第二章 练习题及参考答案.docx

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第二章练习题及参考答案

第二章静电场练习题及参考答案

1、均匀带电导体球，半径为，带电量为。

试求

（1）球内任一点的电场

（2）球外任一点的电位移矢量

解：

（1）

（2）

2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点处产生的电场强度表达式为

（1）求出电力线方程；

（2）画出电力线。

解:

（1）式中，为任意常数。

（2）电力线图所示。

3、用球坐标表示的场，求

（1）在直角坐标中点（-3，4，5）处的；

（2）在直角坐标中点（-3，4，5）处的分量

解：

（1）

（2），

4、两点电荷，位于轴上处，位于轴上处，求空间点处的

（1）电位；

（2）该点处的电场强度矢量。

解：

（1）

（2）

5、一个点电荷位于处，另一个点电荷位于处，其中。

求

（1）求出空间任一点处电位的表达式；

（2）求出电场强度为零的点。

解：

（1）建立如图18-1所示坐标

空间任一点的电位

其中，，

（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的的左侧，设位于处，则在此处电场强度的大小为

令上式等于零得

求得

6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为，半径为，试求

（1）球内任一点的电位移矢量

（2）球外任一点的电场强度

解：

（1）

（2）当时，

7、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为，如图所示，求

（1）空间任一点处的电场强度；

（2）画出其电力线，并标出其方向。

解

（1）

（2）其电力线如图2所示。

8、设为两种媒质的分界面，为空气，其介电常数为，为介电常数的媒质2。

已知空气中的电场强度为，求

（1）空气中的电位移矢量。

（2）媒质2中的电场强度。

解：

（1）空气中的电位移矢量

（2）由边界条件

切向分量

法向分量

故：

得媒质2中的电场强度为：

9、电偶极子电量为，正、负电荷间距为，沿轴放置，中心位于原点，求出空间任一点P处的电位表达式。

解：

其中，

10、同轴线内导体半径为，外导体半径为，内、外导体间介质为空气，其间电压为

（1）求处的电场强度

（2）求处的电位移矢量

解：

（1）导体内部没有电荷分布，故内导体内部处

的电场强度处处为零。

（2）设单位长内导体表面电荷密度为，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿柱面径向，在底面半径为长度为的柱体表面使用高斯定理得：

可得任一点处的电场强度为：

再由

得任一点处的电位移矢量为：

11、自由空间中一点电荷电量为2C，位于处，设观察点位于处，求

（1）观察点处的电位

（2）观察点处的电场强度。

解：

（1）任意点处的电位

将观察点代入

（2）源点位置矢量

场点位置矢量

点电荷到场点的距离矢量

12、平行板电容器极板长为、宽为，极板间距为，如图所示。

设的极板上的自由电荷总量为，求

（1）电容器间电场强度；

（2）电容器极板间电压。

解：

（1）建立如图所示坐标。

设上极板的电荷密度为，则

极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为

由于平行板间为均匀电场，故

（2）由：

将上面电场代入得：

13、电荷q均匀分布在内半径为a,外半径为b的球壳形区域内，如图示：

（1）求各区域内的电场强度；

（2）若以处为电位参考点，

试计算球心（）处的电位。

解：

（1）电荷体密度为：

由高斯定理：

可得，

区域内，

区域内，

区域内，

（2）

代入各量并计算得，

14、图示球形电容器的内导体半径，外导体内径，其间充有两种电介质与，它们的分界面的半径为。

已知与的相对介电常数分别为 。

 求此球形电容器的电容。

（已知）

解：

15、图示极板面积为S、间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为的介质板。

设左右两极板上的电荷量分别为与。

若忽略端部的边缘效应，试求

（1）此电容器内电位移与电场强度的分布；

（2）电容器的电容及储存的静电能量。

解：

（1） 

，

（2）

16、半径为的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为，求空间电场强度分布。

解：

因为电荷分布具有柱对称性，由静电场的高斯定理，可作一个与已知柱体同轴的、高为、半径为的柱面为高斯面，则分区域讨论：

（1）＜时，由高斯定理得：

（2）＞时，高斯面内包围的电荷量为，同理可得

17、两个点电荷，电量分别为+q和-3q，相距为d，试求：

（1）在它们的连线上电场强度=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远？

（2）若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远？

解：

（1）据题意可知电场强度=0的点一定在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q的点一侧，设与电荷量为+q的点电荷相距为，则由=0得：

解得：

。

（2）据题意可知电位的点可能在它们的连线上（）也可能在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q的点一侧，设与电荷量为+q的点电荷相距为，则由可得：

或

分别解得：

（）

18、一个半径为的电介质球内含有均匀分布的自由电荷，电荷体密度为。

证明其中心点的电位是

证明：

由静电场的高斯定理可求得空间的电场强度分布为：

若选择无穷远为电位参考点，球心为坐标原点，则可得球心的电位为：

将电场强度的大小分别代入，并计算得：

，结论得证。

19、证明极化介质中，极化电荷体密度与自由电荷体密度的关系为：

证明：

由高斯定理的微分形式及电位移矢量的定义式

和极化电荷体密度公式得：

化简得：

，结论得证。

20、一个半径为，带电量为的导体球，球外套有半径为的同心介质球壳，介质的介电系数为,壳外是空气。

求空间任意点的及电位。

解：

由介质中静电场的高斯定理，得空间各区域的电位移矢量分别为：

空间各区域的电场强度分别为：

空间各区域的极化强度矢量分别为：

空间各区域的电位分别为

）

21、一半径为，内部均匀分布着体密度为的电荷的球体。

求任意点的电场强度及电位。

解：

由高斯定理可求得空间的电场强度分布为：

若选择无穷远为电位参考点，球心为坐标原点，则

）