高三数学一轮复习第八章立体几何第六节立体几何中的向量方法夯基提能作业本理Word下载.docx

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于是=（-,3,-3）,=（,1,0）.

因为·

=-3+3+0=0,所以⊥,即AC⊥B1D.

（2）由

（1）知,=（0,3,3）,=（,1,0）,=（0,1,0）.

设n=（x,y,z）是平面ACD1的法向量,

则即令x=1,则n=（1,-,）.

设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sinθ=|cos<

n,>

|===.

即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为.

2.解析　

（1）证明:

因为AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,

所以BC􀱀

DQ,

所以四边形BCDQ为平行四边形.

所以CD∥BQ.

因为∠ADC=90°

所以∠AQB=90°

即BQ⊥AD.

又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,BQ⊂平面ABCD,所以BQ⊥平面PAD.

因为BQ⊂平面PBQ,

所以平面PBQ⊥平面PAD.

（2）因为PA=PD,Q为AD的中点,

所以PQ⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

所以PQ⊥平面ABCD.

如图,以Q为原点,QA,QB,QP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Q-xyz,

则Q（0,0,0）,A（1,0,0）,P（0,0,）,B（0,,0）,C（-1,,0）.

因为M是PC的中点,

所以M,

所以=（-1,0,）,=.

设异面直线AP与BM所成角为θ,

则cosθ=|cos<

>

|==,

所以异面直线AP与BM所成角的余弦值为.

3.解析　

（1）由已知得AC⊥BD,AD=CD.

又由AE=CF得=,故AC∥EF.

因此EF⊥HD,从而EF⊥D'

H.（2分）

由AB=5,AC=6得DO=BO==4.

由EF∥AC得==.

所以OH=1,D'

H=DH=3.

于是D'

H2+OH2=32+12=10=D'

O2,

故D'

H⊥OH.（4分）

又D'

H⊥EF,而OH∩EF=H,所以D'

H⊥平面ABCD.（5分）

（2）如图,以H为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系H-xyz.则H（0,0,0）,A（-3,-1,0）,B（0,-5,0）,C（3,-1,0）,D'

（0,0,3）,

=（3,-4,0）,=（6,0,0）,=（3,1,3）.（6分）

设m=（x1,y1,z1）是平面ABD'

的法向量,

则即

所以可取m=（4,3,-5）.（8分）

设n=（x2,y2,z2）是平面ACD'

所以可取n=（0,-3,1）.（10分）

于是cos<

m,n>

===-.

sin<

因此二面角B-D'

A-C的正弦值是.（12分）

4.解析　

（1）证明:

因为==λ（λ≠0）,所以EF∥BC.

因为BC∥AD,所以EF∥AD.

而EF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.

（2）因为平面ABCD⊥平面PAC,平面ABCD∩平面PAC=AC,且PA⊥AC,所以PA⊥平面ABCD.则PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD,故PA,AB,AD两两垂直.建立如图所示的空间直角坐标系,则A（0,0,0）,B（1,0,0）,C（1,1,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）.

当λ=时,F为PC的中点,

故F,=,

又=（-1,1,0）,设异面直线BF与CD所成的角为θ,则cosθ=|cos<

|=

=,

故异面直线BF与CD所成角的余弦值为.

（3）存在.设F（x0,y0,z0）,则=（x0,y0,z0-2）,又=（1,1,-2）,则由=λ,得（x0,y0,z0-2）=λ（1,1,-2）,所以

则=（λ,λ,2-2λ）.

设平面AFD的法向量为n1=（x1,y1,z1）,

因为=（λ,λ,2-2λ）,=（0,2,0）,

所以

令z1=λ,得n1=（2λ-2,0,λ）.

设平面PCD的法向量为n2=（x2,y2,z2）,

因为=（0,2,-2）,=（-1,1,0）,

令x2=1,得n2=（1,1,1）.

若平面AFD⊥平面PCD,则n1·

n2=0,

所以（2λ-2）+λ=0,解得λ=.

所以当λ=时,平面AFD⊥平面PCD.

5.解析　依题意,OF⊥平面ABCD,如图,以O为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得O（0,0,0）,A（-1,1,0）,B（-1,-1,0）,C（1,-1,0）,D（1,1,0）,E（-1,-1,2）,F（0,0,2）,G（-1,0,0）.

依题意,=（2,0,0）,=（1,-1,2）.

设n1=（x,y,z）为平面ADF的法向量,

不妨设z=1,可得n1=（0,2,1）,又=（0,1,-2）,可得·

n1=0,又因为直线EG⊄平面ADF,所以EG∥平面ADF.

（2）易证=（-1,1,0）为平面OEF的一个法向量.

依题意,=（1,1,0）,=（-1,1,2）.

设n2=（x,y,z）为平面CEF的法向量,则即

不妨设x=1,可得n2=（1,-1,1）.

因此有cos<

n2>

==-,

于是sin<

所以,二面角O-EF-C的正弦值为.

（3）由AH=HF,得AH=AF.

因为=（1,-1,2）,

所以==,

进而有H,

从而=,

因此cos<

==-.

所以,直线BH和平面CEF所成角的正弦值为.

2019-2020年高三数学一轮复习第八章立体几何第四节直线平面垂直的判定与性质夯基提能作业本理

1.若平面α⊥平面β,平面α∩平面β=直线l,则（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B.垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C.垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D.垂直于直线l的平面一定与平面α,β都垂直

2.设a,b,c是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则a⊥b的一个充分条件为（　　）

A.a⊥c,b⊥cB.α⊥β,a⊂α,b⊂β

C.a⊥α,b∥αD.a⊥α,b⊥α

3.已知ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则下列判断中正确的是（　　）

A.AB⊥PCB.AC⊥平面PBD

C.BC⊥平面PABD.平面PBC⊥平面PDC

4.PD垂直于正方形ABCD所在的平面,连接PB、PC、PA、AC、BD,则一定互相垂直的平面有（　　）

A.8对B.7对C.6对D.5对

5.如图,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:

①·

≠0;

②∠BAC=60°

;

③三棱锥D-ABC是正三棱锥;

④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

其中正确的是（　　）

A.①②B.②③C.③④D.①④

6.

如图,∠BAC=90°

PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中,与PC垂直的直线是　　　　;

与AP垂直的直线是　　　　. 

7.（xx课标全国Ⅱ,14,5分）α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:

①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.

②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.

③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.

④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.

其中正确的命题有　　　　.（填写所有正确命题的编号） 

8.

如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可） 

9.如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.

求证:

（1）直线PA∥平面DEF;

（2）平面BDE⊥平面ABC.

10.（xx四川,17,12分）如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥CD,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°

BC=CD=AD.

（1）在平面PAD内找一点M,使得直线CM∥平面PAB,并说明理由;

（2）证明:

平面PAB⊥平面PBD.

11.（xx辽宁大连模拟）已知互不重合的直线a,b,互不重合的平面α,β,给出下列四个命题,其中错误的命题是（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.若a∥α,a∥β,α∩β=b,则a∥b

B.若α⊥β,a⊥α,b⊥β,则a⊥b

C.若α⊥β,α⊥γ,β∩γ=a,则a⊥α

D.若α∥β,a∥α,则a∥β

12.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°

AD∶BC∶AB=2∶3∶4,E,F分别是AB,CD的中点,将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论:

①DF⊥BC;

②BD⊥FC;

③平面BDF⊥平面BFC;

④平面DCF⊥平面BFC.在翻折过程中,可能成立的结论是（　　）

A.①③B.②③C.②④D.③④

13.如图所示,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,点E是AC的中点,则下列命题中正确的是　　　　（填序号）. 

①平面ABC⊥平面ABD;

②平面ABC⊥平面BCD;

③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;

④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.

14.（xx甘肃兰州实战考试）设平面α∩平面β=EF,AB⊥α,CD⊥β,垂足分别为B,D,如果增加一个条件,就能推出BD⊥EF,现有下面四个条件:

①AC⊥α;

②AC与α,β所成的角相等;

③AC与BD在β内的射影在同一条直线上;

④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是　　　　.（把你认为正确的条件序号都填上） 

15.（xx河北石家庄一模）在平面四边形ACBD（图①）中,△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB,设AB=2,∠BAD=30°

∠BAC=45°

将△ABC沿AB折起,构成如图②所示的三棱锥C'

-ABD.

（1）当C'

D=时,求证:

平面C'

AB⊥平面DAB;

（2）当AC'

⊥BD时,求三棱锥C'

-ABD的高.

1.D　对于A,垂直于平面β的平面与平面α平行或相交,故A错;

对于B,垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内,故B错;

对于C,垂直于平面β的平面与直线l平行或相交,故C错;

易知D正确.

2.C　对于选项A,若a⊥c,b⊥c,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以A项错误;

对于选项B,若α⊥β,a⊂α,b⊂β,则直线a与b可能异面,可能平行,也可能相交,所以B项错误;

对于选项C,若a⊥α,b∥α,则a⊥b,所以C项正确;

对于选项D,易知a∥b,所以D项错误,故选C.

3.C　由题意画出几何体的图形,如图.

∵AB∥CD,CD不垂直于PC,∴AB⊥PC不正确;

设BD交AC于O,连接PO,易知AC不垂直于PO,所以AC⊥平面PBD不正确;

因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,因为BC⊥AB,且PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,C项正确;

易知D项不正确,故选C.

4.B　由于PD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,

故平面PAD⊥平面ABCD,

平面PDB⊥平面ABCD,

平面PDC⊥平面ABCD,

平面PDA⊥平面PDC,

平面PAC⊥平面PDB,

平面PAB⊥平面PAD,

平面PBC⊥平面PDC,共7对.

5.B　因为DA,DB,DC两两垂直,所以BD⊥平面DAC,则BD⊥AC,故①错;

易知平面ADC与平面ABC不垂直,故④错;

因为DA=DB=DC,所以易知△ABC为正三角形,故②③正确,故选B.

6.答案　AB,BC,AC;

AB

解析　∵PC⊥平面ABC,

∴PC垂直于直线AB,BC,AC.

∵AB⊥AC,AB⊥PC,AC∩PC=C,

∴AB⊥平面PAC,

∴AB⊥AP,故与AP垂直的直线是AB.

7.答案　②③④

解析　由m⊥n,m⊥α,可得n∥α或n在α内,当n∥β时,α与β可能相交,也可能平行,故①错.易知②③④都正确.

8.答案　DM⊥PC（或BM⊥PC）

解析　连接AC,∵四边形ABCD为菱形,

∴AC⊥BD,

又∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,

又AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC.

∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时,即有PC⊥平面MBD,

又PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD.

9.证明　

（1）因为D,E分别为棱PC,AC的中点,所以DE∥PA.

又因为PA⊄平面DEF,DE⊂平面DEF,

所以直线PA∥平面DEF.

（2）因为D,E,F分别为棱PC,AC,AB的中点,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4.

又因为DF=5,所以DF2=DE2+EF2,

所以∠DEF=90°

即DE⊥EF.

又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC.

因为AC∩EF=E,AC⊂平面ABC,EF⊂平面ABC,所以DE⊥平面ABC.

又DE⊂平面BDE,

所以平面BDE⊥平面ABC.

10.解析　

（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD）,点M即为所求的一个点.理由如下:

连接CM.因为AD∥BC,BC=AD,

所以BC∥AM,且BC=AM.

所以四边形AMCB是平行四边形,从而CM∥AB.

又AB⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,

所以CM∥平面PAB.

（说明:

取棱PD的中点N,则所找的点可以是直线MN上任意一点）

由已知,PA⊥AB,PA⊥CD,

因为AD∥BC,BC=AD,

所以直线AB与CD相交,

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

所以BC∥MD,且BC=MD.

连接BM,则四边形BCDM是平行四边形.

所以BM=CD=AD,所以BD⊥AB.

又AB∩AP=A,所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD,

所以平面PAB⊥平面PBD.

11.D　易知A、B正确;

C中,在α内取一点A,过A分别作直线m垂直于α,β的交线,直线n垂直于α,γ的交线,则由线面垂直的性质知m⊥β,n⊥γ,则m⊥a,n⊥a,由线面垂直的判定定理知a⊥α,正确;

D中,满足条件的a也可能在β内,故D错,故选D.

12.B　因为BC∥AD,AD与DF相交但不垂直,所以BC与DF不垂直,则①不成立;

设点D在平面BCF上的射影为点P,如图,当BP⊥CF时就有BD⊥FC,又AD∶BC∶AB=2∶3∶4可使BP⊥CF,所以②成立;

当点P落在BF上时,DP⊂平面BDF,从而平面BDF⊥平面BFC,所以③成立;

因为点D在平面BFC上的射影不可能落在直线FC上,所以④不成立.选B.

13.答案　③

解析　由AB=CB,AD=CD,点E为AC的中点,知AC⊥DE,AC⊥BE,又因为DE∩BE=E,所以AC⊥平面BDE,故③正确.由已知条件推不出①②④正确.

14.答案　①③

解析　要使BD⊥EF,结合EF⊥CD,EF⊥AB,则需EF⊥平面BCD,EF⊥平面ABD,即需平面BCD与平面ABD重合,故要使BD⊥EF,只需AB,CD在一个平面内即可,只有①③能保证这一条件.

15.解析　

（1）证明:

当C'

D=时,取AB的中点O,连接C'

O,DO.

在Rt△AC'

B和Rt△ADB中,AB=2,则C'

O=DO=1,

又∵C'

D=,

∴C'

O2+DO2=C'

D2,即C'

O⊥OD.

由题可知△ABC'

为等腰直角三角形,

O⊥AB,又AB∩OD=O,AB,OD⊂平面DAB,

O⊥平面DAB,

∵C'

O⊂平面C'

AB,

∴平面C'

AB⊥平面DAB.

⊥BD时,

∵AC'

⊥BC'

BD∩BC'

=B,

∴AC'

⊥平面BDC'

D⊂平面BDC'

⊥C'

D,∴△AC'

D为直角三角形,

易得AD=,BC'

=AC'

=,BD=1,

由勾股定理可得,

C'

D===1.

D2+BD2=C'

B2,

∴△BDC'

为直角三角形,

∴S△BDC'

=×

1×

1=.

VA-BDC'

S△BDC'

×

AC'

S△ABD=×

设三棱锥C'

-ABD的高为h,

∵VC'

-ABD=VA-BDC'

∴×

h×

解得h=.

∴三棱锥C'

-ABD的高为.