口蹄疫传播的数学模型 原创.docx

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口蹄疫传播的数学模型原创

口蹄疫传播的数学模型 【原创】

口蹄疫传播的数学模型

早在20世纪初就有人提出了传染病传播的数学模型的概念，数学模型的出现使人类对许多传染病，如疟疾、麻疹、结核及艾滋病的流行病学有了新的认识，为了解疫病流行情况、制定防治计划做出了重大贡献。

近年来，数学模型也用于动物传染病流行病学研究，如应用于牛海绵状脑病，古典猪瘟，羊痒病和多种野生动物传染病的流行病学分析。

数学模型是一种对传染病流行病学研究非常有用的技术手段，传染病具有复杂的动态变化，仅根据实践经验很难对传染病流行过程和防控措施的效果进行定量的判断，数学模型提供了各种准确、有效、定量的框架，可用数量关系来反映疾病流行过程中的复杂动态关系，因此，在良好的生物学基础上建立起来的数学模型对分析传染病流行的状况具有非常重要的意义。

英国学者在英国2001年口蹄疫流行病学的报告中强调了数学模型的重要性，并且把定量模型确定为制定流行病防控策略和评估防控措施效果的基本手段。

学者们也建议数学模型应更广泛的应用于兽医学领域，希望数学模型在将来对口蹄疫及其他动物传染病的研究、防控计划的制定，突发疫情的处置等方面发挥更重要的作用。

一、模型的结构

（一）模型的种类

数学模型的建立有多种方式，因此数学模型有多种类型。

按照应用领域，可分为回顾模型和展望模型。

回顾型模型的制作需要相应的对流行病学数据进行定量处理的数学方程，这种方式将适合的流行病学数据模型用于检验选定的事件，例如对于不同防控措施的实施，有时被称为“what-if”（如果…就…）模式。

而展望型模型有两种作用：

一种是以现有资料为依据，预告正在流行中的疫情，即起预告作用；另一种把注意力不放在特定事件上，而是制作疫病可能发生及流行范围的模型，即起探索作用。

这种模型常用于援助应急计划。

按是否考虑随机因素可分为确定性模型和随机性模型。

确定性模型是对输入的已知数据产生固定的结果，随机性模型是对输入的已知数据产生可变的结果。

这两种模型可以结合疾病流行过程中的可能情况应用，每一种模型产生不同的结果。

确定性模型利用典型的（确定性的）公式，用一套成对的有区别的方程式来代表不同感染状态的宿主子集的相应动态。

而随机性模型根据自身特点又分两种，一种是以一套成对的有差别的随机方程为基础的模型，另一种是微型模拟或状态转换（跃迁）模型，它们分别代表群体中各宿主的当前状态。

随机性模型在数据的计算、对数据的适应性和阐述等方面比确定性模型要难得多，但它可以较好地反映出疾病流行过程存在的不确定性。

由于计算机领域的飞速发展使随机性模型，特别是微型模拟，在流行病学研究中被更多的利用，并可能在将来得到更广泛的发展和推广。

各种数学模型各有优缺点，没有哪种数学模型是万能的，而对于口蹄疫等传染病，也不可能只有一种流行病学模型。

要根据不同的研究目标，并综合考虑不同模型的优缺点选用不同的模型，也可以同时运用多种模型。

例如，英国在2001年口蹄疫流行过程中，应用了4种不同的数学模型，结果模型之间密切相关，可以共同反映疫情的状态，大大增强了研究者对多种模型使用的信心。

（二）宿主子集的划分

制作微生物（病毒、细菌或原虫）感染的流行病学模型的标准方法是将宿主群体分成若干不同的部分，即不同的子集。

易感的以“S”表示；潜伏的，即感染了但还未呈现感染症状以“L”表示，已感染并出现感染症状的以“I”表示，康复（或清除）的以“R”表示。

然后，以一部分向另部分迁移表示宿主的感染动态。

通常将这种模型称为SLIR模型，或SEIR模型（“E”代表暴露状态）。

如果涉及疫苗接种，再划分出一个“V”部分，代表已注苗的。

由于SLIR模型的结构具有显著的优点，因此被广泛应用，也曾用于口蹄疫感染分析，但由于口蹄疫传播的特点，在应用SLIR模型时常出现以下问题：

（1）根据SLIR模型划分易感、潜伏、感染和康复的方法不能准确地判断疫病在流行过程中的相应状态。

尽管是否感染口蹄疫可通过检测病毒、检测抗体，或者根据出现的临床症状进行确诊，然而这些检测结果与宿主是否潜伏感染、感染或康复之间并不是简单地对应关系。

例如，大多数被感染的动物在临床症状出现之前已被感染，有些动物特别是羊可能基本察觉不到临床症状，因此，在采用SLIR模型分析此类情况时应特别注意。

（2）SLIR划分的子集是离散的，即单个宿主可以是易感的、潜伏的、感染的或者是康复的，并不是所有宿主都同样具有易感性，也都同样具有感染性。

对于病毒血症，随着感染时间的推移，感染动物之间感染程度会产生多样的变化，抗体水平也产生多样复杂的变化，这时SLIR模型的作用就不能得到很好的发挥。

动物接触的病毒量是影响动物感染过程和感染途径的一个重要因素，但在实际感染中病毒量也是高度多变的。

这个问题可通过划分成更多的子集来解决，如再划分出亚临床感染动物或者部分免疫动物。

通过定量而不是定性的方式来表示动物的状态是一种较为成熟的方法，但在计算方面需要确定函数关系，通过将数学分析与各宿主感染动态的实验研究相结合，可以使SLIR模型得到进一步的改进，使其更好的应用于口蹄疫研究与防治中。

（3）有流行病学意义的单元不一定是单个动物。

许多数学模型在应用时针对的是牧场整个畜群而不是动物个体。

将牧场划分为易感、潜伏、感染或康复并不是困难，但如此划分后的各部分未必等同于单个动物个体。

在流行病学过程中，涉及的时间梯度与自然特性不同，因此在大多数情况下必须按比例从动物水平扩大到牧场水平。

例如，假设一个牧场从潜伏感染转变为感染，第一头被感染的动物转变成感染动物，那么该牧场的潜伏期水平就等同于该个体的潜伏期水平。

但如果考虑到牧场之间的有效传播比单个动物之间的传播需要更多的病毒量，在不同的传播途径下，整个牧场的潜伏期水平应该更长些。

那么就像动物个体之间感染的动态变化一样，分析暴发口蹄疫的各个牧场之间的动态变化将更为复杂。

虽然SLIR模型存在着局限性，但它在定量流行病学的研究和流行病感染防控方面具有重要的作用，该模型是流行病学模型的一种标准形式。

（三）参数和变量

SLIR模型按照划分的宿主（易感、潜伏、感染和康复）各部分数量（密度或成分）的变化来描述感染的动态变化。

这些数量分别以变量S、L、I、R表示。

各部分之间遵循一套数学公式以特定比率变动。

在公式中，在一个特定的比率下易感变成感染，潜伏感染变成感染、感染（个体）变成康复或被清除（死亡或屠宰）。

还有一些特定的变化，如易感的被免疫接种，或免疫个体失去保护作用。

其中每一种变化都涉及一个或多个参数。

确切的函数形式是反映模型构成的前提基础。

通常以σL微分方程模型表示潜伏感染个体变成感染的比率。

以常数σ表示潜伏状态，以恒定不变的比率变成感染的，其平均潜伏期为1/σ，而用统计学中众数表示的潜伏期则非常短。

如果选择将潜伏期本身作为一个固定常数，那么就表示当经过一段时间动物感染时，全部的潜伏动物整体将从潜伏状态都变成感染状态。

这种极端情况在实际感染过程中很难出现。

在实际应用中，用适当的函数如γ-分布对状态加以描述，但这样以来，因引入了更多的参数，使计算更加复杂和困难。

因此，实际上通常采用恒定比率或恒定潜伏期，这样可简单清晰地比较两种模型，来分析它们产生的结果是否存在明显的差异。

模型中参数的数目仅受其所代表的生物学信息水平的影响。

例如，要想描述各种不相同的传染途径，需要包括一个或多个与空气传播、直接接触、畜群迁移、传播媒介迁移等相关的参数。

一种口蹄疫的微型模拟模型，处理过程中涉及的各种不同参数可能超过50个，涉及的参数越多将会使模型更加符合实际，但却会给参数评价和模型应用造成麻烦。

（四）定量传播

流行病学模型的关键参数之一是基本传染数，是指单个初发病例把疫病传染给畜群中其他动物的平均数，基本传染数通常写成R0。

如果R0>1，则表示传染病会以指数方式散布，成为流行病。

如果R0<1，则被传染的病例数少于初发病例数，流行病将消失，可能构成较小规模的暴发，此时感染链可能仍然存在。

在流行的最早期过后，内在的因素，如易感动物的减少甚至消失，和外在的因素，如防控措施的实施，观察到的传染率降低为Rt，即由单个（初发）病例在t时间传染引发的二级病例的平均数，Rt≤R0。

此时，Rt被称为病例再传染率（CRR）。

对Rt的认知在研究流行病学中具有显著实用意义，如果Rt>1，表示流行正在扩展，可看作在t时间疫病失去控制，也表示应采取另外的防控措施；如果Rt<1，表示流行在下降，但并不意味着R0<1。

另一个参数，即传播率（DR），这是一个经验值，通常用于牧场水平流行病学研究，其定义为：

在7（某）d时间内病例数与此前7（某）d时间内病例数之比。

这是Rt的一个近似值，因为7d接近于传染病传播一代的时间，是疫病从一个牧场传播到另一个牧场的平均间隔时间。

R0和Rt中的一个组成部分是每个已感染动物感染其他易感动物的比率，即每头的传染率，通常称为β。

β是一个复合参数，与病毒、分泌物、已感染和未感染动物之间的接触、动物的易感性等密切相关。

口蹄疫能通过多种途径传播，宿主之间的接触程度很难定量表示。

在分析一个特定地区流行病学状况时需要重点考虑传染与易感动物数量N是如何变化，有两种情况：

一种是当每个动物以一个固定的概率感染其他动物时呈现为“频率依赖”传染，另一种是当感染其他动物的机会与动物的总体密度成比例时呈现为“密度依赖”传染。

若是频率依赖传染，则N增高而R0不改变；若是密度依赖传染，N增高则R0也升高。

在建立传播模型时，哪些符合流行病学特点和动物之间的接触特性，一直是各种动物传染病研究的主要课题。

而在口蹄疫的相关研究上该问题尚未得到很好解决，因为口蹄疫可通过许多途径传播，净传染率和动物数量或密度之间的关系在各种传播途径中都不相同。

实际上，口蹄疫的传染既是密度依赖型的又是频率依赖型的。

在有限区域内高度混杂的空气传播，所有易感动物都可能被传染，在这样情况下的属于密度依赖传染；而在一个相对宽广的地区或者牧场之间，通过与易感动物的接触而发生传染，这种情况又属于频率依赖传染。

总之，建立口蹄疫传染模型时，要考虑传染途径和宿主之间的接触特点，模型的系统之间的关系很重要。

二、模型的多相性

（一）各种不同的宿主类型

建立一个群体传播的数学模型最简单的方式就是将整个动物群看作一个统一体，群体中的每一个个体都有相同的几率感染群体中其他个体。

就如同上面SLIR模型所描述的，可看成一个“良好混合”系统。

但在实际研究牧场之间的传播时，这种情况是一种理想状态，因为牧场组成以及各地点动物密度和分布是不同的，牲畜品种、年龄、免疫史和圈舍等状况也都不同。

为了评定流行病学上的多相性通常采取观察研究的方法和应用数学模型，它们之间存在着差别：

观察研究通常评估不同类型牧场发生感染的危险性，而数学模型不仅可评估发生感染的危险性，还可评估感染后传播感染的危险性。

数学模型的评估可能涉及许多因素：

如牲畜品种（尤其是牛场/绵羊场/猪场），牲畜数量或密度，牧场类型（如奶牛/肉牛牛场），分散程度（如牧场是连成一片还是分隔成多块地的），生物安全水平，流行病学研究的其他方面。

目前SLIR模型也由简单的变量和单个参数设定了多套变量，如：

Sx代表X类型易感染亚群，βxy代表从Y类型的感染牧场向X类型的易感牧场的每头传播几率。

（二）空间效果

疫病的传播距离与传播机制有关，空气传播与距离有关，动物在牧场之间移动引起的传播则与距离无关，密切连接的交汇点（如牲畜市场）非常细微的变化都会对整个系统的动态产生巨大的影响。

假设疫病在牧场之间的传播率与牧场距离之间有相应的函数关系，就要考虑这种函数关系的复杂性，一个牧场能向紧邻牧场的传播疫病，也能同样将疫病传播到数公里外的另一牧场。

而在口蹄疫流行期间通常都会限制牲畜的移动，感染和扩散是在有限的区域内发生，要考虑空间因素对传播模型的影响。

数学模型中有多种方式代表空间结构。

最简单明了的方法，就是用地理位图来表示每个牧场的位置，微型模拟模型即采用了这种方式。

其中的一个关键问题就是定义传播率与传播距离相关性的函数，称为传播核心。

如英国2001