云南省中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合.docx

云南省中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合.docx

《云南省中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《云南省中考数学总复习 第三章 函数 第五节 二次函数综合题 课时2 二次函数与几何图形综合.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

云南省中考数学总复习第三章函数第五节二次函数综合题课时2二次函数与几何图形综合

课时2　二次函数与几何图形综合题

姓名：

________　班级：

________　限时：

______分钟

面积问题

1．（2018·黄冈）已知直线l：

y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.

（1）求证：

直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．

2．（2018·陕西）已知抛物线L：

y＝x2＋x－6与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C.

（1）求A、B、C三点的坐标，并求△ABC的面积；

（2）将抛物线L向左或向右平移，得到抛物线L′，且L′与x轴相交于A′、B′两点（点A′在点B′的左侧），并与y轴相交于点C′，要使△A′B′C′和△ABC的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式．

3．（2018·徐州）已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，

－5）．

（1）求该函数的关系式；

（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；

（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至A′，B′，求△OA′B′的面积．

4．（2018·温州）如图，抛物线y＝ax2＋bx（a≠0）交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B.

（1）求a，b的值；

（2）P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP，BP.设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，记K＝，求K关于m的函数表达式及K的范围．

角度问题

5．（2018·广东省卷）如图，已知顶点为C（0，－3）的抛物线y＝ax2＋b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.

（1）求m的值；

（2）求函数y＝ax2＋b（a≠0）的解析式；

（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2018·天津）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（1，0）．已知抛物线y＝x2＋mx－2m（m是常数），顶点为P.

（1）当抛物线经过点A时，求顶点P的坐标；

（2）若点P在x轴下方，当∠AOP＝45°时，求抛物线的解析式；

（3）无论m取何值，该抛物线都经过定点H.当∠AHP＝45°时，求抛物线的解析式．

特殊图形存在性问题

7．（2018·山西）综合与探究

如图，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F.

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．

8．（2018·临沂）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点，过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？

若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在．请说明理由．

参考答案

1．解：

（1）证明：

联立

化简可得x2－（4＋k）x－1＝0，

∴Δ＝（4＋k）2＋4＞0，

故直线l与该抛物线总有两个交点；

（2）解：

当k＝－2时，y＝－2x＋1.

如解图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，

∴联立解得或，

∴A（1－，2－1），B（1＋，－1－2），

∴AF＝2－1，BE＝1＋2.

易求得直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为（，0），

∴OC＝，

∴S△OAB＝S△AOC＋S△BOC＝OC·AF＋OC·BE＝OC·（AF＋BE）＝××（2－1＋1＋2）＝.

2．解：

（1）令y＝0，得x2＋x－6＝0，

解得x＝－3或x＝2，

∴A（－3，0），B（2，0）．

令x＝0，得y＝－6，

∴C（0，－6），

∴AB＝5，OC＝6，

∴S△ABC＝AB·OC＝×5×6＝15；

（2）由题意，得A′B′＝AB＝5.

要使S△A′B′C′＝S△ABC，只要抛物线L′与y轴交点为C′（0，－6）或C′（0，6）即可．

设所求抛物线L′：

y＝x2＋mx＋6，y＝x2＋nx－6.

又知，抛物线L′与抛物线L的顶点纵坐标相同，

∴＝，＝，

解得m＝±7，n＝±1（n＝1舍去）．

∴抛物线L′：

y＝x2＋7x＋6或y＝x2－7x＋6或y＝x2－x－6.　

3．解：

（1）设函数的关系式为y＝a（x＋1）2＋4，

将B（2，－5）代入得：

a＝－1，

∴该函数的关系式为y＝－（x＋1）2＋4＝－x2－2x＋3；

（2）令x＝0，得y＝3，因此抛物线与y轴的交点为（0，3）；

令y＝0，－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1，即抛物线与x轴的交点为（－3，0），（1，0）；

（3）设抛物线与x轴的交点为M，N（点M在点N的左侧），由

（2）知：

M（－3，0），N（1，0），

当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，

故A′（2，4），B′（5，－5），

∴S△OA′B′＝×（2＋5）×9－×2×4－×5×5＝15.

4．解：

（1）将x＝2代入y＝2x，得y＝4，

∴M（2，4），由题意得∴

（2）如解图，过点P作PH⊥x轴于点H.

∵点P的横坐标为m，抛物线的函数表达式为y＝－x2＋4x，

∴PH＝－m2＋4m.

∵B（2，0），∴OB＝2，

∴S＝OB·PH＝×2×（－m2＋4m）＝－m2＋4m，

∴K＝＝－m＋4.

由题意得A（4，0）．

∵M（2，4），∴2

∵K随着m的增大而减小，

∴0

5．解：

（1）将（0，－3）代入y＝x＋m得m＝－3；

（2）将y＝0代入y＝x－3得x＝3，

∴B（3，0），

将（0，－3），（3，0）代入y＝ax2＋b，

得解得

∴y＝x2－3；

（3）存在，分以下两种情况：

①若点M在BC上方，设MC交x轴于点D，如解图1，

则∠OCD＝45°－15°＝30°，

∴OD＝OC·tan30°＝，∴D（，0）．

设DC的解析式为y＝kx－3，将D（，0）代入得k＝，

取立解得

∴M（3，6）；

②若点M在BC下方，设MC交x轴于点E，如解图2，

则∠OCE＝45°＋15°＝60°，

∴OE＝OC·tan60°＝3，

∴E（3，0）．

设EC的解析式为y＝kx－3，将E（3，0）代入得k＝，

联立解得

∴M（，－2）．

综上所述，存在点M，使得∠MCB＝15°，此时点M的坐标是（3，6）或（，－2）．

6．解：

（1）∵抛物线y＝x2＋mx－2m经过点A（1，0），

∴0＝1＋m－2m，解得m＝1.

∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2.

∵y＝x2＋x－2＝（x＋）2－，

∴顶点P的坐标为（－，－）；

（2）抛物线y＝x2＋mx－2m的顶点P的坐标为（－，－）．

由点A（1，0）在x轴正半轴上，点P在x轴下方，∠AOP＝45°，知点P在第四象限．

如解图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则∠POQ＝∠OPQ＝45°.　

可知PQ＝OQ，即＝－，解得m1＝0，m2＝－10.

当m＝0时，点P不在第四象限，舍去．

∴m＝－10，

∴抛物线的解析式为y＝x2－10x＋20；

（3）由y＝x2＋mx－2m＝（x－2）m＋x2可知，当x＝2时，无论m取何值时，y都等于4，

∴点H的坐标为（2，4）．

如解图2，过点A作AD⊥AH，交射线HP于点D，分别过点D，H作x轴的垂线，垂足分别为E，G，则∠DEA＝∠AGH＝90°.

∵∠DAH＝90°，∠AHD＝45°，

∴∠ADH＝45°，∴AH＝AD.

∵∠DAE＋∠HAG＝∠AHG＋∠HAG＝90°，

∴∠DAE＝∠AHG，

∴△ADE≌△HAG（AAS），

∴DE＝AG＝1，AE＝HG＝4，

∴点D的坐标为（－3，1）或（5，－1）．

①当点D的坐标为（－3，1）时，

可得直线DH的解析式为y＝x＋.

∵点P（－，－）在直线y＝x＋上，

∴－＝×（－）＋，

解得m1＝－4，m2＝－.

当m＝－4时，点P与点H重合，不符合题意，

∴m＝－；

②当点D的坐标为（5，－1）时，

可得直线DH的解析式为y＝－x＋.

∵点P（－，－）在直线y＝－x＋上，

∴－＝－×（－）＋，

解得m1＝－4（舍去），m2＝－.

∴m＝－.

综上可得，m＝－或m＝－.

故抛物线的解析式为y＝x2－x＋或y＝x2－x＋.

7．解：

（1）令y＝0得x2－x－4＝0，

解得x1＝－3，x2＝4，

∴点A、B的坐标分别为A（－3，0），B（4，0），

令x＝0得y＝－4，

∴点C的坐标为（0，－4）；

（2）存在，Q1（，－4），Q2（1，－3）；

（3）如解图，过点F作FG⊥PM于点G.

∵B（4，0），C（0，－4），

∴△OBC为等腰直角三角形，

∴∠OBC＝45°，即QM＝BM.

∵B（4，0），点P的横坐标为m，

∴QM＝BM＝4－m.

∵PM⊥x轴，FG⊥PM，

∴FG∥x轴，

∴∠QFG＝∠OBC＝45°，即FG＝QG，QG＝QF.

∵PE∥AC，FG∥x轴，

∴∠PFG＝∠CAO.

又∵∠AOC＝90°，FG⊥PM，

∴△PFG∽△CAO，

∴＝，即＝，

∴PG＝FG.

又∵FG＝QG，

∴PG＝QG＝QF，

由图可知：

PQ＝QG＋PG＝QF＋QF＝QF，

∴QF＝PQ.

∵点P的横坐标为m，

∴点P的纵坐标为m2－m－4，即PM＝－（m2－m－4）．

又由图可知：

PQ＝PM－QM

＝－（m2－m－4）－（4－m）

＝－m2＋m＋4－4＋m

＝－m2＋m，

∴QF＝PQ

＝（－m2＋m）

＝－m2＋m

＝－（m2－4m）

＝－（m2－4m＋4－4）＝－（m－2）2＋.

∵－＜0，

∴当m＝2时，QF有最大值．

8．解：

（1）在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.

∵OC＝2OB，

∴OC＝2，则BC＝3.

又∵tan∠ABC＝2，

∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为（－2，6）．

把点A、B的坐标代入抛物线的解析式y＝－x2＋bx＋c中，得

解得

故该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4；

（2）①由点A（－2，6）和点B（1，0）的坐标求得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.

如解图1，设点P的坐标为（m，－m2－3m＋4），

则点E的坐标为（m，－2m＋2），点D的坐标为（m，0），

则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，

由PE＝DE，得－m2－m＋2＝（－2m＋2），

解得m＝±1.

又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，

∴点P的坐标为（－1，6）；

②如解图2，以AB为直角边，分别以A，B为直角顶点作直角三角形ABM交PD于点M1，M2，设点M的坐标为（－1，n）．

当点M位于直线AB上方时，由BM2＝AM2＋AB2，得

（－1－1）2＋n2＝（－2＋1）2＋（6－n）2＋（－2－1）2＋（6－0）2，

解得n＝.

故此时，点M的坐标为