三角形的等积变形(一).doc

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年级

四年级

学科

奥数

版本

通用版

课程标题

三角形的等积变形

（一）

编稿老师

李允

一校

林卉

二校

张琦锋

审核

张舒

这节课，我们一起来学习三角形的等积变形，它是几何问题中在求直线型面积时，很重要的一个部分，下面我们就来研究一下三角形的面积与它的底和高三者之间的关系。

三角形面积的计算公式：

S＝底×高÷2

三角形面积、底和高之间的关系：

从公式我们可以发现：

三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

①当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。

②当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。

一个三角形的面积变化与否取决于它的底和高的乘积，而不仅仅取决于底或高的变化。

③一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。

重要结论：

①等底等高的两个三角形面积相等。

②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

③若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。

例1如图，在△ABC中，D是BC边上一点，BD＝12厘米，DC＝4厘米。

（1）求△ABC的面积是△ABD面积的多少倍；

（2）求△ABD的面积是△ADC面积的多少倍。

分析与解：

因为△ABD、△ABC和△ADC分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是过A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。

因为，12＋4＝16，16÷12＝，所以△ABC的底是△ABD的底的倍，所以，△ABC的面积是△ABD面积的倍；同理，因为12÷4＝3，所以△ABD的面积是△ADC面积的3倍。

巩固理解结论：

两个三角形等高时，面积的倍数＝底边长的倍数。

例2如图，E在AD上，AD垂直于BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。

求△ABC的面积是△EBC面积的几倍。

分析与解：

因为AD垂直于BC，所以当BC为△ABC和△EBC的底时，AD是△ABC的高，ED是△EBC的高。

于是：

△ABC的面积＝BC×12÷2＝BC×6；

△EBC的面积＝BC×3÷2＝BC×1.5。

所以△ABC的面积是△EBC的面积的4倍。

巩固理解结论：

两个三角形等底时，面积的倍数＝高的倍数。

例3如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点为O，求证：

△AOB与△COD面积相等。

分析与解：

∵△ABC与△DBC等底等高，

∴＝。

又∵＝－，

＝—，

∴＝。

例4如图，△ABC的面积是24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。

求△DEF的面积。

分析与解：

∵D是BC的中点，

∴△ADC的面积是△ABC面积的一半，即24÷2＝12。

∵E是AC的中点，

∴△ADE的面积是△ADC面积的一半，即12÷2＝6。

∵F是AD的中点，

∴△DEF的面积是△ADE面积的一半，即△DEF的面积＝6÷2＝3。

例5如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，△AFE（图中阴影部分）的面积为8平方厘米。

则平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析与解：

连结FB。

因为AF＝2CF，所以△AFB的面积是△CFB的面积的2倍。

又因为E为AB的中点，所以△AFB的面积是△AEF的面积的2倍。

所以△ABC的面积是△AEF的面积的3倍。

又因为平行四边形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍，

所以平行四边形ABCD的面积是△AFE的面积的3×2＝6倍。

因此，平行四边形ABCD的面积为8×6＝48（平方厘米）。

（答题时间：

30分钟）

1.用两种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形。

2.如图，在长方形ABCD中，AD为8厘米，AB为3厘米。

请问：

阴影部分的面积是多少平方厘米？

3.如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知＝27平方厘米，求。

4.如图所示，梯形ABCD的上底AD长为5厘米，下底BC长为12厘米，腰CD的长为8厘米，过B点作CD的垂线BE，BE的长为9厘米。

那么梯形ABCD的面积是多少？

5.如图所示，正方形ABCD的边长为10，三角形BEF的面积为30。

那么BF的长度为多少？

1.解：

解法一：

如图

（1），将BC边四等分，连接A与各等分点，则△ABD、△ADE、△AEF、△AFC的面积相等。

解法二：

如图

（2），D是BC的二等分点，E、F分别是AC、AB的中点，从而得到四个等积三角形△ADF、△BDF、△DCE、△ADE。

解法三：

如图（3），D是BC的四等分点，E、F是AD的三等分点，从而得到△ABD、△AEC、△ECF、△FCD的面积相等。

2.解：

可以通过等积变形把三个阴影三角形变成长方形的一半，所以阴影部分的面积为8×3÷2＝12（平方厘米）。

3.解：

因为D为BC边的三等分点，所以＝9平方厘米。

同理＝＝6平方厘米，＝＝4平方厘米，所以＝27－9－6－4＝8平方厘米。

4.解：

连接BD，作出梯形的一条高DF。

三角形BCD以CD为底、BE为高，面积为8×9÷2＝36（平方厘米）；也可以看做以BC为底、DF为高，由BC＝12厘米可知DF为36×2÷12＝6（厘米）。

在梯形ABCD中，上底为5厘米，下底为12厘米，高为6厘米，面积为（5＋12）×6÷2＝51（平方厘米）。

5.解：

三角形ABE中以AB为底，相应的高与正方形的边长相等，即为10，所以三角形ABE的面积为10×10÷2＝50。

三角形ABF的面积为50－30＝20。

在三角形ABF中以AB为底，由面积反求出高BF为20×2÷10＝4。

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