正弦和余弦九年级数学教案模板Word下载.docx

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　　6．教法建议：

（1）联系实际，提出问题

　　通过修建扬水站时，要沿斜坡铺设水管而提出要求水管最顶端离地面高度的问题，第一步把这问题归结于直角三角形中，第二步，再把这个问题归于直角三角形中，已知一个锐角和斜边的长，求这个锐角所对直角边的一个几何问题．同时指出在这种情况下，用已学过的勾股定理是解决不了的．激发学生的学习兴趣，调动学生探索新途径，迫切需要学习新知识的积极性．在这章的第一节课，应抓住这个具有教育性，富于启发性的有利开端，为引进本章的重要内容：

锐角三角函数作了十分必要的准备．

（2）动手度量、总结规律、给出定义以含的三角板为例让学生对大小不同的三角板进行度量，并引导学生得出规律：

，再进一步对含的三角板进行度量，在探索同样的内容时，要用到勾股定理，又类似地得到，所有的这种等腰直角三角形中，都会得到,这时，应当即给出的正弦的定义及符号，即，再对照图形，分别用a、b、c表示、、的对边，得出及，就这样非常简洁地得到锐角三角函数的第一个定义，应充分利用课本中这种简练的处理手段，使学生建立起锐角三角函数的概念.

　　（3）加强数形结合思想的教学

　　“解直角三角形”编在几何教材中，突出了它的几何特点，但这只是从知识的系统性方面讲的，使它与几何前后知识可关系更紧密，便于学生理解和掌握，并没有改变它形数结合的本质，因此教学中要充分利用这部分教材，帮助学生掌握用代数方法解决几何问题的方法，提高在几何问题中注意运用代数知识的能力．

第一课时

　　一、教学目标

　　1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也都固定这一事实。

　　2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。

　　3.引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。

　　二、学法引导

　　1．教学方法：

引导发现和探索研究相结合，尝试成功教法。

　　2．学生学法：

在教师的指导下，积极思维，相互讨论，动手感知，探索新知。

　　三、重点、难点、疑点及解决办法

　　1．重点：

使学生知道当锐角固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实。

　　2．难点：

学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论。

　　3．疑点：

无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的。

　　4．解决办法：

教师引导学生比较、分析、讨论，解决重难点和疑点。

　　四、教具准备

　　自制投影片，一副三角板

　　五、教学步骤

（一）明确目标

　　1．如图，长5米的梯子架在高为3米的墙上，则、间距离为多少米？

　　2．长5米的梯子以倾斜角为30°

靠在墙上，则、间的距离为多少？

　　3．若长5米的梯子以倾斜角40°

架在墙上，则、间距离为多少？

　　4．若长5米的梯子靠在墙上，使、间距离为2米，则倾斜角为多少度？

　　前两个问题学生很容易回答，这两个问题的设计主要是引起学生的回忆，并使学生意识到，本章要用到这些知识，但后两个问题的设计却使学生感到疑惑，这对初三年级这些好奇、好胜的学生来说，起到激起学生的学习兴趣的作用，同时使学生对本章所要学习的内容的特点有一个初步的了解，有些问题单靠勾股定理或含30°

角的直角三角形和等腰直角三角形的知识是不能解决的，解决这类问题，关键在于找到一种新方法，求出一条边或一个未知锐角，只要做到这一点，有关直角三角形的其他未知边角就可用学过的知识全部求出来。

　　通过四个例子引出课题。

（二）整体感知

　　1．请每一位同学拿出自己的三角板，分别测量并计算30°

角的对边、邻边与斜边的比值。

　　学生很快便会回答结果：

无论三角尺大小如何，其比值是一个固定的值，程度较好的学生还会想到，以后在这些特殊直角三角形中，只要知道其中一边长，就可求出其他未知边的长。

　　2．请同学画一个含40°

角的直角三角形，并测量、计算40°

角的对边、邻边与斜边的比值，学生又高兴地发现，不论三角形大小如何，所求的比值是固定的，大部分学生可能会想到，当锐角取其他固定值时，其对边、邻边与斜边的比值也是固定的吗？

　　这样做，在培养学生动手能力的同时，也使学生对本节课要研究的知识有了整体感知，唤起学生的求知欲，大胆地探索新知。

　　（三）教学过程

　　1．通过动手实验，学生会猜想到“无论直角三角形的锐角为何值，它的对边、邻边与斜边的比值总是固定不变的”，但是怎样证明这个命题呢？

学生这时的思维很活跃，对于这个问题，部分学生可能能解决它，因此教师此时应让学生展开讨论，独立完成。

　　2．学生经过研究，也许能解决这个问题．若不能解决，教师可适当引导：

　　若一组直角三角形有一个锐角相等，可以把其顶点，，重合在一起，记作，并使直角边，，……落在同一条直线上，则斜边，，……落在另一条直线上，这样同学们能解决这个问题吗？

引导学生独立证明：

易知，……，∴∽∽∽……，∴，，因此，在这些直角三角形中，的对边、邻边与斜边的比值，是一个固定值。

　　通过引导，使学生自己独立掌握了重点，达到知识教学目标，同时培养学生能力，进行了德育渗透。

　　而前面导课中动手实验的设计，实际上为突破难点而设计。

这一设计同时起到培养学生思维能力的作用。

　　3．练习：

教科书P3练习。

此题为作了孕伏，同时使学生知道任意锐角的对边与斜边的比值都能求出来。

　　（四）总结、扩展

　　1．引导学生作知识总结：

本节课在复习勾股定理及含30°

角直角三角形的性质基础上，通过动手实验、证明，我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的。

　　教师可适当补充：

本节课经过同学们自己动手实验，大胆猜测和积极思考，我们发现了一个新的结论，相信大家的逻辑思维能力又有所提高，希望大家发扬这种创新精神，变被动学知识为主动发现问题，培养自己的创新意识。

　　2．扩展：

当锐角为30°

时，它的对边与斜边比值我们知道，今天我们又发现，锐角任意时，它的对边与斜边的比值也是固定的，如果知道这个比值，已知一边求其他未知边的问题就迎刃而解了，看来这个比值很重要，下节课我们就着重研究这个“比值”，有兴趣的同学可以提前预习一下，通过这种扩展，不仅对下、余弦概念有了初步印象，同时又激发了学生的兴趣。

　　六、布置作业

　　本节课内容较少，而且是为正、余弦概念打基础的，因此课后应要求学生预习正余弦概念。

　　七、板书设计

第二课时

　　1．使学生初步了解正弦、余弦概念；

能够较正确地用、表示直角三角形中两边的比；

熟记特殊角30°

角的正、余弦值，并能根据这些值说出对应的锐角度数.

　　2．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力.

　　3．渗透教学内容中普遍存在的运动变化、相互联系、相互转化等观点.

指导发现探索法.

自主、合作、探究式学习.

　　三、重点、难点、疑点及解决方法

　　1．教学重点：

使学生了解正弦、余弦概念.

　　2．教学难点：

用含有几个字母的符号组、表示正弦、余弦；

正弦、余弦概念.

锐角的正弦、余弦值的范围.

通过旧知创设情境，采用从特殊到一般的方法，引导学生进行探究式学习，从而解决重难点及疑点.

　　三角板一副

　　1．引导学生回忆“直角三角形锐角固定时，它的对与斜边的比值、邻边与斜边的比值也是固定的.”

　　2．明确目标：

这节课我们将研究直角三角形一锐角的对边、邻边与斜边的比值—正弦和余弦.

　　当直角三角形有一锐角为30°

时，它的对边与斜边的比值为，只要知道三角形任一边长，其他两边就可知.

　　而上节课我们发现，只要直角三角形的锐角固定，它的对边与斜边、邻边与斜边的比值也固定，这样只要能求出这个比值，那么求直角三角形未知边的问题也就迎刃而解了.

　　通过与“30°

角所对的直角边等于斜边的一半”相类比，学生自然产生想学习的欲望，产生浓厚的学习兴趣，同时对以下要研究的内容有了大体印象.

　　正弦、余弦的要领是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，因此确定它为本课重点，同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，因此概念也是难点.

　　在上节课研究的基础上，引入正、余弦，“把对边、邻边与斜边的比值称做正弦、余弦”.如图

　　请学生结合图形叙述正弦、余弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力，教师板书：

在中，为直角，我们把锐角的对边与余边的比叫做的正弦，记作，锐角的邻边与斜边的比叫做的余弦，记作.

　　.

　　若把的对边记作，邻边记作，斜边记作，则，.

　　引导学生思考：

当为锐角时，、的值会在什么范围内？

得结论，（为锐角），这个问题对于较差学生来说有些难度，应给学生充分思考时间，同时这个问题也使学生将数与形结合起来.

　　教材例1的设置是为了巩固正弦概念，通过教师示范，使学生会求正弦，这里不妨增问“、”，经过反复强化，使全体学生都达到目标，更加突出重点.

　　【例1】求出如下图所示的中的、和、的值.

　　解：

（1）∵斜边，

　　∴，．

　　，．

（2），．

　　，

　　学生练习教材P6～7中1、2、3题．

　　让每个学生画含30°

的直角三角形，分别求、、和、、.这一练习既用到以前的知识，又巩固正弦、余弦的概念，经过学习亲自动笔计算后，对特殊角三角函数值印象很深刻.

　　，，．

　　【例2】求下列各式的值：

（1）；

（2）．

（1）．

（2）．

　　这了使学生熟练掌握特殊角三角函数值，这里还应安排六个小题：

（2）；

　　（3）；

（4）．

　　（5）若，则锐角.

　　（6）若，则锐角.

　　在确定每个学生都牢记特殊角的三角函数值后，引导学生思考，“请大家观察特殊角的正弦和余弦值，猜测一下，大概在什么范围内，呢？

”这样的引导不仅培养学生的观察力、注意力，而且培养学生勇于思考、大胆创新的精神，还可以进一步请成绩较好的同学用语言来叙述“锐角的正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.

　　首先请学生作小结，教师适当补充，“主要研究了锐角的正弦、余弦概念，已知直角三角形的两边可求其锐角的正、余弦值，知道任意锐角A的正、余弦值都在0～1之间，即

　　，　　（为锐角）．

　　还发现的两锐角、，，，正弦值随角度增大而增大，余弦值随角度增大而减小”.

　　教材P10中2，3.

　　预习下一课内容.

　　补充：

（1）若，则锐角．

（2）若，则锐角．

1.1、你能证明它们吗

（一）一、教学目标：

1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例休会反证的含义。

二、教学重点：

了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：

三、教学方法：

观察法。

四、教学过程：

复习：

1、什么是等腰三角形？

2、 

你会画一个等腰三角形吗？

并把你画的等腰三角形栽剪下来。

3、试用折纸的办法回忆等腰三角形有哪些性质？

新课讲解：

在《证明

（一）》一章中，我们已经证明了有关平行线的一些结论，运用下面的公理和已经证明的定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理w 

本套教材选用如下命题作为公理:

w 

1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3.两边夹角对应相等的两个三角形全等;

（SAS）w 

4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等;

（ASA）w 

5.三边对应相等的两个三角形全等;

（SSS）w 

6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：

推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：

已知：

∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：

△ABC≌△DEF证明：

∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∵∠A+∠B+∠C=180°

，∠D+∠E+∠F=180°

（三角形内角和等于180°

）∠C=180°

-（∠A+∠B）∠F=180°

-（∠D+∠E）∠C=∠F（等量代换）BC=EF（已知）△ABC≌△DEF（ASA）这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

议一议：

（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？

（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？

等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

定理：

等腰三角形的两个底角相等。

这一定理可以简单叙述为：

等边对等角。

如图，在ABC中，AB＝AC。

求证：

∠B＝∠C我们刚才利用折叠的方法说明了这两个底角相等。

实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等三角形。

能否通过作一条线段，得到两个全等的三角形，从而证明这两个底角相等呢？

证明：

取BC的中点D，连接AD。

∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABC△≌△ACD 

（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形的对应边角相等）让同学们通过探索、合作交流找出其他的证明方法。

想一想：

在上图中，线段AD还具有怎样的性质？

为什么？

由此你能得到什么结论？

应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD具有的性质和特征，从而得到结论，这一结合通常简述为“三线合一”。

推论等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

随堂练习：

做教科书第4页第1，2题。

课堂小结：

通过本课的学习我们了解了作为基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

探体会了反证法的含义。

五、课外作业：

教科书第5页第1，2题。

六、板述设计：

七、课后记：

频率分布教案设计第一课时

　　素质教育目标

（一）知识教学点

　　使学生了解频率分布的意义，了解做出一组数据的频率分布的步骤和要求.

（二）能力训练点

　　培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力，培养学生统计数据的能力.

　　（三）德育渗透点

　　培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

　　（四）美育渗透点

　　通过本节课的教学，体现了寓复杂于简单、寓深奥于浅显，寓纷繁于严谨的辩证统一的数学美.

　　重点·

难点·

疑点及解决办法

频率分布的概念及其获得的方法.

列频率分布表的方法.

　　3．教学疑点：

学生对分组组数的法则可能感到不太习惯，不知如何决定分组的组数.

（1）了解频率分布的意义；

（2）频率分布的一般步骤；

（3）要适当选择组距与数数，原则是100以内的数据一般分5~12组.

　　课时安排

　　一课时

　　教学步骤

　　前面我们学习了反映一组数据的平均水平与波动大小的数字特征，如平均数、方差等．

　　它们从某一项侧面反映了一组数据的情况，但是在实际生活中，有时只知道这些情况还不够，

　　还需要知道数据在整体上的分布情况．例如，对于班组的一次代数考试情况，不仅要知道平

　　均成绩，还要知道90分以上的占多少，80分与90分之间的占多少，……，不及格的占多少等．因此这节课我们来学习如何做出一组数据的频率分布．

　　这样以旧拓新，设疑置问地引入课题，能激发学生的求知欲，教师引而不发，学生疑问重重，起到了渗透教学目标的作用

　　前面学习的平均数与方差，反映了样本和总体的两个特征：

平均水平和波动大小．但是

　　在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道其分布规律，以便能全面掌握样本和总体的

　　情况，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分市．获得一组数据的频

　　率分布的一般步骤是：

计算极差，决定组距与组数、决定分点、列出频率分布表，画出频率分布直方图．

　　（三）教学过程（）

　　（用幻灯出示引例）

　　为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同年龄的60名女学生的身高进行了测量，

　　结果如下（单位：

厘米）：

　　167　154　159　166　169　159　156　166　162　158

　　159　156　166　160　164　160　157　156　157　161

　　158　158　153　158　164　158　163　158　153　157

　　162　162　159　154　165　155　157　151　146　151

　　158　161　165　158　163　163　162　161　154　165

　　162　162　159　157　159　149　164　168　159　153

　　我们知道，这组数据的平均数，反映了这些学生的平均身高，但是，有时只知道这一点还不够，还希望知道身高在哪个小范围内的学生多，在哪个小范围内的学生少，也就是说，希望知道这60名女学生的身高数据在各个小范围内所占的比例大小，为此，需要对这组数据进行适当整理整理数据时．可以按照下面的步骤进行．

　　1．计算最大值与最小值的差

　　教师引导学生通过观察比较找出数据中的最大值与最小值让学生先对整个数据进行初步观察，找出其中一个尽可能小的数据，然后按顺序将全组数据过一遍，将每个数据与所找出的数据进行比较，如果前者更小，就用它来取代后者，并继续往下进行，从而最后得到其

　　中的最小值，同理得到其中的最大值．

　　最大值是169，最小会值是146，它们的差是：

　　169－146=23（厘米）．

　　算出了最大值与最小值的差，就知道这组数据变动的范围有多大．

　　2．决定组距与组数

　　将一批数据分组，一般数据越多，分的组数也越多，经验法则是：

当数据在100个以内

　　时，按照数据的多少，常分成5~12组．

　　组距是指每个小组的两个端点之间的距离.

　　如果取组距为3厘米，那么由于在这批数据中，，要将数据分成8组；

如果取组距为2厘米，那么由于，要分成12组，因为当数据个数接近100时，组数接近12，而这里的数据个数是60，因此分成8组更合适些，于是取定组距为3厘米，组数为8．

　　教师要说明，在分组的问题上，不是分这么多组就行，分那么多组就不行的问题，而是怎样分组更合适一些的问题．

　　3，决定分点

　　教师引导学生观察、分析若将数据按照3厘米的组距分组时，可分成怎样的8组，会出现什么问题？

如何解决？

（师生共同完成）可以分成以下8组：

146~149，149~152，152~155，155～158，158～161，161～164，164～167，167～170．

　　这时有些数据（如149、158、167）本身就是分点，不好决定它们究竟应该属于哪一组，为避免出现这种情况，可以使分点比数据多一位小数，并且把第1组的起点稍微减小一点．例如，可以将第1组的起点定为145.5，这样，所分的8个小组是：

　　145.5~148.5，148.5~151.5，151.5~154.5，154.5~157.5，157.5～160.5，160.5~163.5，

　　163.5～166.5，166.5～169.5．

　　4．列频率分布表

　　（用幻灯出示表格）

　　把学生分成三人一组，用选举时唱票的方法，对落在各个小组内的数据进行累计，教师

　　要提醒学生应认真仔细，分工合作，在根据频数累计的结果在表中填出相应的频数后，要将

　　各频数相加，看看它们的和是否等于数据的总个数，如果不相等，说明前面出现了差错，需要进行检查．在根据各组的频数算出相应的频率之后，也要根据各组的频率之和是否等于回来检查求频率的计算过程是否有错．

　　在学生列出频率分布表后，教师指出，这时我们就可以知道这些数据在各个小组内所占

　　的比的大小了．而为了将频率分布表中的结果直观形象地表示出来，通常还要进行第