《正弦定理余弦定理的应用》教学案Word文档格式.docx
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结合三个例题，引导学生总结解斜三角形应用题的一般步骤
归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识
完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
课前自主导学
课标解读
1.巩固正、余弦定理的应用，熟练掌握解三角形的步骤
与过程.（重点）
2.能够运用正、余弦定理等知识和方法解决一些与测量
和几何计算有关的实际冋题.（难点）
知识
头际测量中的有关术语
【问题导思】
小明出家门向南前进200米，再向东前进200米，至U达学校上课.
1•小明的学校在家的哪个方向？
【提示】东南方向.
2•能否用角度确定学校的方位？
【提示】能.
名
称
定义
图示
仰
角
在冋一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的
夹角
续表
名称
俯角
在冋一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角
方向角
从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°
南偏西60
（指以正南方向为始边，转向目标方向线形成的角）
方位角
从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角
课堂互动探究
类型1
测量问题
例1如图1-3—1所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°
图1—3—1
在山顶C测得塔顶A的俯角为45°
已知塔高AB为20m,求山高CD（精确到0.1m）
【思路探究】D（可放到厶BCD中，要求CD已知/DBC=60°
/CDB=90°
所以只需求BD或CB在厶AB（中，AB勺长度已知，三个内角都可以求出，所以可求得CB则CdCB-sin60°
【自主解答】由条件知/DBC=60°
/ECA=45°
•••/ABC90°
—60°
=30°
/ACB60°
—45°
=15°
/CA=180°
—（/ABQ-ZACB=135°
BCAB
在^ABC中,由正弦定理得sin135°
=sin15°
AB-sin135°
20x240
二BC=sin15°
=1=3—1.
4乐-衣7
在Rt△BC中,
40\/3
CD^BC-sin/CB=书—〔x2~47.3（m）.
•山高C哟为47.3m.
规律方法
1.本例是典型的测量高度问题，抽象出平面图形，并且将相应数据聚化到相应三角形中，十分关键.
2.测量高度的有关问题，大部分都是转化为同一铅垂面上的解三角形问题，但也有转化为立体图形的问题.
变式训练
如图1-3-2所示，空中有一气球C,
图1-3—2
在它的正西方A点测得它的仰角为45°
同时在它的南偏东60°
的B点，测得它的仰角为30°
A,B两点间的距离为266米，这两个测点均离地1米，则气球离地多少米？
【解】设0C=x,则OA=x,OB=x•tan60°
=3x.
在厶AO中，/A0=90°
+60°
=150°
AB=266,
所以A^=OA+OB-2OAOBios/AOB
=x2+3x2—2x•3x•（—）=7x2,
所以x=TAB=TX266=387（米），
所以气球离地（38,7+1）米.
类型2
航海问题
例2甲船在A处遇险，在甲船西南10海里B处的乙船收到甲船的报警后，测得甲船是沿着东偏北105°
的方向，以每小时9海里的速度向某岛靠近，如果乙船要在40分钟内追上甲船,
问乙船至少应以什么速度、向何方向航行？
【思路探究】画图t分析三角形满足条件t选择定理列方程t求相关量t作答
【自主解答】如图所示：
设乙船速度为v海里/小时，在C处追上甲船，
/BAC=45°
180°
—105°
=120°
在厶AB（中，由余弦定理得，
BC=AC+A8—2AC・AB-cos/BA（
222
（3v）2=（3x9）2+102—2x3X9x10xcos120°
整理得v=21.
BCAC
又由正弦定理可知sinZBAC=sinB，
2
AC-sinZBAC3x9坐
sinB=BC=2xsin120°
=14,
3x21
■B^2147'
.
即B应以每小时21海里的速度，按东偏北45。
+21°
47=66°
7的角度航行.
1•根据题意，恰当地画出三角形是解题的基础，将已知线段数量和角度，转化为要解
三角形的边长和角度，是解题的关键.
2•有关角度问题，一般要涉及到方位角、方向角等概念，对这些数据，要恰当转化，
合理运用.
在海岸A处发现在其北偏东45。
方向，距A处（3—1）海里的B处有一艘走私船，在A处北
偏西75°
方向，距A处2海里的C处的缉私船以10,3海里/时的速度追走私船，此时走私船正以
t小时，则C
10海里/时的速度从B处向北偏东30。
方向逃窜，则缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
并求出所需要的时间.
【解】由题意画出示意图如图所示，设缉私船最快追上走私船所需时间为
D=10:
'
3t,BD=10t.
•••在△AB（中,AB=,'
3-1,AC=2，/BAC=45°
+75°
BC=・：
：
aC+aB—2AC"
ABCos/BAC
=;
22+3—12—2X2X.3—1Xcos120°
=,6.
tsin/BAC=sin/ABC
迈厂
AC>
inZBAC2X2业
•••sin/ABC=BC=6=2.
tZBAC=120°
•••/ABC=45°
•B（与正北方向垂直,
•ZCB=90°
30°
120°
BDCD
•••在厶BC［中，由正弦定理得sinZBCD=sinZCBD
BtsinZCBD10t•sin120°
1
所以sinZBCD=CD=103t=2.
•ZBC=30°
或ZBC=150°
（舍去）,
_i_6
•ZBDC=30,•.BD=BC=^/6,•10t=^6,•t=10,
•••缉私船沿北偏东60°
方向行驶能最快追上走私船，所需时间为10小时.
类型3
平面几何问题
例3如图1—3-3所示，在△AB（中,AC=b,BC=a,2avb,AB（内一点，且A
图1—3—3
D=a,/ADBFC=n,问C为何值时，凹四边形ACB的面积最大？
并求出最大值.
【思路探究】在三角形AB［和三角形AB（中分别运用余弦定理，可先求出边BD勺长，进而表达出凹四边形ACB的面积.
【自主解答】设BD=x，在△AB（和△ABDL
根据余弦定理，
得A^=a2+b2—2abcosC,
A£
=a2+x2—2axcos/ADB=x2+a2+2axcosC,
•••a2+b2—2abcosC=x2+a2+2axcosC,
即x2+2axcosC+（2acosC-b）b=0,
解得x=b—2acosC,或x=—b（舍去）.
于是凹四边形ACB的面积
11
S=S^ab—S\abd=2absinC—2axsin/ADB
111
=^absinC—?
a（b—2acosC）sinC=?
a2sin2C.
n1
•••当C=7时，凹四边形ACB的面积最大，最大值为2a2，此时BD=b—2a.
1•本例中，以角C为自变量，将凹四边形ACB的面积表示为角（勺三角函数，从而求解
最值问题.
2•求解平面图形的面积最值问题，关键是恰当地设立角度为自变量，建立目标函数.
如图1-3-4所示，已知扇形OAB
图1-3—4
O为顶点，圆心角/AOB=60°
半径为2cm,在弧ABh有一动点P,由P引平行于0B勺直线和0A相交于C,/AOP=卩.求厶PO（的面积的最大值以及此时的卩值.
【解】•/PC//OB
•••/ACP=/AOB=60°
•••/PCO=120°
/OPC=60°
—卩.
在厶OC中，由正弦定理得
OPOC
sin120°
=sin60°
—卩，
OPin60°
—卩2sin60°
—卩
•OC=sin120°
=sin120°
，
112sin60°
SLoc「2•OC-Ofsin卩=2Xsin120°
x2sin卩
2sin卩sin60°
—卩.：
3sin卩cos卩—sin2卩
=sin120°
31—cos2卩1
2sin23一2cos23一60一2
sin120
2cos23-60°
—1
=3.
故当cos（23—60°
）=1，即当2卩=60°
3=30°
时,
&
oc有最大值~3cm2.
易错易误辨析
过程不严谨，靠主观臆判而致误
典例如图1—3—5所示的是曲柄连杆装置示意图，连杆AOc,
图1—3—5
曲柄AB和曲轴BL所成的角为a,连杆AC和曲轴BL间的夹角为3,则a取什么值时，sin
3最大？
【错解】•••点A在圆B上运动，
要使3，即/AC最大，只需点A在最高或最低点即可，
r此时，△AB（中,ZABC=90°
，即a=90°
时，AB=r，AC=c，sin3=sin/ACB=c为
所求的最大值.
【错因分析】上述解答中想当然地认为点A在最高或最低点时，sin3最大，虽然结
论正确，但过程不严谨.
【防范措施】建立目标函数，转化为三角函数最值问题，定量分析.
ABAC
【正解】在厶AB（中，由正弦定理，得爲下=二，
r_
•sin3=csina.
由对称性可知，只需讨论a€[0，n]即可.
r
■/sin卩=Csin
C，
•••当且仅当sin
n
a=1，即a=2时，sin卩最大.
1.基础知识：
（1）有关术语：
仰角、俯角、方向角、方位角；
（2）利用解三角形，求解实际应用题的方法及步骤.
2.基本技能：
（1）测量问题；
（2）航海问题；
（3）力学问题；
（4）最值问题.
3•思想方法：
（1）函数思想；
（2）转化思想；
（3）数形结合思想.
当堂双基达标
1•从A处望B处的仰角为a，从B处望A处的俯角为卩，则a,卩的关系是
【解析】如图所示，•••AD/BC•••a=卩.
【答案】a=3
2.如图1—3—6所示，A、B两点中间有座山，从点C观测，AC=60m,BC=160m,ZA
CB=60°
则AB=.
图1—3—6
【解析】AB=_cA+cB—2CACBJOSC
=602+1602—2X60x160Xcos60°
=140（m）
【答案】140m
3.有一长为10m的斜坡，坡角为75°
在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的
方法将它的坡角改为30°
则坡底要延长m.
【解】如图所示，设将坡底加长到B时，坡角为30°
依题意，/B=30°
/BAB=45°
AB=10m.
BBsin/BAB
在厶ABB中，根据正弦定理得AB=sin—B,
=102（m）,
即当坡底伸长10.2m时，斜坡的坡角将变为30°
【答案】102
图1—3—7
4•如图1—3—7所示，某人在塔的正东C处沿着南偏西60。
的方向前进40m到D处以后,
望见塔在东北方向•若沿途测得塔的最大仰角为30°
求塔的高度.
【解】在厶BD（中,CD=40m,ZBCD=90°
=30°
/DB=45°
+90°
=135°
CDBD
由正弦定理，得sin/DB=sin/BCD
CD-sin/BCD40sin30°
_
二BD=sinZDBC=sin135°
=20.2（m）•
AB
在Rt△ABEKtanZAEB=BEAB为定值，故要使ZAE最大,
即BE!
CD这时ZAEB=30°
在Rt△BED^,ZBDE=180°
—135°
—30°
•••BE=BD-sinZBDE=202sin15°
=10（3—1）（m）.
在Rt△ABEKAB=BE:
anZAEB
=10（3—1）tan30°
10
=7（3—.3）（m）,
即塔的高度为y（3—3）m.
课后知能检测
一、填空题
1•在相距2千米的AB两点处测量目标点C,若ZCAB=75°
之间的距离为千米.
【解析】ZACB=180°
—75°
=45°
，由正弦定理得
sin45°
，AO6.
【答案】，6
2•在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是
需要BE最小.
ZCBA=60°
则A、C两点
ACAB
sin60°
=sin45°
=
30。
和60°
则塔高为__
米.
【解析】如图所示，在Rt△EBDh/DBE=60°
•••BE=200x亍，在Rt△CB中,CE=BEtan30°
200“33200
=3xV=丁，
400
•CD=~（米）
【答案】T
3.CD是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在C时在水平面上的山体外取点AB,
n2
并测得四边形ABC中，/ABO7，/BAD=3n,AB=BO400米，AD=250米，则应开凿的
隧道CD的长为.
【解析】如图所示，在△AB（中,AB=BC=400米，/ABC="
3，二AC=AB=400米，/
n2nnn
BAO3・•••/CAD=ZBAD-ZBAOT—3=亏.
•••在厶CA中，由余弦定理，得CD=AC+AD—2AC-AD-cosZCAD=4002+2502—2-4
00-250-cos3=122500,・.CD=350（米）.
【答案】350米
4.某人朝正东方向走xkm后，向朝南偏西60°
勺方向走3km，结果他离出发点恰好.3km,那么x的值为.
【解析】如图所示，ZABC=90°
.•.（3）2=32+x2—2x3xcos30°
•-x2—3*j3x+6=0
•x=_3或23
【答案】3或23
5•如图1—3—8所示，甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60。
的方向，两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的勺倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏
东（填角度）的方向前进.
【解析】
图1—3—8
由题意知，AC=Q5BC/ABC=120°
由正弦定理知，
sinZCAB=sin120°
1
•••sinZCAB=2,
•••ZCAB=30°
•ZCAD=60°
—30°
【答案】30°
1000m长的直线型通道，中国
并且从中国馆看世博轴两端
m.
6.（2013•威海高二检测）上海世博园中的世博轴是一条馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，
的视角为120°
据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是
【解析】如图所示，设AB为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知/ACB=120°
1000护且AC=BC过C作AB的垂线交AB于D在Rt△CB中,DB=500m,/DCB=60°
aBC=―
m.
1000卡
【答案】飞亠
7.有一两岸平行的河流，水速为1m/s，小船的速度为2m/s，为使所走路程最短，小
船应朝方向行驶.
如图所示，AB是水速，AD为船速，AO船的实际速度，且ACLAB在Rt△AB（中,cos
ABAB丄亚
/ABC=BC=AD=—2=T，
•••/ABC=45°
azDAB=90°
+45°
【答案】与水流向成135°
一艘船向正北航行，看见正西方有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，
继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°
另一灯塔在船的南偏西75°
则这只船的
速度是每小时海里.
先画出示意图，设半小时行程为s海里，所以s・tan75。
一s-tan60。
=10,即（2+羽）・s
一3s=10，s=5,
•••速度为10海里/时.
【答案】10
二、解答题
9•在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两
图1一3—9
V3a
个相距为2的军事基地C和D测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且/ADB=30°
/BD=30°
/DC=60°
/ACB=45°
如图1—3—9所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.
【解】•••/AD（=ZADBHZCDB=60°
°
又•••/AC=60°
•••/DAC=60°
•••AD=CD=AC=Ta.
在厶BC中，/DBC=180°
-105°
DBCD
sin/BC=sin/DBC
sin/BCD
•BD=CD-sinZDBC
V6+V2
3_4_3+,3
=Ta•;
2—=~~C~a
T
在厶AD中，
•/AR=AD2+BD—2-AD-BD-cosZADB
33+33+】空3
=4a2+（4a）2—2x2a-4a-2=8a2,
6J6
•AB=7a,「.蓝方这两支精锐部队的距离为Ta.
10.某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60。
相距20（〔3+1）海里的
海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直
线前进，预计台风中心将从基地A东北方向刮过且（.3+1）小时后开始影响基地A,持续2小时•求台风移动的方向.
【解】
如图所示，设预报时台风中心为B,开始影响基地A时台风中心为C,基地A刚好不受影响时台风中心为D,
则BC、D在一直线上，且AD=20,AC=20.
由题意得AB=20（:
3+1）,DC=20：
2,BC=（：
3+1）
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