lA:

y=－x或lB:

y=－

答案A

3解析根据导数的定义

f′（x0）=（这时）

答案－1

4解析设g（x）=（x+1）（x+2）……（x+n）,则f（x）=xg（x）,

于是f′（x）=g（x）+xg′（x）,f′（0）=g（0）+0·

g′（0）=g（0）=1·

2·

…n=n！

答案n!

5解设l与C1相切于点P（x1,x12）,与C2相切于Q（x2,－（x2－2）2）

对于C1y′=2x,则与C1相切于点P的切线方程为

y－x12=2x1（x－x1）,即y=2x1x－x12①

对于C2y′=－2（x－2）,与C2相切于点Q的切线方程为

y+（x2－2）2=－2（x2－2）（x－x2）,即y=－2（x2－2）x+x22－4②

∵两切线重合，∴2x1=－2（x2－2）且－x12=x22－4,

解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0

∴直线l方程为y=0或y=4x－4

6解

（1）注意到y＞0,两端取对数，得

lny=ln（x2－2x+3）+lne2x=ln（x2－2x+3）+2x

（2）两端取对数，得

ln|y|=（ln|x|－ln|1－x|）,

两边解x求导，得

7解设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,

当下端移开14m时，t0=,

又s′=－（25－9t2）·

（－9·

2t）=9t,

所以s′（t0）=9×

=0875（m/s）

8解

（1）当x=1时，Sn=12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）,

当x≠1时，1+2x+3x2+…+nxn-1=,

两边同乘以x,得

x+2x2+3x2+…+nxn=

两边对x求导，得

Sn=12+22x2+32x2+…+n2xn-1