届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第11讲 函数与方程Word格式文档下载.docx
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（3）×
（4）√（5）√
（教材习题改编）已知函数
y＝f（x）的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：
x
y
1
124.4
2
35
3
－74
4
14.5
5
－56.7
6
－123.6
则函数
y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（）
A．2
个
C．4
B．3
D．5
解析：
选
B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f（x）在区间
（2，3），（3，4），
（4，5）内均有零点，所以
y＝f（x）在[1，6]上至少有
3
个零点．故选
B.
A．（1，2）
⎛1⎫
B．（2，3）
D．（4，＋∞）
若函数
f（x）＝ax＋b
有一个零点是
2，那么函数
g（x）＝bx2－ax
的零点是（）
A．0，2
C．0，－
B．0，
D．2，－
（教材习题改编
）函数
f（x）＝3x－7＋ln
的零点位于区间
（n，n＋1）（n∈N
）内，则
n＝
________．
因为
f
（2）＝6－7＋ln
2＝ln
2－1<
0，
f（3）＝9－7＋ln
3＝2＋ln
3>
0，又
为增函数，所以函数
f（x）的零点位于区间
（2，3）内，故
n＝2.
函数零点所在区间的判断（自主练透）
1．设
f（x）＝ln
x＋x－2，则函数
f（x）的零点所在的区间为（）
A．（0，1）
C．（2，3）
B．（1，2）
D．（3，4）
B.因为
f
（1）＝ln
1＋1－2＝－1＜0，f
（2）＝ln
2＞0，所以
f
（1）·
f
（2）＜0，
因为函数
x＋x－2
的图象是连续的，且为增函数，所以
f（x）的零点所在的区间是（1，
2）．
2．若
a＜b＜c，则函数
f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于
区间（）
A．（a，b）和（b，c）内
C．（b，c）和（c，＋∞）内
B．（－∞，a）和（a，b）内
D．（－∞，a）和（c，＋∞）内
A.因为
a＜b＜c，所以
f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，
f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0，
由函数零点存在性定理可知，在区间
（a，b），（b，c）内分别存在零点，又函数
f（x）是二次函
数，最多有两个零点．因此函数
f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内，故选
A.
3．若
x0
是方程⎝2⎭
＝x3的解，则
属于区间（）
⎛2⎫
⎛11⎫
⎛1
2⎫
⎛
1⎫
C.令
g（x）＝⎝2⎭
，f（x）＝x3，
11
111
⎝2⎭
⎝2⎭⎝2⎭
⎝2⎭⎝3⎭
⎝3⎭
30
11
33
⎝e⎭
法二：
当
x∈⎝e⎭3x3x
⎝e⎭⎝e⎭3e33
区间（1，e）内．
确定函数零点所在区间的方法
（1）解方程法：
当对应方程
易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区
间上．
（2）图象法：
把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．
（3）利用函数零点的存在性定理：
首先看函数
y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看
是否有
f（b）＜0.若有，则函数
y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点．
（4）数形结合法：
通过画函数图象，观察图象与
轴在给定区间上是否有交点来判断．
数为（）
A．1
C．3
函数零点的个数（师生共研）
（1）设函数
f（x）是定义在
R
上的奇函数，当
x＞0
时，f（x）＝ex＋x－3，则
f（x）的零点个
B．2
D．4
⎪
⎧x2＋x－2，x≤0，
（2）（一题多解）函数
f（x）＝⎨的零点个数为（）
⎪⎩－1＋ln
x，x＞0
A．3
C．7
D．0
【解析】
（1）因为函数
f（x）是定义域为
的奇函数，所以
f（0）＝0，所以
是函数
f（x）的一个
零点．
时，令
f（x）＝ex＋x－3＝0.
则
ex＝－x＋3.
分别画出函数
y＝ex
和
y＝－x＋3
的图象，如图所示，有一个交点，所以函数
f（x）在（0，＋∞）
上有一个零点．
又根据对称性知，当
x＜0
时函数
f（x）也有一个零点．
综上所述，f（x）的零点个数为
3.
⎧x≤0，
（2）法一：
由
得⎨
⎩x2＋x－2＝0
⎧x>
或⎨解得
x＝－2
或
x＝e.
⎩－1＋ln
x＝0，
因此函数
f（x）共有
2
个零点．
函数
f（x）的图象如图所示，
由图象知函数
【答案】
（1）C
（2）B
判断函数零点个数的方法
所对应方程
有几个不同的实数解就有几个零点．
（2）零点存在性定理法：
利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
（3）数形结合法：
转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交
点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
1．（一题多解）已知
x≥0
时，f（x）＝x2－3x，则函数
g（x）＝f（x）
－x＋3
的零点的集合为（）
A．{1，3}
C．{2－
7，1，3}
B．{－3，－1，1，3}
D．{－2－
D.法一：
求出当
时
f（x）的解析式，分类讨论解方程即可．
令
x＜0，则－x＞0，所以
f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x.因为
上的奇函数，所以
f（－x）＝－f（x）．所以当
时，f（x）＝－x2－3x.所以当
时，g（x）＝x2－4x＋3.令
g（x）＝0，即
x2－4x＋3＝0，解得
x＝1
x＝3.当
时，g（x）＝－x2－4x＋3.令
g（x）＝0，即
x2＋4x－3＝0，
解得
x＝－2＋
7＞0（舍去）或
x＝－2－
7.所以函数
g（x）有三个零点，故其集合为{－2－
7，1，
3}．
f（x）－x＋3＝0，
所以
f（x）＝x－3，
作
y＝f（x）与
y＝x－3
的图象，有
个交点．
y
轴右侧有
个交点，其零点为
1
轴左侧零点
x＜－3.
结合各选项，D
项符合题意．
2．偶函数
f（x）满足
f（x－1）＝f（x＋1），且当
x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋1，则关于
的方程
f（x）
＝lg（x＋1）在
x∈[0，9]上解的个数是（）
A．7
C．9
B．8
D．10
C.依题意得
f（x＋2）＝f（x），所以函数
f（x）是以
为周期的函数．在平面直角坐标系
中画出函数
y＝lg（x＋1）的图象（如图所示），
观察图象可知，这两个函数的图象在区间[0，9]上的公共点共有
9
个，因此，当
x∈[0，9]
时，方程
f（x）＝lg（x＋1）的解的个数是
9.
函数零点的应用（多维探究）
角度一根据函数零点个数求参数
A．（2，＋∞）
⎡5⎫
B．[2，＋∞）
⎡
10⎫
⎧ex，
x≤0，
（2）（2018·
高考全国卷Ⅰ）已知函数
f（x）＝⎨g（x）＝f（x）＋x＋a.若
g（x）存在
个零点，
⎪⎩ln
x，
x>
a
的取值范围是（）
A．[－1，0）
C．[－1，＋∞）
B．[0，＋∞）
D．[1，＋∞）
【解析】
⎫
⎫
110
x⎝2⎭⎣3
⎭
g（x）＝f（x）＋x＋a
存在
个零点，即关于
f（x）＝－x－a
有
个不同的实根，
即函数
f（x）的图象与直线
y＝－x－a
个交点，作出直线
与函数
f（x）的图象，如图
所示，由图可知，－a≤1，解得
a≥－1，故选
C.
【答案】
（1）D
（2）C
角度二根据函数零点的范围求参数
A．（1，3）
C．（0，3）
D．（0，2）
m＝g（x）－f（x）＝log
（2x－1）－log
（2x＋1）
（2）设函数
f（x）＝log2（2x＋1），g（x）＝log2（2x－1），若关于
的函数
F（x）＝g（x）－f（x）－m
在[1，
2]上有零点，则
m
的取值范围为________．
【解析】
（1）由题意，知函数
f（x）在（1，2）上单调递增，又函数一个零点在区间（1，2）内，
⎧f
（1）<
0，
⎧－a<
所以⎨即⎨
⎩f
（2）>
⎩4－1－a>
0<
a<
3，故选
（2）令
F（x）＝0，即
g（x）－f（x）－m＝0.
22
＝log
2x－1
2x＋1
⎪.
1≤x≤2，
3≤2x＋1≤5.
52x＋1332x＋15
⎛2
32
⎝2x＋1⎭535
⎣2
5⎦
⎡13⎤
根据函数零点的情况求参数的方法
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结
合求解．
1．（2019·
石家庄质量检测）已知
M
f（x）＝|2x－3|－8sin
π
x（x∈R）的所有零点之和，则
的值为（）
B．6
D．12
D.将函数
πx
的零点转化为函数
h（x）＝|2x－3|与
g（x）＝8sin
πx
图象交点的横坐标．在同一平面直角坐标系中，画出函数
h（x）与
g（x）的图象，如图，因为函数
点之和
M＝8×
3＝12，故选
D.
⎧ex－a，x≤0，
2．（2019·
郑州模拟）已知函数
f（x）＝⎨（a∈R），若函数
f（x）在
上有两个零点，
⎪2x－a，x＞0
则实数
A．（0，1]
C．（0，1）
B．[1，＋∞）
D．（－∞，1]
A.画出函数
f（x）的大致图象如图所示．因为函数
上有两个零点，所以
在（－∞，0]和（0，＋∞）上各有一个零点．当
x≤0
时，f（x）有一个零点，需
0＜a≤1；
x＞0
时，f（x）有一个零点，需－a＜0，即
a＞0.综上，0＜a≤1，故选
利用转化思想求解函数零点问题
⎧⎪x2－1，x＜1，
（1）已知函数
f（x）＝⎨log
x，x≥1，
若关于
f（x）＝k
有三个不同的实根，则实
k
的取值范围是______．
（2）若关于
22x＋2xa＋a＋1＝0
有实根，则实数
【解析】
（1）
关于
有三个不同的实根，等价于函数
＝f（x）与函数
＝k
的图象有三个不
12
同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数
的取值范围是（－1，0）．
（2）由方程，解得
a＝－
22x＋1
，设
t＝2x（t＞0），
t2＋1⎛
a＝－＝－ç
t＋⎪
t＋1⎝t＋1⎭
＝2－⎢（t＋1）＋
⎣
⎥，其中
t＋1＞1，
t＋1⎦
由基本不等式，得（t＋1）＋
≥2
2，
t＋1
当且仅当
t＝
2－1
时取等号，故
a≤2－2
2.
【答案】
（1）（－1，0）
（2）（－∞，2－2
2]
（1）函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围．
（2）“a＝f（x）有解”型问题，可以通过求函数
y＝f（x）的值域解决．
⎧⎪|x2＋5x＋4|，x≤0，
已知函数
f（x）＝⎨若函数
y＝f（x）－a|x|恰有
4
个零点，则实数
的取值范
⎩
⎪2|x－2|，x＞0
围为________．
在同一平面直角坐标系内画出函数
y＝f（x）和
y＝a|x|的图象可知，若满足条件，则
a
＞0.
a≥2
时，在
轴右侧，两函数图象只有一个公共点，
此时在
轴左侧，射线
y＝－ax（x≤0）与抛物线
y＝－x2－5x－4（－4＜x＜－1）需相切．
⎧y＝－x2－5x－4，
由⎨消去
y，
⎩y＝－ax
得
x2＋（5－a）x＋4＝0.
Δ＝（5－a）2－16＝0，解得
a＝1
a＝9.
矛盾，a＝9
时，切点的横坐标为
2，不符合题意．
0＜a＜2，此时，在
轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－
a＜－1，即
a＞1.故
1＜a＜2.
（1，2）
[基础题组练]
⎛1⎫⎛1⎫
在区间[－1，1]内（）
A．可能有
个实数根
C．有唯一的实数根
B．可能有
D．没有实数根
⎛1⎫
⎛1⎫
⎣22⎦
2．设
f（x）＝3x－x2，则在下列区间中，使函数
f（x）有零点的区间是（）
A．[0，1]
C．[－2，－1]
B．[1，2]
D．[－1，0]
f
1）·
（0）＜0.
南
3．（一题多解）（2019·
宁模拟）设函数
f（x）＝lnx－2x＋6，则
f（x）零点的个数为（）
A
．3
C
．1
B
．2
D
．0
1－2x
xx
2222
111
2ee102
＝5－ln
2＞0，f（e
）＝8－2e2＜0，
所以函数
f（x）在
f（x）＝0，则
ln
x＝2x－6，令
g（x）＝ln
x，h（x）＝2x－6（x＞0），在同一平面直角坐标
系中画出这两个函数的图象，如图所示，两个函数图象的交点个数就等于函数
f（x）零点的个数，
容易看出函数
f（x）零点的个数为
2，故选
4．已知函数
f（x）＝
5
－log
x，若
y＝f（x）的零点，且
0＜x1＜x0，则
f（x1）的值（）
．恒为正值
．恒为负值
．等于
．不大于
＞f（x
）．又
f（x）的零点，因此
f（x
）＝0，所以
）＞0，即此时
）的值恒为正值，故选
00011
5．已知函数
f（x）＝
0，x≤0，
ex，x＞0，
则使函数
g（x）＝f（x）＋x－m
有零点的实数
的取值范围是
．[0，1）
．（－∞，1]∪（2，＋∞）
．（－∞，1）
．（－∞，0]∪（1，＋∞）
D.函数
的零点就是方程
f（x）＋x＝m
的根，画出
h（x）＝f（x）＋x＝
⎧x，x≤0，
⎨
⎩ex＋x，x＞0
的大致图象（图略）．观察它与直线
y＝m
的交点，得知当
m≤0
m＞1
时，有交
点，即函数
6．（2019·
安徽黄山一模）已知函数
f（x）＝e|x|＋|x|.若关于
有两个不同的实根，
C．（－1，0）
B．（1，＋∞）
D．（－∞，－1）
B.方程
化为方程
e|x|＝k－|x|.令
y＝e|x|，y＝k－|x|，y＝k－|x|表示过点（0，k），
斜率为
或－1
的平行折线系，折线与曲线
y＝e|x|恰好有一个公共点时，有
k＝1.若关于
的方程
有两个不同的实根，则实数
的取值范围是（1，＋∞）．
⎛1⎫x
如图，作出
g（x）＝⎝2⎭
以函数
f（x）在[0，2π]上的零点个数为
8．函数
f（x）＝⎝2⎭
可转化为两个函数
y＝⎝2⎭
为两个函数均关于
对称，所以两个函数在
两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的
和为
2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在
两侧分别有
个交点，所以
5×
2＝10.
10
9．若函数
f（x）＝（m－2）x2＋mx＋（2m＋1）的两个零点分别在区间
（－1，0）和区间（1，2）内，
的取值范围是________．
⎧⎪m≠2，
依题意，结合函数
f（x）的图象分析可知
需满足⎨f（－1）·
f（0）＜0，
⎪f
（1）·
即⎨[m－2－m＋（2m＋1）]（2m＋1）＜0，
⎪⎩[m－2＋m＋（2m＋1）][4（m－2）＋2m＋（2m＋1）]＜0，
42
⎧⎪－x2－2x＋3，x≤1，1
数根，则实数
个交点．作出函数
f（x）的图象，如图，故点（1，0）在直线
y＝kx－1的下方．所以
k·
1－1＞0，
2mm
时，k＝
＝
e，f（x）的图象和直线
y＝kx－1有
个交点，不满足条件，故要求的
me2
⎝2e
⎛1e⎫
2e
⎪1⎪
（1）作出函数
f（x）的图象；
ab
（3）若方程
f（x）＝m
有两个不相等的正根，求
的取值范围．
解：
（1）如图所示．
＝⎨
⎩1－1，x∈（1，＋∞），
故
f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，＋∞）上是增函数，
b
且
f（a）＝f（b），得
1<
b，
且1－1＝1－1，所以1＋1＝2.
abab
（3）由函数
f（x）的图象可知，当
m<
有两个不相等的正根．
4x
⎪⎩x＋1，x≤0.
（1）求
g（f
（1））的值；
（2）若方程
g（f（x））－a＝0
个实数根，求实数
（1）利用解析式直接求解得
g（f
（1））＝g（－3）＝－3＋1＝－2.
f（x）＝t，则原方程化为
g（t）＝a，易知方程
f（x）＝t
在
t∈（－∞，1）内有
个不同的解，
则原方程有
个解等价于函数
y＝g（t）（t<
1）与
y＝a
的图象有
个不同的交点，作出函数
y＝
⎣4⎭
[综合题组练]
1．（应用型）已知函数
f（x）＝2x＋x，g（x）＝log2x＋x，h（x）＝x3＋x
的零点依次为
a，b，c，则
a，b，c
的大小关系为（）
A．a＜b＜c
C．a＞b＞c
B．a＜c＜b
D．c＞a＞b
可知
a＜0，g（x）＝log
x＋x
的零点
为函数
y＝log
y＝－x
图象的交点的横坐标，由图象（图
B.f（x）＝2x＋x
y＝2x
图象的交点的横坐标，由图象（图略）
略）知
b＞0，令
h（x）＝0，得
c＝0.故选
2．（创新型）（2019·
兰州模拟）已知奇函数
f（x）是
上的单调函数，若函数
y＝f（2x2＋1）＋f（λ－
x）只有一个零点，则实数
λ
的值是（）
8
C．－
7
D．－
C.因为函数
y＝f（2x2＋1）＋f（λ－x）只有一个零点，所以方程
f（2x2＋1）＋f（λ－x）＝0
只有一个实数根，又奇函数
上的单调函数，所以
f（－x）＝－f（x），所以
f（2x2＋1）
＋f（λ－x）＝0⇔f（2x2＋1）＝－f（λ
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