精品文档实变函数试题库3及参考答案.docx

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精品文档实变函数试题库3及参考答案

实变函数试题库及参考答案（3）本科

一、填空题

1．设为集合，则

2．设为无理数集，则（其中表示自然数集的基数）

3．设，如果中没有不是内点的点，则称是

4．任意个闭集的交是

5．设是定义在可测集上的实函数，如果，是可测，（）则称在上

6．可测函数列的上确界也是

7．设，，则

8．设，那么由黎斯定理，有子列，使于

二、选择题

1．下列集合关系成立的是（）

2．设，则（）

3．设为康托集，则（）

是可数集是不可数集是开集

4．下列集合关系成立的是（）

若则若则

若则若则

三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案）

1．设是狄利克莱函数，即，则（）

几乎处处等于几乎处处等于

是非负可测函数是可积函数

2．设，，则（）

是可测集的任何子集是可测集是可数集不一定是可数集

3．设，，则（）

当是可测集时，是可测函数当是可测函数时，是可测集

当是不可测集时，可以是可测函数

当是不是可测函数时，不一定是可测集

4．设是上的连续函数，则（）

在上有界在上可测

在上可积在上不一定可积

四、判断题

1.对等的集合不一定相等.（）

2.称在上几乎处处相等是指使的全体是零测集.（）

3.可数个开集的交是开集（）

4.可测函数不一定是连续函数.（）

5.对等的集合有相同的基数.（）

五、定义题

1.简述证明集合对等的伯恩斯坦定理.

2.简述中开集的结构.

3.可测集与闭集、集有什么关系？

4.为什么说绝对连续函数几乎处处可微？

六、计算题

1.设，为中有理数集，求.

2.设，求.

七、证明题

1．设是上的可测函数，则对任何常数，有

2．设是上的可积函数，为的一列可测子集，，如果

则

3．证明集合等式：

4．设是零测集，则的任何子集是可测集，且

5.证明：

上的实值连续函数必为上的可测函数

本科实变函数试题库及参考答案（3）

1、填空题

1.=2.=3.开集4.闭集5.可测6.可测函数7.8.

二、单选题

1.B2.A3.B4.A

三、多选题

1.BCD2.ABD3.AB4.BD

四、判断题

√√×√√

五、定义题

1.答：

若，又，则

2.答:

设为中开集，则可表示成中至多可数个互不相交的开区间的并.

3.答：

设是可测集，则，闭集，使或集，使.

4.答：

因为绝对连续函数是有界变差，由若当分解定理，它可表示成两个单调增函数的差，而单调函数几乎处处有有限的导数，所以绝对连续函数几乎处处可微.

六、解答题

1.解：

因为，所以于

于是

而在上连续，所以黎曼可积，由牛顿莱布尼公式

因此

2.解：

因为在上连续，所以可测

又

而，所以.

因此由有界控制收敛定理

七、证明题

1.证明因为在上可测，所以是非负可测函数，于是由非负可测函数积分性质，

而，

所以

2.证明因在上可积，由积分的绝对连续性知，对任意，存在，对任何，当时有，由于，故对上述的，存在，当时，且有，于是

，

即

3.证明

4.证明设，，由外测度的单调性和非负性，，所以

，于是由卡氏条件易知是可测集

5.证明，不妨假设，因为是上的连续函数，故是上的连续函数，记，由在上连续，则，使，则显然易证，是闭集，即为上的可测函数，

由的任意性可知，是上的可测函数.