北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案.docx

北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案.docx

《北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版八年级数学上册第一章 勾股定理 提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提高培优讲义勾股定理逆定理及应用含答案

北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提高培优讲义：

勾股定理、逆定理及应用

基础知识梳理

模块一：

勾股定理及证明

1．勾股定理：

如果直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边为c，那么．

即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．

注：

勾——较短的边、股——较长的直角边、弦——斜边．

2．勾股定理的证明：

（1）弦图证明

内弦图外弦图

∴∴

（2）“总统”法（半弦图）

如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

∴

3．勾股数：

满足的三个正整数，称为勾股数．

（1）3、4、5；6、8、10；9、12、15；12、16、20；15、20、25等．

（2）是组勾股数，则（k为正整数）也是一组勾股数.

（3）3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；11、60、61等

（4），，（n为大于1的自然数）

（5），，（，且m和n均为正整数）

模块二：

勾股定理逆定理及应用

1．勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么前两边的夹角一定是直角．即在中，如果，那么是直角三角形．

2．勾股定理的常见题型．

模块三：

例题精讲

（1）勾股证明的方法成百上千种，其中《几何原本》中的证法非常经典，是在一个我们非常熟悉的几何图形中实现的（如图所示），如果直角三角形ABC的三边长为a，b，c（c为斜边），以这三边向外作三个正方形，试利用此图证明．

（2）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为__________．

【解析】

（1）如上图可知：

，

，，

∴，同理，∴．

（2）49cm2．

（1）若把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）．

A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍

（2）若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为________．

（3）下面几组数：

①7，8，9；②12，9，15；③，,2mn（m，n均为正整数，）；④，，．其中能组成直角三角形的三边长的是（）．

A．①②B．②③C．①③D．③④

【解析】

（1）B；

（2）可知三边为3，4，5，所以周长为12；

（3）B；容易知道①错误②正确，对于③，由

，，

所以．

所以，以这三条线段的长为边的三角形是直角三角形．答案选B．

中，，，．若，如图3-1，根据勾股定理，则．若不是直角三角形，如图3-2，；如图3-3，．请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论．

图3-1图3-2图3-3

【解析】图2猜想：

．

证明：

过点A作于D，设，，

，

即，故．

图3猜想：

．

证明：

过B作，交AC的延长线于D．

设CD为x，则有．

根据勾股定理，得．

即，

∵，，∴，∴．

（1）如果直角三角形的两边长为4、5，则第三边长为________．

（2）如果直角三角形的三边长为10、6、x，则最短边上的高为________．

（3）若，则以a、b为边的直角三角形的第三边为________．

【解析】

（1）3或；

（2）8或10；（3）或．

在中，，，高，则三角形的周长是_________．

【解析】32或42．

【提示】题型：

已知三角形的两边及第三边高求第三边，B卷填空必考题，一般题目无图，为易错题，切记要分类讨论,分形内高和形外高．

（1）如图6-1，四边形ABCD中，，，，，，求四边形ABCD的面积．

（2）如图6-2，在四边形ABDC中，，，，，，求该四边形面积．

图6-1图6-2

【解析】

（1）；

（2）96．四边形ABDC的面积为96．

连接BC，根据勾股定理可得，

因为，所以为直角三角形，

故四边形ABDC的面积．

（1）如图，梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置，BD长0.5米，则梯子顶端A下落了________米．

（2）梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端向外移动到C，使梯子底端C到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至D，那么BD（　　）

A．等于1米B．大于1米C．小于1米D．以上结果都不对

（3）如图，梯子AB斜靠在墙面上，，，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯子B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（　　）

A．B．

C．D．不确定

【解析】

（1）0.5；

（2）C；

（3）选B，设米，

由勾股定理得：

，

化简得，．

（1）若直角三角形斜边长为4，周长为，则三角形面积等于________．

（2）如图，中，，于点D，若，，请求出的周长．

【解析】

（1）；

（2），解得，．

（1）已知9-1，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果，，求EC的长．

（2）如图9-2，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，则DE的长度为________．

（3）如图9-3，矩形纸片ABCD的长，宽，沿EF将其折叠，使点D与点B重合，则折痕EF的长为________cm．

图9-1图9-2图9-3

【解析】

（1）由题意得，．

在中，应用勾股定理得，．

所以．

在中，应用勾股定理，设，

得．解得，即．

（2）设，因为，

则，，

在中，由勾股定理可得：

，∴，即．

（3）设，因为，

则，

根据勾股定理得：

，即，解得：

；

∴，∴，∴，∴，

根据勾股定理得：

（cm）；

若，且，求：

的最小值．

【解析】如下图，不妨设，，，，，

P为线段AB上的动点，，于是，，，则问题转化为求点C，D之间距离的最小值．当P，C，D三点不共线时，有；当P，C，D共线时，．

于是点C，D之间距离的最小值为．

【教提示】数形结合，几何构造，将军饮马．

模块四：

课后作业设计

1、如图1-1，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正方形，其面积分别用、、表示，则不难证明．（正三角形面积是边长平方的）

（1）如图1-2，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用、、表示，那么、、之间有什么关系？

（不必证明）

（2）如图1-3，分别以直角三角形A、B、C三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用、、表示，请你确定、、之间的关系并加以证明．

图1-1图1-2图1-3

【解析】

（1）设BC、CA、AB长分别为a、b、c，则，；

（2）．证明如下：

显然，，，，

∴．

【点评】分别以直角三角形ABC三边为一边向外作“相似形”，其面积对应用、、表示，则（设斜边所做图形面积为）．

2、已知a，b，c是三角形的三边长，，，（n为大于1的自然数），试说明为直角三角形．

【解析】因为，

．

所以，所以为直角三角形．

3、如图，四边形ABCD中，，，，，且，则四边形ABCD的面积是（　　）cm2．

A．336B．144C．102D．无法确定

【解析】答案：

B．连接AC，运用勾股定理逆定理．

4、如图，一根长5米的竹篙AB斜靠在与地面垂直的墙上，顶端A距离墙根4米，若竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了多少米？

【解析】设竹篙顶端下滑1米到点，底端向外滑行到点．

由题意得AA1=1m，，

在中：

，

在中：

，

，

即竹篙顶端A下滑1米，则底端B向外滑行了1米．

5、

（1）（在中，，高，则_______．

（2）如图，中，，于点D，若，，则的周长为________．

【解析】

（1）24或84（分类讨论：

行外高和行内高，对应例5）

（2）．（对应例8考查直角三角形与知二推二综合）．

6、

（1）如图6-1，已知是直角边长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是________．

（2）如图6-2，矩形ABCD中，，，如图所示折叠矩形纸片ABCD，使D点落在边AB上一点E处，折痕端点G、F分别在边AD、DC上，则当折痕端点F恰好与C点重合时，AE的长为________cm．

图6-1图6-2

（3）若，且，则的最小值是________．

【解析】

（1）由题意可得：

第1个等腰直角三角形，中，斜边长，；

第2个等腰直角三角形，中，斜边长；

第3个等腰直角三角形，中，斜边长；

依此类推，……第n个等腰直角三角形中，斜边长为．

（2）F点与C点重合时（如图），

∵在矩形ABCD中，，，

∴，，

由折叠的性质可得：

，

∴，

∴．

（3）答案：

25（对应例题10，几何构造）．