《离散数学》左孝凌 李为鉴 刘永才编著课后习题答案 上海科学技术文献出版社.docx
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《离散数学》左孝凌李为鉴刘永才编著课后习题答案上海科学技术文献出版社
1-1，1-2
（1）解：
a）是命题，真值为T。
b）不是命题。
c）是命题，真值要根据具体情况确定。
d）不是命题。
e）是命题，真值为T。
f）是命题，真值为T。
g）是命题，真值为F。
h）不是命题。
i）不是命题。
（2）解：
原子命题：
我爱北京天安门。
复合命题：
如果不是练健美操，我就出外旅游拉。
（3）解：
a）（┓P∧R）→Q
b）Q→R
c）┓P
d）P→┓Q
（4）解：
a）设Q:
我将去参加舞会。
R:
我有时间。
P:
天下雨。
Q↔（R∧┓P）:
我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。
b）设R:
我在看电视。
Q:
我在吃苹果。
R∧Q:
我在看电视边吃苹果。
c）设Q:
一个数是奇数。
R:
一个数不能被2除。
（Q→R）∧（R→Q）:
一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。
（5）解：
a）设P：
王强身体很好。
Q：
王强成绩很好。
P∧Q
b）设P：
小李看书。
Q：
小李听音乐。
P∧Q
c）设P：
气候很好。
Q：
气候很热。
P∨Q
d）设P：
a和b是偶数。
Q：
a+b是偶数。
P→Q
e）设P：
四边形ABCD是平行四边形。
Q：
四边形ABCD的对边平行。
P↔Q
f）设P：
语法错误。
Q：
程序错误。
R：
停机。
（P∨Q）→R
（6）解：
a）P:
天气炎热。
Q:
正在下雨。
P∧Q
b）P:
天气炎热。
R:
湿度较低。
P∧R
c）R:
天正在下雨。
S:
湿度很高。
R∨S
d）A:
刘英上山。
B:
李进上山。
A∧B
e）M:
老王是革新者。
N:
小李是革新者。
M∨N
f）L:
你看电影。
M:
我看电影。
┓L→┓M
g）P:
我不看电视。
Q:
我不外出。
R:
我在睡觉。
P∧Q∧R
h）P:
控制台打字机作输入设备。
Q:
控制台打字机作输出设备。
P∧Q
1-3
（1）解：
a）不是合式公式，没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）
b）是合式公式
c）不是合式公式（括弧不配对）
d）不是合式公式（R和S之间缺少联结词）
e）是合式公式。
（2）解：
a）A是合式公式，（A∨B）是合式公式，（A→（A∨B））是合式公式。
这个过程可以简记为：
A；（A∨B）；（A→（A∨B））
同理可记
b）A；┓A；（┓A∧B）；（（┓A∧B）∧A）
c）A；┓A；B；（┓A→B）；（B→A）；（（┓A→B）→（B→A））
d）A；B；（A→B）；（B→A）；（（A→B）∨（B→A））
（3）解：
a）（（（（A→C）→（（B∧C）→A））→（（B∧C）→A））→（A→C））
b）（（B→A）∨（A→B））。
（4）解：
a）是由c）式进行代换得到，在c）中用Q代换P,（P→P）代换Q.
d）是由a）式进行代换得到，在a）中用P→（Q→P）代换Q.
e）是由b）式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.
（5）解：
a）P:
你没有给我写信。
R:
信在途中丢失了。
PQ
b）P:
张三不去。
Q:
李四不去。
R:
他就去。
（P∧Q）→R
c）P:
我们能划船。
Q:
我们能跑步。
┓（P∧Q）
d）P:
你来了。
Q:
他唱歌。
R:
你伴奏。
P→（Q↔R）
（6）解：
P:
它占据空间。
Q:
它有质量。
R:
它不断变化。
S:
它是物质。
这个人起初主张：
（P∧Q∧R）↔S
后来主张：
（P∧Q↔S）∧（S→R）
这个人开头主张与后来主张的不同点在于：
后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。
（7）解：
a）P:
上午下雨。
Q:
我去看电影。
R:
我在家里读书。
S:
我在家里看报。
（┓P→Q）∧（P→（R∨S））
b）P:
我今天进城。
Q:
天下雨。
┓Q→P
c）P:
你走了。
Q:
我留下。
Q→P
1-4
（4）解：
a）
P Q R
Q∧R
P∧（Q∧R）
P∧Q
（P∧Q）∧R
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
T
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F
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F
F
F
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F
F
T
F
F
F
F
F
F
F
所以，P∧（Q∧R）⇔（P∧Q）∧R
b）
P Q R
Q∨R
P∨（Q∨R）
P∨Q
（P∨Q）∨R
T T T
T T F
T F T
T F F
F T T
F T F
F F T
F F F
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Ｆ
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Ｔ
Ｔ
Ｔ
Ｆ
所以，P∨（Q∨R）⇔（P∨Q）∨R
ｃ）
Ｐ Ｑ Ｒ
Ｑ∨Ｒ
Ｐ∧（Ｑ∨Ｒ）
Ｐ∧Ｑ
Ｐ∧Ｒ
（Ｐ∧Ｑ）∨（Ｐ∧Ｒ）
Ｔ Ｔ Ｔ
Ｔ Ｔ Ｆ
Ｔ Ｆ Ｔ
Ｔ Ｆ Ｆ
Ｆ Ｔ Ｔ
Ｆ Ｔ Ｆ
Ｆ Ｆ Ｔ
Ｆ Ｆ Ｆ
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Ｔ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
Ｆ
所以，P∧（Q∨R）⇔（P∧Q）∨（P∧R）
ｄ）
P Q
┓P
┓Q
┓P∨┓Q
┓（P∧Q）
┓P∧┓Q
┓（P∨Q）
T T
T F
F T
F F
F
F
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F
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F
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T
F
F
F
T
F
F
F
T
所以，┓（P∧Q）⇔┓P∨┓Q, ┓（P∨Q）⇔┓P∧┓Q
（5）解：
如表，对问好所填的地方，可得公式F1～F6，可表达为
P
Q
R
F1
F2
F3
F4
F5
F6
T
T
T
T
F
T
T
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T
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F
T
T
T
F1:
（Q→P）→R
F2:
（P∧┓Q∧┓R）∨（┓P∧┓Q∧┓R）
F3:
（P←→Q）∧（Q∨R）
F4:
（┓P∨┓Q∨R）∧（P∨┓Q∨R）
F5:
（┓P∨┓Q∨R）∧（┓P∨┓Q∨┓R）
F6:
┓（P∨Q∨R）
（6）
P
Q
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
F
F
F
T
F
T
F
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F
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T
F
F
F
F
F
F
F
F
T
T
T
T
T
T
T
T
解：
由上表可得有关公式为
1.F 2.┓（P∨Q） 3.┓（Q→P） 4.┓P
5.┓（P→Q） 6.┓Q 7.┓（P↔Q） 8.┓（P∧Q）
9.P∧Q 10.P↔Q 11.Q 12.P→Q
13.P 14.Q→P 15.P∨Q 16.T
（7）证明：
a）A→（B→A）⇔┐A∨（┐B∨A）
⇔A∨（┐A∨┐B）
⇔A∨（A→┐B）
⇔┐A→（A→┐B）
b）┐（A↔B）⇔┐（（A∧B）∨（┐A∧┐B））
⇔┐（（A∧B）∨┐（A∨B））
⇔（A∨B）∧┐（A∧B）
或┐（A↔B）⇔┐（（A→B）∧（B→A））
⇔┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
⇔┐（（┐A∧┐B）∨（┐A∧A）∨（B∧┐B）∨（B∧A））
⇔┐（（┐A∧┐B）∨（B∧A））
⇔┐（┐（A∨B））∨（A∧B）
⇔（A∨B）∧┐（A∧B）
c）┐（A→B）⇔┐（┐A∨B） ⇔A∧┐B
d）┐（A↔B）⇔┐（（A→B）∧（B→A））
⇔┐（（┐A∨B）∧（┐B∨A））
⇔（A∧┐B）∨（┐A∧B）
e）（（（A∧B∧C）→D）∧（C→（A∨B∨D）））
⇔（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐C∨（A∨B∨D））
⇔（┐（A∧B∧C）∨D）∧（┐（┐A∧┐B∧C）∨D）
⇔（┐（A∧B∧C）∧┐（┐A∧┐B∧C））∨D
⇔（（A∧B∧C）∨（┐A∧┐B∧C））→D
⇔（（（A∧B）∨（┐A∧┐B））∧C）→D
⇔（（C∧（A↔B））→D）
f）A→（B∨C）⇔┐A∨（B∨C）
⇔（┐A∨B）∨C
⇔┐（A∧┐B）∨C
⇔（A∧┐B）→C
g）（A→D）∧（B→D）⇔（┐A∨D）∧（┐B∨D）
⇔（┐A∧┐B）∨D
⇔┐（A∨B）∨D
⇔（A∨B）→D
h）（（A∧B）→C）∧（B→（D∨C））
⇔（┐（A∧B）∨C）∧（┐B∨（D∨C））
⇔（┐（A∧B）∧（┐B∨D））∨C
⇔（┐（A∧B）∧┐（┐D∧B））∨C
⇔┐（（A∧B）∨（┐D∧B））∨C
⇔（（A∨┐D）∧B）→C
⇔（B∧（D→A））→C
（8）解：
a）（（A→B）↔（┐B→┐A））∧C
⇔（（┐A∨B）↔（B∨┐A））∧C
⇔（（┐A∨B）↔（┐A∨B））
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